1、第十三章函数及图象【例题精选】：例 1 如果某本课外读物零售价每本 5 元钱，那么所卖出的本数（x）和应付钱数（y）之间是否构成函数关系，为什么。一物体作匀速运动，每小时行 15 千米，那么所用时间之间是否构成函数关系，为什么。()()ts与 所 走 距 离如果某本课外读物每本定价 5 元钱，卖出以后需加包装费 1 元，问所卖出的本数（x ）和应付钱之间是否构成函数关系，为什么。如果某油箱有油 40 升，每小时耗油 2 升，开始工作以后，问油箱中的余油量（y）与工作时间（ t）之间是否构成函数关系，为什么。分析：判断在某一变化过程中的两个变量之间是否构成函数关系，要依据函数概念即在一个变化过程
2、中有两个变量 都有xyxy与 ， 如 果 对 于 的 每 一 个 值 ,唯一的值与它对应，那么就说 x是 自 变 量 ， 是 的 函 数 。解：据题意，可以列出下面的数值表：本数 x 1 2 3 4 x钱数 y 5 10 15 20 y=5x显然对于 都有唯一的值与它对应，它们构y的 每 一 个 值 ， 即 每 卖 一 本 书 ，成函数关系而且可以用解析式 来表示。yx5时间 1 2 3 4 t距离 15 30 45 60 s=15t同样地，对于 t 的每一个值，即每行走 1 小时， s 都有唯一的值与它对应，它们构成函数关系，而且可以用解析式 表示出来。st5本数 1 2 3 4 5 x钱数
3、 6 11 16 21 26 y51这个问题与比较，虽然要加包装费，但仍然是对于 的每一个值，y 都有x唯一的值与它对应，因此同样构成函数关系，且表示为 。1工作时间1 2 3 4 t余油量 38 36 34 32 y=40 2tyt yt与 也 构 成 函 数 关 系 ， 表 示 为 。40小结：分析上面 4 个函数关系(自变量的取值范围请自行分析, 此处略)，不难看出它们的共同特点都是关于 x 的一次解析式，可以写成 的kxb()0形式。一般地，如果 的一次函数，特别ykxbkbyx()0， 、 是 常 数 那 么 叫 做地，当 这时，b xk0 0时 ， 一 次 函 数 就 成 为 是
4、常 数 ，(,)的正比例函数。yx叫 做例 2 在同一直角坐标系下，作出下列函数图象 yxxy1232及 和 .分析：为了直观地研究函数 ，就要作出它的图象，然后根据作ykx()0出的图象再去讨论它具有什么性质，对于任何一个函数，在还不了解它图象的形状和位置的时候，要采用描点法，也就是集点成形，以决定图象的形状和所在位置。所谓描点法即列表、描点、连线三个步骤。解：列表： x 2 1 0 1 2 y=2x 4 2 0 2 4 y=3x 6 3 0 3 6 2 0 描点、连线小结：由例 2 在同一直角坐标系下画出了三个正比例函数的图象，它们均为直线；可知正比例函数 y=kx的图象是一条直线，又由于
5、两点决定一条()k0直线，因此今后再画正比例函数的图象，就可以不再用描点法，而只要选取两点就可以作出直线，我们把正比例函数 的图象叫做直线 ，ykxykx选取两个点即 ，所以可归结为，正比例函数(,),01和 ykx的图象是通过 点的一条直线。()k(,)点 和例 3 在同一直角坐标系内画出下列函数图象， 。yxyx1212,解：列表 x0 1 0 1y120 2yx0 1x0 1y1202小结：观察例 2、例 3 我们所画出的六个正比例函数图象可以发现的图象过第 1、3 象限，而 的图yxyx231, yxyx312,象过第 2、4 象限，同时还可以发现，函数 在自变量 x 的2,值逐渐增大
6、时， 却是函 数 值 也 随 着 增 大 ， 而 对 于 函 数yyxy,自变量 x 的值逐渐增大时，函数值反而减小，由此归纳出：一般地，正比例函数 有下列性质：kx（1） 过第 1、3 象限，且 的值增大而增大。当 时 ， 直 线ky0yx的 值 随（2） 过第 2、4 象限，且 的值增大而减小。当 时 ， 直 线的 值 随例 4 在同一坐标系内画出下列函数图象 yxyx12312,.解：列表x 2 1 0 1 2 3 y12 1 0 1 3 2 53 74 9yx 4 73 522 3小结：通过列表比较相应的函数值，会发现对于自变量 +3 的值都y的 每 一 个 值 ， 函 数 12x比函
7、数 的值多 3 个单位，同理yx12的函数值都比函数 的值少 3 个3yx单位，由图象就可以看出， +3， 三个函数的图象均为直线且互相平行。换句话yx12123说，函数 +3 的图象就是把函数 的图象向上平移了 3 个单位而yx12则向下平移了 3 个单位。由此可知，函数 是常yx3 ykxbk(,0、数）的图象也是一条直线， =0 时， ，所以它是经过xyb0时 ， 当,点的一条直线，也可以说函数 的图象是经过(,)(,)00bk点 和 kx()的一条直线，因此也可以把一次函数称作直线(,)0bykx且 平 行 于 ykx()0。一次函数解析式 与它的图象的对应关系可以简单地称解析bk()
8、0式为“数”, 而把它的图象直线称为“形”。利用正比例函数是一次函数当 时的特例来讨论一次函数的性质可以发现，由于它们的图象是两条互相平行的直线，所以它们的增减变化是一致的。ykxbykx()()00与但一次函数 ，由于比正比例函数 多了常量 b，bykx()0图象的位置就起了如下的变化，当 函数图kb04123,时 （ 如 例 中 的象不仅经过第 1、3 象限且由于 还经过第 2 象限，所以函数 的图ykx象经过第 1、2、3 象限而不经过第 4 象限。一般地，函数 的图象:ykxb()当 图象经过第 1、2、3 象限；k0,当 ，图象经过第 1、3、4 象限；当 ，图象经过第 2、3、4
9、象限；,当 ，图象经过第 1、2、4 象限。b且当 值的增大而增大，当 值的增大而kyx0时 ， 的 值 随 kyx0时 ， 的 值 随减小。这是从观察图象，分析，类比，归纳出来的一次函数的性质，因此研究函数是离不开它的图象的，函数解析式是两个变量间的数量关系，而图象则是两个变量间关系的直观形象，因此研究函数及偏重于研究它的图象，这种处理问题的方法要学会。例 5 已知函数 的正比例ymxmyxm()(),212是 常 数 当 是 什 么 数 时 ， 是函数。分析：根据正比例函数的概念 的正比例函数，所以得ykyx0称 为20121即 且 或m的正比例函数当 时 ， 是 关 于yx3解略，这里应
10、特别注意“且”与“或”的区别。例 6 已知正比例函数的图象过第 4 象限且过 两点，求正比例(,)(,)236a和函数的解析式。解：设正比例函数为 ykx()0依题意，ka0326,解之得， k3时 ， .时 ， 舍()a2， 且 .所求函数解析式为 yx.例 7 已知一次函数的图象经过点（2，3）和点（1，4），求这个一次函数的解析式。解：设一次函数的解析式为 ykxb()0由已知条件得， 234kb解之得： 1,所 求 一 次 函 数 的 解 析 式 为 yx13.例 8 已知一次函数的图象在 轴上的截距是3，且经过点（4，1）（1）求函数的解析式；（2）求函数图象与坐标轴围成的三角形的面
11、积。分析：直线 ，此点的纵坐标是 b，所以称ykxbyb()(,)00与 轴 的 交 点轴上的截距，因此所求一次函数的解析式就可以直接设为b为 直 线 在ykx3.解：（1）设一次函数解析式为 kx3依题意， 41k.所 求 函 数 解 析 式 为 yx.（2） yx330与 轴 交 于 点 (,)与 轴 交 于 点 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S129|.例 9 直线 点在ykxbyxyx与 直 线 平 行 ， 且 与 直 线 相 交 ； 交5436()轴上，求此直线解析式。y分析：直线 来定方向，kkb与 直 线 平 行 ， 说 明 直 线 由两条直线平行，在数量关系上即的值定了，
12、函数的解析式kyb相 等 ， 反 之 亦 成 立 ， 由 与 轴 的 交 点 来 定 值 ， 、也就确定了。解：依题意，设直线解析式为 ykxbyx， 因 为 与 直 线 平 行54kyxbyxb43与 相 交 于 轴()18418所 求 直 线 解 析 式 为 ： .小结：例 5例 9 均是确定函数解析式的题目，采用的是待定系数法，“待定系数法”的基本思想就是方程的思想，把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程或方程组来解决，题目的已知形式中有几个待定的系数，一般就需要列出几个方程，因此解题的关键就在于根据条件构造方程，有时需要利用函数的定义（如例 5），或由点定 b
13、 值，由方向定 k 值（如例 9），或由函数图象过某点，则点的横纵坐标满足函数解析式构造方程（如例 7、例 8）等等。待定系数法的主要步骤，简单地说可划为“设”、“列”、“解”三大步。“设”即设未知系数，“列”即列方程或方程组；“解”即解方程或方程组。例 10 已知 A、B 两地相距 90 千米，某人骑自行车由 A 地去 B 地，他平均时速为 15 千米。（1）求骑车人与终点 B 之间的距离 y（千米）与出发时间 x（小时）之间的函数关系；（2）画出函数图象。分析：这个问题中，有两个已知量，一个是两地之间的距离 90 千米，一个是骑车人的平均时速为 15 千米，而骑车人与终点的距离 y 千米及
14、出发时间 x 则都是未知量，找到它们之间等量关系即写出了 x、y之间的函数关系式。解：（1） yx与 间 的 函 数 关 系 式 为9015但由于是实际问题，自变量 x 的取值范围有一定的限制，所以 x 不能取任意实数，把函数关系写完整应为 。y6()（2）依此画出函数图象为：函数 由于自变量取值的限9015制，所以这个一次函数的图象不再是一条直线而是一条线段。这一点在处理实际问题时，应特别引起注意。例 11 已知一次函数 ykxbAxByxy的 图 象 经 过 点 、 点 且(,)(,),111164561,.xy（1）求这个一次函数的解析式；（2）在直角坐标系中画出函数的图象；（3）如果
15、的取值范围。yyx的 取 值 范 围 是 ， 求6解：（1） 一 次 函 数 的 图 象 经 过 点 和 点解 得 ABkb2643,.即为所求的函数解析式。yx2（2）一次函数 的图象如图所示，3当 时 ，当 时 ，xy0;.（3）已知 632x时 ，32解之得 这个结论从图象上也可以得到证实。x【专项训练】：一、选择题：（在下面给出的四个选项中只有一个是正确的）1、函数 ymxm()227是 一 个 正 比 例 函 数 时 ， 的 值 是A B4或 4C D 2或2、一次函数 的图象位于二、三、四象限，则下列结论中正确的是ykxbA B0,; kb0,;C D .3、直线 轴的交点坐标为y
16、x2与A B C D(,)0(,)320(,)230(,)234、若 的图象不过abcyabxc,则 函 数A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5、已知两个一次函数 yxkyxyk326和 的 图 象 交 点 在 轴 上 ， 则 的 值 为A1 B2 C2 D3二、填空题：1、函数 的图象向 平移 个单位而得到；yxyx252的 图 象 是 将2、直线 与 交点坐标 ；kk6过 点 ， 则(,) x轴3、已知一次函数图象与正比例函数 图象平行，且过（0，5）点，则y23此一 次函数解析式为 ；4、已知函数 的图象过点 ， ；yxb2(,),1和 ， 则abb5、函数 的图象过一、二、
17、四象限，则 k 0，bk0；6、已知一次函数 符合下列各条件，求字母 的取值范围。yaxb()()324a,当 取 时， 值的增大而增大；ay随当 时，b 时，图象与 y 轴的交点在 x 轴上方；当 时，b 时，图象过第二、三、四象限；函数图象与 轴交点坐标分别为 ，x轴 、 (,),205， ， 则 ab；7、当 时，函数 值的增大而减小；k取 ykxyx()3中 ， 的 值 随8、已知一次函数 4，则此函数的解析ykxb的 图 象 过 点 且,2b1式为；9、已知当 轴的交点坐标为xyxby234时 ， 函 数 的 值 为 ， 则 函 数，与 轴的交点坐标为 ；10、已知直线 相交，交点在
18、ykxbyxyx与 直 线 平 行 且 与 直 线 5y轴 上 ， ；则 k三、解答题：1、已知 成反比例，当yyxyx121221， 其 中 与 成 正 比 例 ， 与x0时 ，y3,.当 时 ， 试 求 当 时 相 应 的 值 。2、一次函数 ，且两图象ymxbykx()(,)其 中 与 的 图 象 交 于 点063与 轴围成的三角形面积为 ，求这两个函数解析式。x933、已知一次函数 的图象都过点 A（4，3）。yxykx12515和试求出这两个一次函数的表达式，并在同一坐标系里画出它们的图象；求出这两个函数的图象与 x 轴围成的三角形的面积。4、正比例函数与一次函数的图象如图所示，其中
19、交点坐标为 A（4，3），B 为一次函数与 y 轴交点，且|OA|=2|OB |（1）求正比例函数与一次函数的解析式；（2）求AOB 的面积。5、已知直线轴分别交于lyxlxy是 的 图 象 ， 且 与 轴 、32（如图所示），另一条直线 经过其中一AB、 两 点 l1个交点，且与坐标轴及直线 所围成的面积是直线l与坐标轴所围成的面积的 2 倍，求直线 的解析式。l l【答案】：一、选择题：1、B 2、D 3、C 4、B 5、C二、填空题：1、上，5。 2、 140， (,)3、 4、yx25.05，5、，6、 ； ； ； 。ab23,ab234,ab169,7、 8、k2yx69、 10、3
20、, 5(,),)03，三、解答题：1、设 ，代入所给值，求得ykxky12212, k123,.则所求函数 x3.当 xy5时 ， 代 入2、由交点为 (,),633， 易 得 由面积为 , 高为 (交点到 x 轴的距离) 得两函数与 x 轴的交点间的距4离为 3, 又因为正比例函数图象过(0, 0), 所以一次函数图象过(3, 0)或(3, 0), 因为 b 0, 所以过点 (3, 0), 所以求得一次函数 。 yb233、 图 象 都 过 点 A(,)43kyxyxy5353110501212, ,(,)(,)所 求 一 次 函 数 解 析 式 为 ：， 图 略 ，所 围 图 形 为 三 角 形 ， 与 轴 交 于 与 轴 交 于三 角 形 底 边 长 ， 高 为面 积 单 位63129S()4、 过 点 正 比 例 函 数 为(,)334yx|,(,)(,OABA5205求 得 函 数 解 析 式 为 ： yxSAOB1821455、 求 的 解 析 式 为 或lyxyx11239或 或3413.得直 线 与 轴 交 于 与 轴 交 于 点 经 过 点yxAyBlA2001(,)(,)两解析式， 两解析式，均为所求。1、 lB134经 过 点 得 、
