1、良乡中学数学组 制作：任宝泉,普通高中课程标准数学1(必修),第二章 函数,2019年2月3日,书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟,少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲,成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话,天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！,天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！,2.2一次函数和二次函数,2.2.1二次函数的性质与图像,勤劳的孩子展望未来, 但懒惰的孩子享受现在!,一、复习引入,1.一次函数的性质有那些函数？,2.如何画一次函数的图像？,二、提出问题,在初中我们学习过二次函数，现在大家回顾初中二次函数我们都学习了那些内容？,1.二
2、次函数解析式的几种形式。 （1）一般式；（2）顶点式；（3）双根式。,2.开口方向、对称轴方程、顶点坐标、与x轴y轴的交点。,今天我们从新的角度来整理二次函数的性质。,问题,说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点,(1) y=(x+2)2-1; (2) y=-(x-2)2+2 ;(3) y=a(x+h)2+k .,三、概念形成,概念1.二次函数,函数 叫做二次函数。,二次函数的图像是抛物线。,时，开口向上，,时，开口向下。,的大小决定着开口的大小。（想一想，为什么？）,三、概念形成,概念1.二次函数,函数 叫做二次函数。,二次函数的图像是抛物线。,此时，抛物线图像是顶点为原点的抛物线。,时，二次
3、函数变为,三、概念形成,几点注意：,（1） 是二次函数对解析式的要求，若 则二次函数变为一次函数，此时不是二次函数,（2）抛物线的对称轴方程、顶点坐标、开口方向是初中重点研究的，高中我们要系统研究它。,以 为例，说明配方法研究二次函数的基本步骤。,三、概念形成,概念2.研究二次函数的一般方法,（1）配方法,配方：,（1）对于任意实数x，都有 因此函数的定义域为,三、概念形成,概念2.研究二次函数的一般方法,配方：,（2） 值域为,时，y取得最小值-2，记为,（3）当且仅当x=-4时， 取等号。这说明：,三、概念形成,概念2.研究二次函数的一般方法,配方：,（4）抛物线的顶点为,三、概念形成,概
4、念2.研究二次函数的一般方法,配方：,令 求出x值，为图像与x轴交点的横坐标,（5）求函数的图像与x轴或y轴的交点：,三、概念形成,概念2.研究二次函数的一般方法,配方：,所以函数图像与x轴交点坐标为,画对称轴；顶点位置； 与x轴、y轴交点；用光滑曲线画图。,（6）函数图像的画法：,三、概念形成,概念2.研究二次函数的一般方法,配方：,一般地，对于函数 若 为对称轴，则有 思考为什么？,（7）函数图像的对称性：,三、概念形成,概念2.研究二次函数的一般方法,配方：,阅读教材第58页（4）,一般地，对于二次函数 以对称轴划分左右两个部分图像，寻找它的单调性的,（8）函数的增减性：,三、概念形成,
5、概念2.研究二次函数的一般方法,配方：,阅读教材第58页（5）,三、概念深化,课本第58页，例2：自己阅读并注意与例1的区别和联系。,总结二次函数的性质： 课本第59页 一般地，对于二次函数.,例. 研究函数f(x)=-x2+4x-1，,不计算函数值，比较f(1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。,二次函数的性质：一般地，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c，都可以通过配方化为,（1）函数的图象是一条抛物线，抛物线的顶点坐标是(h，k)，抛物线的对称轴是直线x=h；,（2）当a0时，抛物线开口向上，在x=h处取最小值ymin=k=f(h)；在区间(, h上是减函数，在h, +)上是增函数
6、.,（3）当a0时，抛物线开口向下，在x=h处取最大值ymax=k=f(h)；在区间(, h上是增函数，在h, +)上是减函数.,例1.分别求下列二次函数的解析式： （1）二次函数图像的顶点坐标为（2，3），且过点（3，1）； （2）抛物线经过点（2，-3），它与x轴交点的横坐标为-1和3；,四、应用举例,例1. 求函数y=3x2+2x+1的值域和它的图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？,解：因为函数y=3x2+2x+1=3(x+ )2+ ,所以ymin=f( )= .函数的值域是 ,+).,函数的对称轴是x=,它在区间(, 上是减函数，在区间 ,+)上是增函数。
7、,例2. 已知抛物线y= 的对称轴是x=2， （1）求m的值，并判断抛物线开口方向； （2）求函数的最值及单调区间。,解：（1）因为抛物线的对称轴是x=2， 所以 ，解得m=2，m10， 抛物线的开口向上.,（2）原函数整理得y=x24x+3=(x2)21.所以当x=2时，ymin=1.单调增区间为2, +)，单调减区间为(, 2.,例3. 已知函数f(x)=x24x+1，不计算函数值，比较f(1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。,解： f(x)=x24x+1=(x2)23，对称轴是x=2，在区间2, +)上是增函数.f(1)=f(23)=f(2+3)=f(5)，f(1)=f(21)=f
8、(2+1)=f(3)，所以f(1)f(4)f(1)=f(5).,四、应用举例,例2.已知函数 ，利用函数图像，求 时， 的取值范围。,思考： 能否利用二次函数的图像解一元二次不等式？,例3.已知函数 ； （1）,四、应用举例,例3.已知函数 ； （1）求这个函数的顶点坐标和对称轴方程； （2）已知 ，不带入值计算，试求的值； （3）不直接计算函数值，试比较 与 的大小,例4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断下列各式的正负号. ab，ac，a+b+c，ab+c，2a+b，2ab.,解：a0，c0， f(1)0，所以a+b+c0，,f(1)0，所以ab+c0，,2a，2a+b
9、0;,2ab0.,练练：,1、函数 的对称轴和顶点坐标分别是（ ） B. C. D.2、f(x)=ax2+bx+c的顶点为(4,0)，且过点(0,2),则 abc=( ) A. -6 B.11 C. D. 3、二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),又 f(x)在(0,2)上是增函数， 且f(a) f(0),那么a的取值范围是（ ） A.a 0 B.a0 C. 0 a 4 D.a 0或 a 4,C,C,A,4、函数y=ax2+bx+c(a0)的最大值小于0，则b2-4ac是( )A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 5、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-，4上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）A.a -3 B.a-3 C. a5 D. a 3,B,B,四、应用举例,例4.用配方法求下列函数的定义域和值域： （1） （2）,五、课堂练习,课本第63页，习题2-2-A，第4，5，6题。,二次函数的定义与性质； 用配方法研究二次函数的一般步骤。 二次函数与一元二次方程及一元二次不等式之间的联系。,七、归纳总结,八、布置作业,
