1、第15卷第5期2001年5月成都教育学院学报JOURNAL OF CHENGDU COLLEGE OF EDUCATIONVoll55May2001文章编号：10089144(2001)05007002谈反三角函数的教学索玉英(山东省医药工业行政管理学校山东济南255011)中国图书分类号：05336 文献标识码：B反三角函数是基本初等函数之一，在后继课程有着重要地位，而且最简单的三角方程的通解也要用到反三角函数来表达，所以反三角函数的概念是学生必须理解和掌握的内容。同时由于引入反三角函数定义的过程比较复杂，特别是它们的定义域和值域学生难以掌握，所以反三角函数的概念又是难点。对于四个反三角函数
2、的教学，重点应放在反正弦函数，抓住反正弦函数的定义的由来，理解它的定义、定义域、值域或基本公式，并会运用公式作有关计算。一、引入和形成概念1反函数的定义是建立反三角函数的基础我们知道：反函数的定义：设有函数Y=f(x)，其定义域为D，值域为M，如果对于M中的每一个y值(yEM)，都可以由关系式Y=“x)确定唯一的一个X值(xED)与之对应，这样就确定了一个以Y为自变量的新函数，记为X=f。1(Y)，这个函数就叫函数Y=“x)的反函数，其定义域为M，值域为D。注意：(1)Y=“x)是否具有反函数，主要看其反对应在系是否为单值的。(2)函数在整个定义域上虽不存在反函数，但在每一个单调区间上反对应关
3、系都是单值的，所以在每一个单调区间上存在反函数。(3)不同的单调区间上的反函数不同。例：Y=x2在其定义域(一，+)上其反对应关系不是单值，所以Y=f在(一，+00)上不存在反函数，将定义域分为(一，0)与(0，+oo)后，Y=x2在(一，O)上反函数Y=一x，在(0，+*)上反函数为Y=41x2用反函数的定义衡量Y=sinx(xER)有无反函数只要判断该函数的反对应关系是否为单值的即可。为1此，让学生观察，Y=sin(xR)的图象，知道：当，Y=i1时， 厶x=21日c+T“t(kE z)，即R上有无数个不同的值与同一个Y值收稿日期：20001028作者简介：索玉英(1971一)女，山东省医
4、药工业行政管理学校教师70中专教育教学对应，说明Y=sinx(xE R)的反对应关系不是单值的，故在整个定义域区间上不存在反函数。但是，若把正弦函数Y=sinx的定义域划分为无限个单i厨KNkx一要，lot+-丌5-(kE z)，在每个单调区间上Y=sira- -的反对应关系都是单值的，故在每一个单调区间上存在反函数。不同单调区间上，Y=sinx的反函数也不同，因为在三角函数运算中，应用最多的是锐角，所以通常我们把这些单调区间中包括所有正锐角的那个区间一罟，詈，(一般称为 二二主值区间)t-的反函数叫反正弦函数，记为Y=aresinx同样，若反余弦函数Y=C：OSX的定义域划分为无限个单调区间
5、h，(k+1)Tc(kE z)，其中每一个闭区间上Y=COgX都有反函数。为了方便，我们把这些单调区间上包括所有正确锐角的那个区间O，7r(一般称为主值区间)上的反函数叫反余弦函数，记为Y=aIo_ceosx3通过三角函数与反三角函数比较，形成鲜明的概念。我们知道：(1)求函数Y=“x)的反函数有两个步骤：第一步：由Y=“x)中解x=f-1(x)第二步：将x,y互换，即得Y=f-1(x)(2)函数的定义域和值域分别是其反函数的值域及定义域。(3)y=“x)与X=f。1(y)的图象是同一个，而Y=“x)与反函数Y=f一(x)的图象关系直线Y=x对称。类似前述：(1)在教学中，用正反函数对比法，分
6、三个阶段让学生认识这个式子第一阶段：从y=sinx(xE罟，罟)到x=sin。y，在给出了_反正弦函数的定义时，不要轻易给出表达式Y=arcsinx，而按反函数的定义， (下转第73页)万方数据第5期2001年5月 朱明刚：浅谈隐函数极值的求法No5May2001(1)考察函数的取值范围。其中主要为x的取值范围(此步骤有时也可以略去)；(2)考察函数所对应曲线的对称性；(3)求出Y=一分，并解出导数y，不存在点。通过曲线的f y对称性及导数y在导数不存在点两侧的正负情况，来判断导数不存在点是否为极值点；(4)联立蹴0)：一慧摹“求出其驻点；(5)讨论y在驻点两侧近旁的正负情况，以及利用图像的对
7、称性来判断驻点是否为极值点。一般说来，当在驻点处，二阶导数y一不为零时，利用二阶导数脏驻点附近的正负情况来判断驻点是否为极值点的方法要更简便一些。但当二阶导数y”在驻点处值为零时，就不能再用此法。例3试求(f+，)2一(#一，)=0的极值解记V(x，Y)=(f+，)2一(fy2)，由于F(一x，一Y)=F(一x，Y)=r(x，一y)=V(x，y)所以函数图像关于x轴，Y轴及原点对称。， P。 x(2f+2，一1)Y 2一巧2一死万i莉当Y=0时，也即x=0，Y=0；x=1，Y=0时，Y不存在。由于函数图像关于x轴及原点对称，所以导数不存在，点均是联立x(f(2x+2+2y2刖-1)=，0)：。
8、解得x=訾，y=鲁及x=o，y=o(舍去)n 6f+2，一1一两2一y(2x2+2y2+I)而难驻点处的正负情况与一裔Y相同，也即与一(6f+2，一1)，y正负相同。将x=鲁，y=鲁代入一(6f+2y21)y中得：一堕：圣皇竺一压以 ，Z4(譬，雩)为极大值点，雩为极大值。依函数图像关于x轴，Y轴及原点对称性知：(一譬，譬)为极大值点：辱为极大值。(譬，一譬)为极，J、值：一譬为极小值。(上接第70页)推出表示式x=siny，sin1Y表示正弦值为Y时的角x(xE一罟，罢，这样符合学生的认识规律，易于理解。第二阶段：从x=sin“Y到x=a麟畸。在概念巩固后，不失时叽地指出：sin。1 Y是用
9、孤度表示的角，特用黜萄唧表示。于是X-sin。1Y为x=c咖，二者只是书写形式不同实质一样。第三阶段：从x=arcsiny到Y=aresinx。在学生熟悉x=aIsiny后，接着按习惯写成y=arcsinx，xG一1，1，疵一号专同样，Y=oo旺的反函数也完全类似的办法得到。(2)对于Y。sinx Y2 arcsinx Y2 COSX Y=arcoxx一号，罟xE一1，1，y一1，1y号，号，x0，Tcx=一1，1，Y=一1，1y=0，7【(3)y=arcsinx的图像与y=sinx x一詈，詈上的一段图像关于Y=x对称。y=tUOOS的图像与y=。0娃xO，7c】上的一段图像关于v=x对称。
10、由(3)可画出，Y=arcsinx与Y=鲫嗽的图像。二、理解掌握概念为了便于学生正确理解反正弦函数y=amsinx与反余弦函数Y=粼，还可以对它们作以下几何解释：由图可塔看出：1反正弦8_rcsinx x一1，1表示一詈，詈中的一个角，这个角的正弦等于x，即siII(础)=x反余弦蝴x一1，1，表示o，耳中的一个角，这个角的余弦等于x即：o(骶抛驭)=x2a玎。sirI(一x)=一arcsinx对于8rogosx，当x从。变到1，aIcco积从要变到0，81V-c08(一x)从要变到丌，即alXX，3s(一x)是第二角限内的一个角，得arc06(一x)=丁c一8reeosx三、在运用中掌握概念
11、反三角函数的概念要比已学过的其它函数抽象，难度大，在教学中应有意识地加强训练，使学生对这种表达式理解、掌握并能正确、熟练地运用。为此，在教学中应注意：1关于三角函数的反三角运算，须注意其成立条件。如当x一号，号时，眦妇(妇)=x，当x一号，号时，arc血(sinx)表示在一要，-5-之间正弦等于x的那个角。当xo，7(时，aIcos(co取)=x，当x圣一詈，詈时，aIco(co旺)表示在O，7c之间余弦等于x的那个角。2关于反三角函数三角运算，要特别注意其定义域和值域。如：证明：sin(arctgx)=一 2。V l+r证明中，若设口=arctgx，则须aE(一詈，詈)；在sina=考专2南(x(一，一)当中，当口(一号，要)时，sind与内口内号，所以上式取“+”号，于是问题得证。3反余弦函数，反余切函数、反正切函数的教学，可参考反正弦函数的教学进行，但要简明扼要，突出重点。73 万方数据谈反三角函数的教学作者： 索玉英作者单位： 山东省医药工业行政管理学校,山东,济南,255011刊名： 成都教育学院学报英文刊名： JOURNAL OF CHENGDU COLLEGE OF EDUCATION年，卷(期)： 2001,15(5)本文链接：http:/
