1、6.2 分式线性函数及其映射性质,这里,是复常数，,（3.1）,如果,则,有反函数,3. 分式线性函数,是单叶解析函数，把 平面双射成 平面。,如果,是函数（3.1）的奇点,则,Z平面,w平面,函数(3.1)是单叶解析函数，,双射成,Z平面,w平面,把,约定,时,时,扩充Z平面,扩充w平面,则（3.1）把扩充 平面双射成扩充 平面。,当,时,当,时,可见，分式线性函数是由以下三种简单函数复合而得。,例,4. 分式线性函数的映射性质,约定：把复平面上的直线看作半径是无穷大的圆，或通过无穷远点的圆。,定理4.1 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射为圆。（保圆性）证 设直线的方程为,或,对于,或,
2、所以,把直线映射成直线。,所以,把直线映射成直线。,是 w 平面上的直线,对于,或,或,所以,把直线映射成直线。,设圆的方程为,对于,是 w 平面上的圆,是 w 平面上的直线,对于,是 w 平面上的圆,所以,和,把圆映射成圆。,以下只须证明,也把圆映射成圆。,圆和直线的方程可以统一表示为：,是实常数,把,代入，得圆的复数表示：,其中,是复常数。,设,，则,代入上式，得,是 w 平面上的圆或直线 ( d = 0 )。,定理证完,例 在扩充复平面上,把实轴映射成实轴。,在有限复平面上除去原点的实轴。,把除去原点的实轴映射成,例 设,把不通过点 的圆和直线映射为圆，把 通过点 的圆和直线映射为直线。
3、,设分式线性函数把扩充 z 平面上的圆 C 映射成扩充 w 平面上的圆,C,则,或,例 问,把圆,的内部区域和外部,分别映射成什么区域？,切线,实轴,实轴，,由,知圆 直线,由保角性知道：圆 直线,圆内的点 1 映射成直线右边的点 1 ，所以圆内的区域映射成直线右边的区域。,定理4.2 对于扩充 z 平面上任意三个不同的点 以及扩充 W 平面上任意三个不同点 存在唯一的分式线性函数, 把 分别映射成 该分式线性函数可由以下,比式解出：,证 利用,（4.4）,计算（4.4）左边，并消去,可证。,系 4.1 在分式线性函数所确定的映射下, 交比不变.,（4.4）的左边和右边分别称为 以及 的交比。
4、,例 求分式线性函数，使,代入公式得到：,如果,则可设,，利用,求出,定理4.3 扩充 z 平面上任何一个圆，可用一个分式线性函数映射成扩充 w 平面上任何一个圆。,直线上的点可以有一个是,如果,称,及,是关于圆,的对称点。,圆 C 上的点和本身关于圆 C 对称。,及,圆心,是关于圆 C 的对称点。,定理 4.4 如果分式线性函数把扩充 z 平面上的圆 C 映射成扩充 W 平面上的圆 , 则它把关于圆 C 的对称点 及 映射成关于圆 的对称点 及 .（保对称点性）,例 设,是 w 平面上的圆，,则当,时,因为,表示扩充 z 平面上的圆。,因为 0 和 是圆 的对称点，且,所以,Z 平面,W 平面,，,所以 和 是圆,的对称点。,当 时,是直线：,5. 两个典型的分式线性函数,（1）上半平面 保形映射成圆盘的分式线性函数。,在上半平面任取一点 使 ，可保证上半平面映射成圆内区域。,该函数应该把实轴 映射成圆,该函数把实轴 映射成圆,取实数时,因此 ，所求函数是,一个具体的函数可取为,则,（保对称点性），可设,（2）把圆盘 保形映射成圆盘 的分式线性函数。,取,时,使,因此 ，所求函数是,总结 分式线性函数的性质： 保角性，保圆性，保对称点性，三个点（圆）分别映射成三个点（圆）的存在性。,例如取,则,
