1、PvxyAOMT 正、余弦函数的图象与性质知识回顾 正 角 :按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角1、 任 意 角 负 角 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角零 角 :不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限x 角第一象限角的集合为 3603609,kkk第二象限角的集合为 918第三象限角的集合为 18270,kkk第四象限角的集合为 3602736终边在 轴上的角的集合为x,k终边在 轴上的角的集合为y1890k终边在坐标轴上的角的集合为 ,3、与角 终边相同的角的集合为36,kk
2、4、已知 是第几象限角，确定 所在象限的方法：先把各象限均分 等份，再从 轴的正半轴*nnx的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则 原来是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度16、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是 rllr7、弧度制与角度制的换算公式： ， ， 236018057.38、若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ，为 弧 度 制 rlCSlr， 2Crl21Slr9、设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点的距离是,xy，则 ， ， 20rxysin
3、yrcosxrtan010、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正11、三角函数线： ， ， sistA12、同角三角函数的基本关系：；221sincos1222incos,1sintaita,ta 13、三角函数的诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限14、正弦函数、余弦函数的图象与性质：考点例题精讲考点一：正余弦函数图象的应用例 1 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的 x 的集合：解：作出正弦函数 y=sinx，x 0 ，2的图象：2sin)(x由图形可以得到，满足条件的 x 的集合为： Zkk,65,sinyx cosyx
4、图象定义域 RR值域 1, 1,最值当 时， ；2xkmaxy当 时， in当 时， ；2xkmaxy当 时， in1周期性 2奇偶性 奇函数 偶函数单调性在 上是增函数；2,kk在 上是减函数3,2在 上是增函数；2,kk在 上是减函数对称性对称中心 ,0k对称轴 2x对称中心 ,02kk对称轴 函 数性质解：作出余弦函数 y=cos，x0，2 的图象： 21cos)(x由图形可以得到，满足条件的 x 的集合为： Zkk,235,考点二：求与正余弦函数有关的定义域问题例 2 求下列函数的定义域：(1)y1+ (2)yxsin1xcos解：(1)由 1sinx 0，得 sinx1 即 x 2
5、k (kZ)3原函数的定义域为xx 2k ，k Z3(2)由 cosx0 得 2k x 2k (kZ)原函数的定义域为 2k ， 2k ( kZ)方法小结：求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组） 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于 1，又要考虑三角函数本身的定义域；变式训练 21：求下列函数的定义域和值域解 (1)要使 lgsinx 有意义，必须且只须 sinx0，解之，得 2kx(2k+1)，k Z 又0sinx1， - lgsinx0 定义域为(2k，(2k+1
6、) )(kZ) ，值域为(-，0变式训练 22（选做）：求函数 y 的值域 奎 屯王 新 敞新 疆2cos13x解：由已知：cos x cos x1y312y( )21 3y22 y80 2 y ymax ， ymin2y313434求三角函数的值域的常用方法：化为求代数函数的值域；化为求 的值域；sin()AxB化为关于 （或 ）的二次函数式；sinxcos考点三：求正余弦函数的周期例 3 求下列函数的周期：(1)y3cos x， xR；(2) ysin2 x， xR；(3) y2sin( x )， xR 奎 屯王 新 敞新 疆216解：(1) ycos x 的周期是 2只有 x 增到 x2
7、 时，函数值才重复出现 奎 屯王 新 敞新 疆 y3cos x， xR 的周期是 2 奎 屯王 新 敞新 疆(2)令 Z2 x，那么 xR 必须并且只需 ZR，且函数 ysin Z， ZR 的周期是 2 奎 屯王 新 敞新 疆即 Z2 2 x2 2( x )只有当 x 至少增加到 x ，函数值才能重复出现 奎 屯王 新 敞新 疆 ysin2 x 的周期是 奎 屯王 新 敞新 疆(3)令 Z x ，那么 xR 必须并且只需 ZR，且函数 y2sin Z， ZR 的周期是 2 ，由于16Z2 ( x )2 (x4 ) ，所以只有自变量 x 至少要增加到 x4 ，函数值才能重16复取得，即 T4 是
8、能使等式 2sin (xT) 2sin( x )成立的最小正数 奎 屯王 新 敞新 疆2216从而 y2sin( x )， xR 的周期是 4 奎 屯王 新 敞新 疆26从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量 x 的系数有关方法小结：三角函数的周期问题一般利用 的周期为 即可。sin()cos()yAyAx或 2|T考点四：求正余弦函数的最值例 4 求使下列函数取得最大值的自变量 x 的集合，并说出最大值是什么 奎 屯王 新 敞新 疆(1)ycosx 1 ， xR ； (2)ysin2x，xR 奎 屯王 新 敞新 疆解：(1)使函数 ycosx1，xR 取得最大值的 x 的集合，就是使函数 y
9、cos x，x R 取得最大值的x 的集合xx 2 k ，kZ 奎 屯王 新 敞新 疆函数 ycosx1，xR 的最大值是 112 奎 屯王 新 敞新 疆(2)令 Z 2x，那么 xR 必须并且只需 ZR，且使函数 ysinZ ，ZR 取得最大值的 Z 的集合是Z Z 2k ，k Z由 2x Z 2k ，得 x k 4即 使函数 ysin2 x，x R 取得最大值的 x 的集合是xx k ，k Z 奎 屯王 新 敞新 疆4函数 ysin2x，x R 的最大值是 1 奎 屯王 新 敞新 疆变式训练 41：求下列函数的最大值 与最小值：(2)y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5si
10、nx-2sinx-1，1，变式训练 42（选做）：求函数 ysin 2x acosx a (0 x )的最大值 奎 屯王 新 敞新 疆8523解： y1cos 2x acosx a (cos x )2 a85348521当 0 a2 时，cos x ， ymax a2a42851当 a2 时，cos x1， ymax a3当 a0 时，cos x0， ymax a8521考点五：利用单调性，比较正余弦函数值的大小例 5：比较下列各组数的大小分析 化为同名函数，进而利用增减性来比较函数值的大小解 (1)sin194=sin(180+14)=-sin14cos160=cos(180-20)=-co
11、s20=-sin700147090，sin14sin70，从而 -sin14-sin70，即sin194cos160而 y=cosx 在0，上是减函数，故由 01.391.471.5 可得cos1.5cos1.47cos1.39变式训练 51：不通过求值，指出下列各式大于 0 还是小于 0 奎 屯王 新 敞新 疆(1)sin( )sin( )； (2)cos( )cos( )180523417解：(1) 218且函数 ysin x， x ， 是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆2sin( )sin( ) 即 sin( )sin( )0101(2)cos( )cos cos cos( )cos co
12、s523534740 且函数 ycos x， x0， 是减函数4cos cos 即 cos cos 0cos( )cos( )0523417考点六：求正余弦函数的单调区间例 6：函数 ysin( x )在什么区间上是增函数?解：函数 ysin x 在下列区间上是增函数：2k x2 k (kZ)函数 ysin( x )为增函数，4当且仅当 2k x 2 k 即 2k x2 k (kZ)为所求 奎 屯王 新 敞新 疆34变式训练 61：求下列函数的单调区间解(1)设 u=2x当 u (2k-1)，2k(kZ) 时，cosu 递增；当 u2k，( 2k+1)(kZ)时，cosu 递减变式训练 62（
13、选做）：求函数 ycosx 的单调区间解：由 ycosx 的图象可知：单调增区间为2k ，(2k1) ( kZ)单调减区间为(2k1) ，2 k ( kZ)变式训练 63（选做）：求函数 ysin 的单调增区间 奎 屯王 新 敞新 疆1x误解：令 1x ysin 在2 k ，2 k ( kZ)上递增2 k 2 k x解得4 k x4 k2原函数的单调递增区间为4 k，4 k2( kZ)分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令 ，忽视了 是 x 的减函数，未21x考虑复合后单调性的变化 奎 屯王 新 敞新 疆正解如下：解法一：令 ，则 u 是 x 的减函数21x又 ysin 在2 k
14、，2 k ( kZ)上为减函数，3原函数在2 k ，2 k ( kZ)上递增设 2k 2 k 1x解得4 k2 x4 k(kZ)原函数在4 k2，4 k( kZ)上单调递增解法二：将原函数变形为 ysin 21x因此只需求 sin y 的减区间即可21x 为增函数只需求 sin 的递减区间2 k 2 k 21x23解之得：4 k+2 x4 k+4(kZ)原函数的单调递增区间为4 k2，4 k4( kZ)考点七：其他方面的应用（选做）例 7 下列函数中是奇函数的为(D)为奇函数，应选(D)函数不具有奇偶性说明：奇(偶)函数的定义域必须对称于原点，这是奇(偶)函数必须满足的条件，解题时不可忽视拓展
15、与提高1、函数 的部分图象是tancosyx2、函数 y=x cosx 的部分图象是( )3、 1sin,22yxx函 数 与 在 内 有 多 少 个 交 点 ？4、 R函 数 与 在 内 有 多 少 个 交 点 ？5、方程 2sin2x=x3 的解的个数为_.6、在（0，2）内，使 sinxcos x 成立的 x 的取值范围是A.（ ， ）（， ） B.（ ，）C.（ ， ） D.（ ，）（ ， ）4245445445237、已知函数 ，则下列说法正确的是()sin)12fA.f（ x）是周期为 1 的奇函数 B. f（ x）是周期为 2 的偶函数C.f（ x）是周期为 1 的非奇非偶函数 D. f（ x）是周期为 2 的非奇非偶函数8、 函数 ()si(co)_.x的 定 义 域 为.A.B.C.D9、若函数 17() ()()236fxff是 以 为 周 期 的 奇 函 数 ， 且 ， 求 的 值 。10、函数 则 f(47.5)R20,(),xxfx是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 且 ， 当 时 ，=_
