1、1抽象函数问题的解题策略一、利用特殊模型有些抽象函数问题,用常规解法很难解决,但与具体函数“对号入座”后,问题容易迎刃而解.这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一般不能用此法.例 1 若函数 f(x)与 g(x)在 R 上有定义,且 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)0,则 g(1)+g(-1)= .解 因为 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 这是两角差的正弦公式模型,又 f(-2)=f(1)0,则可取 xf32sin)(于是 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1) 例 2 设函数 f
2、(x)是定义在 R 上的减函数,且满足 f(x+y)=f(x)f(y),f(-3)=8,则不等式 f(x)f(x-2)8 , 解不等式,得 x5, 不等式的解集为 x|x5.二、利用函数性质 函数的特征是通过函数的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设条件所表明的函数的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能峰回路转、化难为易.1. 利用单调性例 3 设 f(x)是定义在（0,+）上的增函数,满足 f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式 f(x)+f(x-8)2.解 函数 f(x)满足 f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1, 2=1+1=f(3)+f(3
3、)=f(9),32sin)1()32sin()4si( g.1)(13 g256,)1(xf2由 f(x)+f(x-8)2,得 fx(x-8)f(9), 函数 f(x)是定义在（0,+）上的增函数,则 不等式解集为 x|80 的 x 的取值区间是 .解 依已知条件作出 f(x)的大致图象,如图 1 所示,从图象中可看出,当f(x)0 时,x 的取值区间是（-1,0）（1,+）.x0,x-80,x(x-8)9,80.证明 假设在定义域内存在 x0,使 f(x0) 0, f(x 0) 0,这与假设的 f(x0) 0 矛盾,所以假设不成立,故对定义域内任意 x,都有 f(x) 0.以上我们利用抽象函数的特殊模型、函数性质、特殊方法等途径举例说明了求解抽象函数问题的一些策略.事实上处理这类问题时,常将几种解题策略综合使用,“多管齐下”方能游刃有余.,0)2(2(2(0 xfffxff
