1、71 解析函数的特性教学目的：使学生掌握从映射角度来研究解析函数的概念及基本原理，从而了解解析函数的几何理论.重点：保角映射的概念与性质.难点：解析变换的保域性.课时：4 课时教学过程：前几章我们用分析的方法研究了解析函数的性质和应用，从映射角度来研究解析函数的性质及其应用主是通常说的解析函数的几何理论.几何理论中最基本的是共形映射的理论.下面我们来介绍共形映射的概念及基本原理.一解析函数的保域性.定理 7.1 (保域定理)设在区域内 解析且不恒为常数,则的象也是()wfzD一个区域.DGf证明：按区域的定义：要证是一个 连通开集.()Gf首先证明是 一个开集即证的每一个 都是内点,设是内的任
2、 意一点，则存在 ，0wG0zD使得 ，由第六章的儒歇定理，必存在的一 个邻域 .对于其0()fzw *0中的任一数 ，函数 在 内（ 是内的邻域 ）必A()fz0z0z有根，即 ，这记 .表明是的内 点.由的任意性 知 是开集0Gw0w其次证明是 连通集.由于是区域 ,可在内部取 一条联结的 折线GD12,z.1212:()()()Czttztt于是： 就是联结的 并且完全含于的一条曲 线.从而,由wfz12,wG柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到一条联结内接 于且完全含 于 的折线 .从以上两点，表明是区域 .()GfD推论 7.2 设在区域内 单叶解析,则的象也是 一个区域.wzD(
3、)Gf证明：用在区域内 单叶，必在内不恒 为常数.()f ()fz定理 7.3 设函数在点 解析,且 ,则在的一个 邻域内单叶解析.z00()fz0由此可见，符合本定理条件的解析变换将的一 个充分小邻域变成的一()wfz0个曲边邻域.0()wfz2 解析变换的保角导数的几何意义设于区域内 解析, ,在点有导数 .通过任意引 一条有向光滑曲()wfzD00z0z线,01:()Ctt，则必存在且 ，从而由第二章习题（一）1， 在 有切线，0()ztz(C0z就是切向量，它的倾角为 .经过变换 ， 之象曲线的 0arg)zt()wfz参数方程应为()fC01:()wfztt由定理 7.3 及第三章习
4、题（一）13， 在点的邻域 内是光滑的，又由于0wt （ ），故在也有切 线， 就是切向量，其倾角为00()()tfzt0()fz()00argr()arg,wtfzt即 假设 0()Riafze则必 ，0,rg()fza于是 （7.1）且 （7.2）limzwR图 7.1假定轴与轴 、 轴与轴的正 方向相同（如图 7.1） ，而且将原曲线的切线正方向xuyv与变换后象曲线的切线正方向间的夹角，理解为原曲线经过变换后的旋转角，则 （7.1）说明:象曲线在点 的切线正向,可由原象曲线在点的切 线0()wfzC0z正向旋转一个角得出 : 仅与 有关,而与过的曲 线的选择无 关,0arg()fz0r
5、()fz00zC称为变换在 点的旋转角 这也就是导数辐角的几何意义.)wf（7.2）说明:象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比的极限是，它仅与有关 ,而与过的曲 线之方向无 关,称为变换在 点的伸0()Rfz0z0zC()wfz缩率 .这也就是导数模的几何意义.上面提到的旋转角与的 选择无关的这个性质,称为旋转角不变性;伸缩率与的 方向CC无关这个性质,称为伸缩率不变性.从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率不变性就表示将 处无穷()wfz0小的圆变成处的 无穷小的圆,其半径之比为 .0w0()fz上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性.经点的两条
6、有向曲线 、 的切线方向所构成的角，称为两曲线在该点的夹角.设0z1C2在点的切 线倾角为 ； 在变换下的 象曲线在点(1,2)iC(,)ii ()wfzi的切线倾角为 ，则由（7.1）有0wfzi及1a2a即有 所以 1212这里是和在 点 的夹角（反时针方向为正） ， 是和在象点C0z 121的夹角（反时针方向为正）.由此可见，这种保角性既保持夹角的大小，又20()wfz保持夹角的方向（图 7.2）.图 7.2定义 7.1 若函数在点 的邻域内有定义,且在点具有 :()wfz0 0z(1)伸缩率不变性；(2)过的任意两 曲线的夹角在变换 下,既保持大小，保持方向；0z()wfz则称函数在
7、点是保角的 .或称在点是 保角变换.如果在区域()wf0()fz0内处处都是保角的,则称在区域 内是保角的,或称在区域()fzDD内是保角变换.下面我们来讨论保角变换的性质.定理 7.4 如在区域内 解析,则它在导数不为零的点处是保角的.()wfzD由上面的讨论即得. 推论 7.5 如在区域内 单叶解析,则称在区域 内是保角的.()f ()wfzD注：由定理 6.11，在 内 0z例 7.1 试求变换在 点处的旋转 角，并且说明它将平面的哪2()wf12zi一部分放大？哪一部分缩小？z解 因 ，()(1)fzz，124iii故在点处的 旋转角 arg(2)f又因 ，这里 ，而的充要条 件是2(
8、)fzxyzxiy()1fz，故把以为心 ， 为半径的圆周内部缩小，外部412yx 2()wfz1放大.例 7.2 试证： 将互相正交的直线族与 依次变为互相正交的直线ize1Rec2Im族与圆周 族1tanvuc22cve证 正交直线族 与Rez2Imz在变换 下，有 ，即有象曲线族iw1221()icciizuivwee与 .22cuve1artnc由于在平面 上处处解析 ，且 ，所以在平面 上圆周族与ziz0izde直线族也是 互相正交的.22cve1tavuc作业： 1，2.37P3.单叶解析变换的共形性定义 7.2 如果在区域 内是单叶且保角的，称此变换在 内是共()wfzD()wf
9、zD形的，也称它为内 的共形映射.注 解析变换在 解析点如有 （由在的连续 性，必在的邻()f0()fz0()f域 内 0） ，于是在点保 角，因而在的邻 域内单叶保角，从而在的邻 域zfz0 0z内共形（局部） ；在区域 内 （整体）共形，必然在内处 处（局部）共形，但D()wD反过来不必真.定理 7.6 设 在 区域内单叶 解析.则()fz(1) 将保形变换 成区域 .()wfz()Gf(2)反函数在区 域内单叶解 析,1()fw且 1 00,()()fzDfzf证 (1)由推论 7.2， 是区域,由推论 7.5 及定义 7.2, 将保形变换 成 .G()wfzDG(2)由定理 6.11,
10、 ,又因是到的 单叶满变换,因而是0()fz到的 一一变换.于是,当 时, ,即反函数 在区域内单 叶.故Dw0z1()zf11000()()1ffz由假设在区 域 内解析,即在内满足 条件 (),)(,)fzuyivxDD.CR.xyx故 2xxyxvuv22()0,()ifzzD由数学分析中隐函数存在定理,存在两个函数(,)(,)xuvy在点及其一 个邻域 内为连续.即在邻域中 ,当 时,必00wi0zNw0()zNw0有 .11()()zfzf故0 00110001limlim()()li zzffwwffzf即 1 0()()fwfz00(,()zDwfzG由于或的任 意性,即知 在区
11、域内解 析.01)f注1保形变换将 区域共形映 射成区域 ，而其反函数()fz()fD将区域共形 映射成区域 ，这时，区域内的一 个无穷小曲边三角形变1()zfwGD换成区域内 的一个无穷小曲边三角形 （如图 7.3） ，由于保持了曲线间的夹角大小及方向，故 与 “相似”.这是共形映射这一名称的由来.图 7.3显然，两个共形映射的复合仍然是一个共形映射.具体地说，如将区域共形映射成区域 ，而将共形映 射成区域 ，则将区域共()fzDE()whEG形映射成区域 .利用这一事实，可以复合若干基本的共形映射而构成较为whG复杂的共形映射.例 7.3 讨论解析函数 （ 为正整数）的保角性和共形性.nw
12、z解 （1）因为10ndz()z故在平面上 除原点 外.处处都是保角的.nwz0z（2）由于的单叶 性区域是顶点的原点张度不超过的 角形区域.故在此角n 2n形区域内是共 形的.在张度超过 的角形区域内，则不是共形的，但在其中各点的nz2邻域内是共形的(定理 7.3). 作业： 3.317P2分式线性变换教学目的与要求：使学生掌握线性变换的概念、性质与应用重点：分式线性变换的性质及其应用难点：反演变换的对称点课时：4 学时1分式线性变换及其分解， （7.3）azbwcd0abc称为分式线性变换(或 变换),有时也简记为 .MoiuswLz在（7.3）中, ,则 ,于是 ,0adbcacd1ab
13、zbcddz从而导致恒 为常数.因此条件是 必要的.wLz0b此外,如果对（7.3）式在扩充平 面上补充如下定义:z当 时,定义 ;当 时,定义 .0cc ,dawLLcc从而我们就认为是定义 在整个扩充 平面上,而且将扩充 平面一对一地因而单wLzzz叶地变为扩充 平面,因为（7.3）式具有如下的逆变换 （7.4）dbca由定理 7.1 的注即可知分式线性变换（7.3）在扩充平面 上是保域的.z其次, （7.3）式总可以分解为下式两个简单的变换的复合:() (0)wkzh() 1wz这是因为当 时, （7.3）式为 ,0cabwzd此即为()型变换当 时， （7.3）式可改写为 ， 1caz
14、c它是下面三个()或()型变换的复合：和1,czdbcadw由此我们可以知道，只要弄清()和()型变换的几何性质，则分式线性变换（7.3）的几何性质也就随之清楚.下面我们讨论()和()型变换的几何性质() 型变换也称 为整线行变换.设 （ ， 为实数） ，则(0)wkzhizkre0，它实际上是由三个变换： 旋转 伸缩和平移复而成的.也就是先将 旋转izrehz z角度 ，然后按比例系数作一个 以原点为中心的伸缩，最后再平移一个向量 （如图 7-r h4）.图 7.4从图上也可看出，这种变换是相似变换且保持图形的方向不变.()型变换 称为反演变换.它可以分解为下面两个变换的复合：1wz(.1)
15、 (7.5)(.2) (7.6) (.1)与(.2)分别称为关于单位圆周和关于实轴的对换变换,并称与是关 于单位圆周z的对称点, 与是关于实 轴的对换变换.w已知点 ,可用如图 7-5 的几何方法作出点 ,然后作出 .z 1wz1z图 7.5从图 7.5 可以看出, 与都在过单 位圆圆心 o的同一条射线上且 ,wz1zw从而 (即等于半径的平方)21z因此与是关 于单位圆周的对称点.此外我们规定圆心 o 关于单位圆周的对称点为w例 1:试证:除恒等变换 之外,一切分式线性变换（7.3）恒有两个相异的或一个二重wz的不动点(即自己变成自己的点)证 分式线性变换（7.3）(0)azbdcc的不动点
16、一定适合方程即 （7.7）2()zazb如果（7.7）的系数全为零,则（7.3）就成为恒等变换 .故（7.7）的系数不能全为零.wz(1) 若 ,则（7.7）有两个根0c,21,2,()4adzadbcA当 时, （7.3）有两个相异的不动点和 .01z2当 时, （7.3）有一个二重不动点 .adc（2）若 .这时（7.7）成为c()0dzb当 时, （7.7）有根 .0ada这时（7.3）成为 , 所以这时（7.3）有不动点和 .abwzdbzda当 时,必 .不动点 .0adda故这时（7.3）以为二重不 动点.z2. 分式线性变换的性质(2.1)共形性定义 7.3 二曲线在无 穷远点处
17、的交角为 ,就是指它们在反演变换下的像曲线在原点处的交角为 .对于()型变换, 210dwz根据定理 7.4 知它在和 的各处是保角的.而当或时由 定义 7.3 它也是保角0z的.于是()型变换在扩充平面上是 保角的z对于()型变换,当 时, ,因而它在的 各处是保角的.z0dk其次,当 时,其像点为 .zw我们引入两个反演变换: 1,z它们分别将 平面与 平面的无穷远点保角变换为平面与 平面的原点.将上述两个变换代入()型变换得 (7.8), 它将平面的 原点变为平 面的原点而 且00221()dhkz故变换(7.8)在是保角的 .于是()型变换在也 是保角的0z综合上述讨论我们就可得到定理
18、 7.7 分式线性变换在扩充 平面上是共形的注:在无穷远点处不可考虑伸缩率的不变性.(2.2) 分式线性变换的保交比性定理 7.7 分式线性变换(7.3)在扩充平面 上是共形的.z注 在无穷远点处不考虑伸缩率的不变性.3.分式线性变换的保交比较定义 7.4 扩充平面上有顺序的四个相异点 构成下面的量,称为它们的交比，记1234,z为 . 3141123412322, zzz当四点中有一点为 时,应将包含此点的项用 1代替. 例如 时,1z即有 , 亦即先视为 有限,再令取极限 而得.2342321,zzz11z定理 7.8 在分式线性变换下,四点的交比不变.证 设 则1,1,4iazbwcd,
19、ijijiadbczw因此 31314141123 2342222, 7.9,.zz其他可能情形的证明留给读者.从形式上看,分式线性变换（7.3）具有四个复参数但由条 件可知至少,.abcd有一个不为零,因此就可用它去除（7.3）的分子及分母,于是（7.3）实际上0adbc就只依赖于三个复参数(即六个实参数).为了确定这三个复参数,由定理 7.8 可知,只须任意指定三对对应点: ()iizwL即可.因从就可得 到变换(7.3),()1,23)iizwL123123,.w即 ,其中就可由 及 来确定 ,且除了相差一个常数因子外是abcdiz()i惟一的.这就证明了:由(7.3)式中的条件 可知四
20、个参 数中至少有一个不为零.因此用0adbc,abcd此条件去除(7.3)的分子和分母后实际上只剩下三个参数.根据定理 7.8 如果知道 和的三个对 应点zw123,iizz就可得到变换(7.3),且除了相差一个常数因子外是唯一的.于是我们便得到定理 7.9 设分式线性变换将扩充 平面上三个相异点指定 为 ,z123,z123,w则此分式线性变换就被惟一确定,并且可以写成 1232232:zw(7.10)(即三对对应点惟一确定一个分式线性变换)例 7.5 求将 2, ,-2 对应地变成-1, ,1 的分式线性变换,ii解 所求分式线性变换为,(1,)(2,)iwiz即 ,:ziii化简为 ,3
21、4于是 ,1()24()wizi i化简后得 632zi(2.3) 分式线性变换的保圆周(圆)性显然,根据()型变换的几何意义易于推得() 型变换将圆周(直线).对于() 型变换,由于圆周或直线可表示为,( 为实数, ) (7.11)0AzBzCA2BAC当时表示直 线,经过反演变换 后, (7.11)1wz就变为 ,w它表示直线 或圆周 .(0)c(0)c根据分式线性变换(7.3)是()和()型变换的复合就可得到定理 7.10 分式线性变换将平面上的圆周（直线）变为圆周或直线.注 在扩充平面上，直线可视为经过无穷远点的圆周，事实上， （7.11）可改写为0,CAz欲其经过 ，必须且只须A=0
22、.因此可以说：在分式线性变换（7.3）下，扩充 z 平面上的圆周变为扩充平面 上的圆周，同时，圆被保形变换成圆.w（24）分式线性变换的保对称点性图 7.6反之，在扩充平面上给定区域d 及 D，其边界都是圆周，则 d 必然可以共形映射成 D.分式线性变换就能实现，且在一定条件下，这种分式线性变换还是唯一的.注 （1）当或为直线 时，其所界的圆是以它为边界的两个半平面；()L（2）要使分式线性变换把有 限圆周 C 变成直线，其条件是 C上的某点变wz成 .0z作业 318 4（1） 、 （3） ，5，P5分式线性变换的保对称点性 在第一段中，我们曾经讲过关于单位圆周的对称点这一概念，现推广如下：
23、定义 7.5 关于圆周对 称是指 都在过圆心 的同一条射线上,且12,z:zaR12,za和 . (7.6)1aR此外，还规定圆心 与点也是关 于为对称的 （如图 7.7）.由定义即知 关于圆周对 称，必须且只须 .（7.5）12,z:zaR221Rza下述定理从几何方面说明了对称点的特性.图 7.7 图 7.8定理 7.11 扩充 z 平面上两点关于 圆周对称的 充要条件是，通过的任意12,z圆周都与正 交.12,z证 当为直线的 情形，定理的正确性是很明显的，我们只就为 有限圆周的情形给予证明（图 7.8）. zaR必要性 设关于圆周 对称,则过的直线 必然与正交 (按对12,z:zaR1
24、2,z称点的定义, 在从出发的 同一条射线上).12,设是过的任 一圆周(非直线),由引的切线 ., 为切点由平面几何的定理a得212aza但由关于圆 周对称的定 义,有12,z22zR所以 a即是说是圆 周 的半径.因此与正交 .充分性 设过的每一 圆周都与正 交.过作一圆周 (非直线) ,则 与 正12,z12,z交.设交点之一为 ,则的半径必 为 的切线.a联结 ,延长后必经过 (因为过的直 线与 正交).于是在从出 发12z12,12,za的同一条射线上,并且由平面几何的定理得 2212Raza因此, 关于圆周对 称.1,z下述定理就是分式线性变换的保对称点性.定理 7.12 设扩充平
25、面 z上两点关于 圆周 对称, 为一分式线性变换,12,z()wLz则两点关于 圆周为对称 .12(),()wL()证 设是扩充平 面上经过的 任意圆周.此时,必然存在一个圆周 ,它经过12w,并使 .因为关于对 称,故由定理 7.11, 与 正交.由于分式线性变12z()L12z换的保 角性, 与 亦正交.这样,再由定理 7.11 即知关 于wz()()L12,w对称.()6.分式线性变换的应用 分式线性变换在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中,具有很大的作用.下面三例就是反映这个事实的重要特例:例 7.6 把上半平面 共形映射成上半平面的 分式线性变换可以写成zw,azbcd其中是实数 ,
26、且满足条件,abcd(7.12)0.事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当为实数 时z2,()dwabcz即实轴变成实轴是同向的(如图 7.9),因此上半平 面共形映射成上半平面 .zw当然,这也可以直接由下面的推导看出: 2211Im()()()Im.2azbadbcadbcwzziicdi图 7.9注 满足条件(7.12)的分式线性变换也将下半平面共形映射成下半平面.例 7.7 求出将上半 平面共形映 射成单位圆 的分式线性变换,并使上半平面Im0z1w一点变为 .(I0)zaw解 根据分式线性变换保对称点的性质,点关于实轴 的对称点应 该变到关于a单位圆周的对称点 .因此,这个变换应当具有
27、形式: 0ww,zawk（7.13） 其中是常数 . 的确定,可使实轴上的一点,例如 ,变到单位圆周上的一点k 0z.awk因此 1.a所以,可以令 ( 是实数),最后得到所要求的变换为ike(7.13)(Im0).izwea在变换(7.13)中,即使给定了 ,还有一个实参数需要确 定.为了确定此 ,或者指出实轴上一点与单位圆周上某点的对应关系,或者指出变换在处的旋 转角za.(读者可以验证,变换(7.13)在处的旋转 角 )arg()wzarg().2w由(7.13)可见,同心圆周族 的原像是圆周族(1)wk,zka这是上半平 面内以 、 为对称点的圆周族,双根据保对称性可知,单位圆内的 直
28、za 1径的原像是过 、 的圆周在上半平面内的 半圆弧.z例 7.8 求出将单位圆共形映 射成单位圆 的分式线性变换,并使一点变1z1w到 .(1)za0w解 根据分式线性变换保对称点的性质,点 (不妨假设 )关于单位圆周的对称点a0,应该变成关 于单位圆周 的对称点 ,因此所求变换具有形za1w式(7.14),1zak整理后得 1,zawk其中是常数 .选择 ,使得变成单 位圆周上的 点,于是1k1z1w1,ak即 ,因此可令 ( 是实数),最后得到所求的变换为11ie(7.14)1).izaw的确定还要求附加条件,如像例 7.7 中所说过的类似.(读者可以验证,对于变换(7.14),有 .
29、)arg()由(7.14)可见,同心圆周族 的原像是(1)wk,zak这是平面上 单位圆内以 、 为对称点的圆周族:za.1za而单位圆内 的直径的原像是过与两 点的圆周在单位圆内的 圆弧.1wa1z注 上两例我们见到的分式线性变换的 惟一性条件是下列两种形式:()wLz(1) (一对内点对应),再加一对边界点对应.)Lab(2) (一对内点对应), (即在点处的 旋转角固定).arg)ba思考题 (1)求将上半平面共形映射 成下半平面 的分式线性变换,Im0zI0w(7.12)括弧中的条件应怎样修改?(2)求将上半平面共形映射 成单位圆周外部的分式 线性变换,(7.13)括Iz 1弧中的条件
30、就作怎样修改?(3)求将单位圆 其形映射成单位圆周外部的分式线 性变换,(7.14)括弧中1z w的条件应作怎能样修改?例 7.9 求将上半平 面共形映射成上半平面 的分式线性变换,使符合条件:z1(),0().iL解 设所求分式线性变换为 ()wLz,azbcd其中都是实 数, 0.由于 ,必 ,因而 .用除分子分 母,则 变形为0()Lbaa()wLz,zwef其中都是实 数,cdefa再由第一个条件得,1ief即 ,()()fii所以 0,1ef解之得 2故所求的分式线性变换为 ,1zw即 2.1zw例 710 求将上半 z平面共形映射成圆的分 式线性变换 ，使符合条0wR()wLz件.
31、0(),()Liwi解 作分式线性变换 将圆共形映 射成单位圆 .0R0wR1其次，作出上半平面到单位圆 的共形映射，使 变成 ，此分式Imz1zi0线性变换为（如图 7.10） （为了能应用上述三个特别的结果.我们在平面ie与平面间插 入一个“中间”平面 平面.）zw复合上述两个分式线性变换得 ，0iwzeR图 7.10它将上半平 面共形映射成圆变成再 由条件 ，先求得z0,wRi0.()0Li211,()i iz zdweeRi即 () 21),iiRLA于是 0,2ie所求分式线性变换为0.ziwR作业： 318 6，7（1） ，8（1）.P3某些初等函数所构成的共形映射教学目的与要求：
32、使学生掌握幂函数与根式函数、指数函数与对数函数的共形映射的性质与应用重点：幂函数与根式函数、指数函数与对数函数的共形映射的性质与应用难点：幂函数与指数函数的单叶性区域课时：2 学时初等函数所构成的共形映射对今后研究较复杂的共形映射大有作用.1幂函数与根式函数 先讨论幂函数 ,nwz(7.15)其中是大于 1 的自然数.除了 及 外，它处处具有不为零的导数，因而在这些n0z点是保角的.由第二章 3， 的单叶性区域是顶点在原点张度不超过的角形 区域.例如说，(7.5) 2n在角形区域 内是单叶的，因而也是共形的（因为不(7.15) 2:0arg(0)dzn保角的点及在的 边界上，不在 内）.于是幂
33、函数 将图的角形zd(7.15)区域共形映 射成角形区域.:ar()z :0arg.Dwn图 7.11特别， 将角形区域 共形映射成 平面上除去原点及正实轴的区域nwz20argznw（图 ）.712图 7.12作为的逆变 换 ， （7.16）nwzn将平面上的 角形区域共 形映射成平 面上的角形区域w2:0arg(0)Dwnaz（图 7.11）.(这里是 D 内 的一个单值解析分支,它的值完全由区域 d:0argd确定).总之,以后我们要将角形区域的张度拉大或缩小时,就可以利用幂函数（7.15）或根式函数（7.16）所构成的共形映射.例 7.11 求一变换,把具有割痕“ ”的上半 z 平面共形映射成上半 wRe,0Imzazh平面解 复合图 7.13 所示五个变换,即得所要求的变换为 ,2()wzah例 7.12 将区域共形 映射成上半平面.使分别变成arg4（图 7.14）10zi21w解 易知 将指定区域变成上半平面,不过 变成4433()()iiezez 10zi.34,10现再作上半平面到上半平面的分式线性变换,使 变成 .此变换为34,102,10w332()4w2. 指数函数与对数函数 指数函数 (7.17)zwe在任意有限点均有 ,因而它在 z平面上是保角的.()0ze作业： 319 9，12，13（1） 、 （2） ，14.P
