1、1第十讲 格林函数法求解稳定场问题1 格林函数法求解稳定场问题(Greens Function)Greens Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系：热传导方程（Heat Eq.）： 22 ,uaufrtt表示温度场 与热源 之间关系,frtPoissions Eq.：2 0 ufr表示静电场 与电荷分布 之间的关系fr场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。例如，在有限
2、体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：2 04VrdVr这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入 Grenns Functions 的概念。Greens Functions：代表一个点源所产生的场。下面，我们先给出 Greens Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。（我们将不介绍格林函数法在热传导问题和波动方程求解中的应用。 ）普遍而准确地说，格林函数是一个点源
3、在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Greens Functions. 我们只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Greens Functions.2 泊松方程的格林函数静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：3201 fsurrururrn 这里讨论的是静电场 ， 代表自由电荷密度。 rfr格林函数 ：位于 的单位正电荷在 处所激发,Gr r的满足齐次边界条件的电势。三维 Greens Functions 定解问题为： 2 301, 0SGrrrGrn 这里 表述了单位正电荷的体密度。3r注意：对于第二类齐次边界条件且对于有限的研究区域，这个定解
4、问题无解。这是因为，虽然方程说明 内有单位正电V荷存在，而边界条件 说明点源产生的场在边,0SGrn界 上电场的法向分量 处处为零，说明S,nrEn边界条件与方程不相容。另外，可以对方程作积分42 01,VGrdvrdv 这时要包含 点，用高斯定理得 这就矛盾r 01SGdsn:了！ 注： 高斯定理 VSAdvnAds这时引入广义格林函数 2 301,SGrrCrn 其中 为常数，还要增加一个条件，以保证解的唯一性。C求解上面方程组 或 ，可得在给定区域 的泊松方程的V各类边值问题的格林函数。53 镜像法求 G. F.用 Greens Functions 去求解数理方程的定解问题，首先要求出相
5、同边界、同类边值问题的 Greens Function.3.1 镜像法的基本概念 很多物理问题没有一个普遍奏效的解法，人们发展了许多方法，而每一种方法只能解决一部分问题。其中的一种办法是所谓“猜解” ，即“尝试解” 。这要有所谓的“唯一性定理”保证。唯一性定理：某些物理问题（如静电边值问题）有唯一解。可以通过并不唯一的方法找到这个唯一解，这样就保证了解题方法的多样性和灵活性。静电镜像法是一种特殊的猜解方法，其基本思想是：利用点电荷模拟边界面上的感应电荷或极化电荷。可用于镜像法解决的问题包括：在点或线电荷与导体（或介质）存在的系统中，空间任一点的场是由点（或线）电荷与界面上感应（或极化）电荷共同
6、产生的，而感应（或极化）电荷事先并不知道。通过分析边界6条件可以找到一个（或多个）像电荷来等效地代替导体面（或介质面）上的感应（或极化）电荷，从而把点（或线）电荷与界面上感应（或极化）电荷在待求区域产生场的求解问题转化为真实点电荷和虚像电荷在待求区域所产生场的简单叠加。镜像法求边值问题的一般步骤为（以静电场为例）：1） 列出定解问题：电势在待求区域所满足的微分方程和边界条件；2） 根据边界条件分析镜像电荷的个数、位置；3） 写出电势分布的形式表达式（尝试解） ；4） 把边界条件带入形式表达式以确定像电荷的量值和位置；5） 把已求出的像电荷带入形式解以得到真实的电势分布；6） 根据题意要求可由电
7、势求场强、电荷分布及受力等问题。静电镜像法分为：反射镜像法：平面镜法球面镜法半透镜法：平面镜法球面镜法732 无界空间定解问题 2 301,rGrr 对应物理问题： 单位正电荷 置于 ，求空间任一1qr点 处的电势,rxyz ,?Gr1rr,r库仑定律给出的解无界区域的 Greens Function：022201,44Grrxyz又叫基本解。832 上半空间定解问题 2 3001, , 0;, ,z rGrrzG 这里实际上可以给出满足第一类边界条件的 G. F. of the first kind.物理问题： 在 处，有一无限大接地金属板，在0z处有一单位正电荷 ，求金属板上方任一点 处的
8、电势rqr,?G 1q1qorrz镜像法的基本思想用在这里：当电荷 置于导体板的上方q时，由于静电感应，板上出现异号电荷，空间电场是由电荷9及感应电荷共同激发的，即 。q 01G格林等效层定理：带电导体面上的电荷分布在导体外产生的电势，可以用导体面内的一定的等效电荷分布来代替。我们通过电场分布分析，引进像电荷假想电荷来代替感应电荷作用。在这里，我们在电荷 相对于 平面q0z的镜像位置引进 ，那么 和 激发电场与 和真1q q实感应电荷激发的电场相同。这里 要满足 和 共同在导qq体面上产生的电势为零。像电荷的正确引进要符合： 像电荷用在求解区域之外引入，因为感生电荷在上半空间的场 处处满足 L
9、aplaces Eq. , 即在上半平面内1G210G是无源的。 像电荷的电量 和位置要满足边界条件：q和 。0,rG,0rGThen, 和 激发的电势是待求的格林函数。1q1100022222201,41 1Grrrxyzxyz 金属板上的面电荷密度0?zG应能证明：金属板上总电荷 1dS这说明金属板上总感应电荷等于像电荷。这是因为接地的导体平面相当于一面镜子，而 则是 的像，1q1q称像电荷。1q33 球外空间这里还是考虑第一类 G.F.函数的求解问题。定解问题 02 3 001, , ;, ,r rGrrrG 对应物理问题：接地金属球外 处，有一单位正电荷，求球外空间任一点 处的电势1q
10、r,?r111qorr0p首先引进像电荷 ，要不违反泊松方程，也就是让 产q q生的电势 满足 Laplaces Eq., , 必须在求解区域1G210Gq之外一球内，考虑到对称性， 还必须在 上，放在 处。qrr为了保证球面电势为零，即 成立， 为负电0,rq荷。？， ？qr应由边界条件定： 001, 04r rqqGrr 也就是 12000 00 constqqrrrqr 注意，有两个相似三角形。由此确定了像电荷的位置和电量200rrrqq这样， 和 激发的电势就是 Greens Functionq01,4qqGrrr用球坐标表示：场点： ， ,r电荷所在位置： ，q,r像电荷 所在位置：
11、， （这里 ）20,rr ,1322cosrrr （余弦定理）（余弦定理）2222200coscosrrrrrr where cosinincosinsinsicossi co coinscossrrxyzr （ 加法公式）在考虑 ， ， 我们得1q0rqq2 20 00111,4cos cosGrrrrr 14场强： ,EGr球面上电荷分布： 00r球面上总电荷： 1ds由于球面上感应电荷在球外的场与像电荷 的场等效，q所以电荷 受感应电荷的力为 q 2014iFr4 Greens Functions 对称性, ,GrGr重要物理意义： 点的点源，在一定边界条件下，在p产生的场等于：在 置同
12、样强度点源，在相同边界条件下p在 产生的场。p这就是物理学中常说的倒易性互易性。实际上，并非所15有格林函数都具有这种对称性，这与边值问题有关。Proof. 泊松方程的 Greens Fnuctions 对称性。定解问题 :2 301, , (1) :,0, sGrr rGr rn 源 点： 场 点又有:2 301, , (2) :,0, sGrrrGr rn 源 点： 场 点对 积分后：,Eq(1),Eq(2)Grr V23 300,1, ,VVrGrdGrrrrVrr 根据 Green 公式第二式1622V svuuvudVudSn :可得0 , ,1, ,SGrGrGrrrrdSnn （
13、5）与上类似，对定解条件做如下处理得, , ,0, , , ,SSSGrr rGrnrr rrGrGr rnn 所以（5）式右边 0sdS: ,Grr这就是格林函数的对称性。5 求解泊松方程的第一类边值问题泊松方程的第一类边值问题1720, (1) , 2 : f fsrur ur ： 自 由 电 荷 体 密 度静 电 势 ，写出与 有相同边界、同类边值问题的格林函数所满足的ur方程与边界条件2 301, , (3) , sGrr 写出自变量为 的 Greens Formular22VsuvrurdVrrSnn :letting 为待求电势，ur，,vG便有（上式左端代入（3）和（1） ，右端
14、 ）Surr2 2,VsurrGdVurrrSnn :18301 , ,fVsurrGrrdVrrSnn :利用 函数性质和,0sSG00,11 ,fVsGrurrrdVdSn :0, ,fV srrGrrr Where 为 内整个电荷分布在 处激发电势；,fVrrdVr为 外电荷分布在 处激发的电0,srSn:r势。6 用正交函数组展开格林函数一个求有界区域 GF 的重要方法。Example： 求矩形区域内的 Laplaces Eq. 第一边值问题的 GF 222 0, , (1) (0,) ,xaybGxyy xayb (2)满足条件（2）的一组正交函数函数为：19 ,sinsi ,1,2
15、.mnmxyxymnab ，（3）其正交归一关系为： 0, 4abmnmn mnabxyxyd ，（4）注意这里选得正交函数组实际上是有条件的：1） 满足边界条件2） 实际上是如下本征方程的解本征函数：2, =, mnmnxyxy展开所求 GF： mn,G,;,=g, ,mnxyxyxy（5）带入原方程（1）得：2022m,n 22m,n =g, , = g, , mn mnGxyxyxy xyabxy对于上式做以下积分： 22m,n0 0g, , , , mnba mma nnb xymnxy xyabx dxydyWe obtain that 22 g, =,4mn mnmnabxy xy
16、ab So 21 222,4g,=mnmn xyxyabbAnd 222,4g,=mnmn xyxyabb 222m,n 2 22m,n ,4G,;,= ,sinsinsisin4 = mnmnxyxy xyabbmxyxyababbab（6）问题：这里的二重级数收敛很慢，在使用到求普遍问题的解时不太合适。22改进：用一个变数的正交函数组 ,sin, 1,2. mnmxyxa其正交归一关系为 0, 2ammmaxyxyd ，这组函数满足边界条件，0mmb同时具有。22, =, mn mnxyxya使用 对 GF 做展开有,mnxy mG,;,=g;,mxyyxxy（7）23带入原方程（1）得：
17、2 mg= mkxxy(8)Where 22mka做运算 0.(7)*maExqd可得： 2 mmm2ggsin kkxya:(9)把（7）式带入原边界条件（2）式，可得相应边条件：。 mmg0, g0b这样构成了一个本征值问题：24（10）2 g 0, g0kCyb这里已经暂时去掉了下标 m，并且令。2sinCkxa当 时，方程（10）是齐次方程，其通解为y sh chgAkyBky由边界条件 得 sog00,。 shgyAky但看另一端边界条件 ，以上解不能满足。它 g0 b却要求 sh ch 0AkbBkbi.e.ch skbwe have 25 chch s s= s kbgyBkyy
18、kb 所以，定解问题（10）的解为 A sh ykygyBb其中系数待定。问题是 在 点应该是连续的，否则gyy在该点会变成无穷大，这与方程（10）的奇异性不符合，gy因为该式右边的 函数的积分值是有限的。Soy sh shAkBkby因此 sh ysh kygy kbkby （11）如何定 A？对（ 10）式在 点附近求积分y26 y y 2y yggd dkC Letting ，因 g 连续，左方第二项积分趋于零，而得0（12） 00gyyC这说明：是 的一阶导数在 点是间断的有一个y跳越；由（12）式可以定出（11）式中的 A: sh ch ch kyAkkbyAkyCb sh sh c
19、 s ch sh kbyCAkykbykykybkkso shsh s s shCkbykyykbgykykyyk方程（9）在边界条件（10）之下的解是：27 sh sh 2sin h s mmmm mkbykyykxgyab 代入（7）式得到 m=1 sh sh sinsiG,; shs s mbyyyxaaaxy mb 因为只要 ，当 m 很大时，级数的通项y，这个级数收敛较快。 0me:实际上，可以证明（6）式右方的二重级数是上式关于 y的傅立叶展开。As of Microsoft Internet Explorer 4.0, you can applmultimedia-style e
20、ffects to your Web pages using visual filters and transitions. You can apply visual filters and transitions to standard HTML controls, such as text containers, images, and other windowless objects. Transitions are time-varying filters that create a transition from one visual state to another. By com
21、bining filters and transitions with basic scripting, you can create visually engaging and interactive documents.Internet Explorer 5.5 and later supports a rich variety of optimized filters. Click the following button to see a demonstration of many of these filters and how to usetheProcedural surface
22、s are colored surfaces that display between the content of an object and the objects background. Procedural surfaces define each pixels RGB color and alpha values dynamically. Only the procedure used to compute the surface is stored in memory. The content of an object with a procedural surface appli
23、ed is not affected by the procedural surface.警告：此类已序列化的对象将不再与以后的 Swing 版本兼容。当前的序列化支持适合在运行相同 Swing 版本的应用程序之间短期存储或 RMI。从 1.4 版开始，已在 java.beans 包中加入对所有 JavaBeansTM 的长期存储支持。请参见 XMLEncoder。引用类型和原始类型的行为完全不同，并且它们具有不同的语义。引用类型和原始类型具有不同的特征和用法，它们包括：大小和速度问题，这种类型以哪种类型的数据结构存储，当引用类型和原始类型用作某个类的实例数据时所指定的缺省值。对象引用实例变量
24、的缺省值为 null，而原始类型实例变量的缺省值与它们的类型有关。当 JAVA 程序违反了 JAVA 的语义规则时，JAVA 虚拟机就会将发生的错误表示为一个异常。违反语义规则包括 2 种情况。一种是 JAVA 类库内置的语义检查。例如数组下标越界,会引发 IndexOutOfBoundsException;访问 null 的对象时会引发 NullPointerException。另一种情况就是 JAVA 允许程序员扩展这种语义检查，程序员可以创建自己的异常，并自由选择在何时用throw 关键字引发异常。所有的异常都是 java.lang.Thowable 的子类。这里我们采用的是 Java 语言，Java，是由 Sun Microsystems 公司于 1995 年 5 月推出的 Java 程序设计语言和 Java 平台的总称。用 Java 实现的 HotJava 浏览器（支持 Java applet）显示了 Java 的魅力：跨平台、动态的 Web、Internet 计算。从此，Java 被广泛接受并推动了 Web 的迅速发展，常用的浏览器现在均支持
