1、初三数学 锐角三角函数 吴老师1第六讲 锐角三角函数本章思维导图学习要点与方法点拨：一、锐角三角函数的概念，解直角三角形以及特殊锐角与其三角函数值的对应关系；二、解直角三角形的工具：（1）两锐角互余；（2）锐角三角函数；（3）勾股定理；三、要学会构造“直角三角形”模型。遇到不是直角三角形的图形时，要添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形求解。课前复习：1， 勾股定理及其逆定理；2， 利用数形结合的思想解决问题。模块精讲1、正弦、余弦、正切和余切我们学过直角三角形中的一个性质：“30所对的直角边是斜边的一半”，如图，不管三角形的边长如何变化，都有：我们再拓展到更一般的情况，如图，A 为任意锐角。
2、根据相似第初三数学 锐角三角函数 吴老师2的性质，同样可以得到：也就是说，在直角三角形中，给定了一个锐角，不管直角三角形的边长如何变化，这个锐角的对边与斜边的比是一个定值。我们给这个定值取了一个名字，叫做正弦。如图，在 Rt ABC 中，C = 90，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 sin A。即：sin A = = 的 对边斜 边 同样的，我们也有：我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦，记作 cos A。即：cos A = = 的 邻边斜 边 需要注意的是：（1）sin A 和 cos A 是一个比值，它们的实质是两条线段的比，没有单位；（2）在直角三角形中，斜
3、边大于直角边，且各边长均为正数，所以有如下结论：（A 为锐角）0sin A 1， 0cos A1（3）sin A 和 cos A 都是整体符号，记号中省去符号“” 。但是，如果角用一个数字或者三个字母表示时，不能省去符号“”，例如，应写成“sin1”和“sin ADB”，不能写成“sin1 ”和“sinADB”；（4）由 sin A= 可变形得到 a = csin A， c = ，这些变形以后经常用到； sin A（5）通常将(sin A) 2、(cos A)2 分别写成 sin2 A、cos 2 A、 sin2 60等。例 1、（1）在 RtABC 中，C = 90，AC = 2，BC =
4、1，求 sin A、cos A、sin B 和 cos B 的值；（2）分别计算 sin 30，sin 45 ，sin 60的值；（3）在 RtABC 中，C = 90，sin A = 8/17，求 cos A 和 tan A 的值。在 Rt ABC 中，C = 90，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作 tan A。即：tan A = = 的 对边 的 邻边 同样的，我们也有：我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做 A 的余切，记作 cot A。即：cot A = = 的 邻边 的 对边 例 2、（1）在 RtABC 中，C = 90，AC = 12，BC = 5，求 sin A，
5、tan A 和 cot A 的值；对于 30、45 、 60这样的特殊角，含有这些角的直角三角形很容易得出三边的比例关系，也容易得到这些角的三角函数值：sin cos tan cot304560C对边 aBA斜边 c邻边 bC对边 aA斜边 c邻边 bB初三数学 锐角三角函数 吴老师3例 3、 计算（1） - tan 45 ；cos45sin45（2）cos 2 60 + sin2 60 ;（3） + tan 60tan45sin302、特殊角的三角形函数的常见题型1、含 30、 45 、 60角的三角函数的计算题例 4、 已知 a = sin 60，b = cos 45 ，求 的值。 +2+
6、 2、应用特殊角的三角函数值求边长或面积例 5、 已知在ABC 中，AB = AC = 8，顶角 A 为 120，求底边 BC 的长及ABC 的面积。3、运用特殊角的三角函数值判断三角形的形状例 6、 已知在ABC 中，A、B 均为锐角，且有|tan B |(2sin A )2 = 0，试判断ABC 的形状。3 34、探索其他特殊角的三角函数值例 7、 如果要求 tan 15的值，可构造如图所示的直角三角形 ABC：使C = 90， AB = 2，AC = 1，ABC = 30 ，延长 CB 到 D，使 DB = AB，连接 AD，易得ADB = 15，请利用此图求出 tan 15的值。5、三
7、角函数与几何的综合题例 8、 如图，POQ = 90，边长为 2cm 的正方形 ABCD 的顶点 B 在 OP 上，顶点 C 在 OQ 上，且OBC = 30，求点 A、点 D 到 OP 的距离。作垂线，倒角，并利用三角函数值求边长和距离。练习： 1、计算：sin 2 45 cos 30 tan 60 = _；2、在 RtABC 中，C = 90，c = 2 ，b = 3，3则A = _，三角形的面积 S = _；3、如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点M、N 分别为 OB、OC 的中点，求 cosOMN 的值。4、如图所示，一张 RtABC 纸片，如图用两种相同的
8、纸片恰好能拼成一个正三角形，那么在 RtABC 中，sin B 的值是_。5、若 为锐角，且满足 tan2 4tan = 0，求 的度数。3 36、四边形 ABCD 是平行四边形，已知B = 60，BC = 4，AB = 2，试求四边形 ABCD 的面积。3、三角函数及函数性质A 的正弦、余弦和正切都是 A 的三角函数。1、一个锐角的正弦值和它的余角的余弦值相等：如图，在 Rt ABC 中，C = 90 ，则有：sin（90A）= cos A， cos(90A) = sin A .2、一个锐角的正切值和它的余角的余切值相等：如图，在 Rt ABC 中，C = 90 ，则有：tan（90A）=
9、cot A， cot(90A) = tan A .3、取值范围：0sin A1， 0cos A1， tan A 和 cot A 可取全体正数。4、增减性：随着A 的角度增大，A 的正弦 sin A 和正切 tan A 逐渐增大，而A 的余弦 tan A 和余切 cot A 逐渐减小。CaAcbBCAB15 30DCABD QOPCABDNMOCAB初三数学 锐角三角函数 吴老师4例 9、 （1）已知A+B = 90，且 sin A = ，则 cos B = _，tan B = _；3 5（2）已知 sin 35 = m，则 cos _ = m；（3）在 RtABC 中，C = 90，若 sin
10、 B = 0.21，则 cos A = _；（4）sin 32_sin 38， cos 54_cos 60 ， tan 78_tan 82（填或）；（5）若A 和B 都是锐角，且AB，则 sin A_sin B， cos A_cos B， tan A_tan B；（6）若 是锐角，且 sin ，则 的取值范围是（ ） 1 2A、0 30 B、 3060 C、 60905、四种三角函数之间的关系：同一个锐角 的三角函数有如下几种关系： 平方关系： sin2 cos 2 = 1 ，称为三角函数版的勾股定理，可用勾股定理证明； 倒数关系： tan cot = 1 ，易得 tan 和 cot 是互为倒
11、数的； 比值关系： tan = ， cot = 。 例 10、（1）sin 2 65 + cos2 65 = _；（2）在ABC 中，A 为锐角，sin A = ，则 cos A = _；1 3（3）在ABC 中，A 为锐角，tan A = ，则 cot A = _；1 3（4）在ABC 中，A 为锐角，sin A = ，则 cos A = _， tan A = _；7 4（5）在ABC 中，A 为锐角，cos A = ，则 tan A = _.5 134、三角函数常见题型1、求角的正弦值、余弦值例 11、 已知直角三角形的斜边与一直角边的比为 7：5， 为其最小的锐角，求 的正弦值和余弦值。
12、当两个量之比为 m：n 时，常设这两个量分别为 mk、nk，如这题可以设两直角边长分别为 7k、5k。另外，需要判断哪个角是最小的锐角。2、利用平面直角坐标系求锐角的三角函数值例 12、 如图，在平面直角坐标系中，点 P（3，4）是 边上的一点，求 sin 的值。利用坐标系得到直角三角形及其三边长。3、利用锐角三角函数求边长或面积例 13、 在ABC 中，C = 90，AC = 4，sin A = ，求 AB 的长。1 3 根据 sin A 代表的关系设未知数列方程。例 14、 如图，在ABC 中，cos B = ，sin C = ，AC = 5，2 2 3 5 求ABC 的面积。作 ADBC
13、，根据三角函数值解三角形。4、利用三角函数关系的探求题例 15、 对于任意一个锐角 ，有 sin2 cos 2 = 1，请利用这一结论求 sin2 1sin 2 2sin 2 89 的值。 sin 89 = cos(9089) = cos 1， sin 2 1sin 2 89 = sin2 1cos 21 = 1 ， 原式 = 44sin 2 45 = 44.5 OyxQPCAB初三数学 锐角三角函数 吴老师5练习： 1、在 RtABC 中，C = 90，若把ABC 的各边都扩大为原来的 m 倍，则 cos B 的值为（ ）A、mcos B B、 cos B C、 D、保持原值不变1 cos
14、2、在等腰ABC 中，AB = AC = 5，BC = 8，则 sin B 的值为_；3、化简： = _；1-2204、如图，AB 是O 的直径，弦 AC、BD 相交于点 E，则 等于（ ）A、sin A B、cos B C、sinAED D、cosAED由相似，CD/AB = DE/AE = cosAED5、将 cos 21，cos 37 ，sin 41，cos 46按照其值的大小由小到大的顺序排列。6、如图，在 RtABC 中，ACB = 90，CDAB 于点 D，AB = 10，cosBCD = ，求ABC 的面积。3 5 5、解直角三角形解直角三角形是指：根据已知条件，求出直角三角形的
15、所有边和角。（1）至少知道几个元素才能解直角三角形？在全等三角形中，我们知道，有三个元素可以确定一个三角形，在直角三角形中，已知一个角是直角，因此，只需两个元素就可以了；（2）需要知道什么元素？已知两个角无法确定三角形的边，因此，我们需要知道一边一角或者两边。（3）如何通过已知元素求其他的元素？通过直角三角形的边和角之间的关系： 角的关系：两锐角互余，A B = 90； 边的关系：勾股定理，a 2b 2 = c2 ； 边角关系：三角函数sin A = ，sin B = ，cos A = ，cos B = ， tan A = ，tan B = . 例 16、 根据下列条件解直角三角形：（1）在
16、RtABC 中，C = 90，a = 5，c = 5 ；2（2）在 RtABC 中，C = 90，c = 4 ，A = 60；3（3）在 RtABC 中，C = 90，a = 6，b = 2 ；3（4）在 RtABC 中，C = 90，b = 15，A = 30 。例 17、（1）在 RtABC 中，C = 90，a = ，b = ，解这个直角三角形；5 15（2）如图，在 RtABC 中，C = 90，a = 4，A = 25，解这个直角三角形，（参考数据：sin 250.42，tan 25 0.47，结果精确到 0.01）（3）在 RtABC 中，C = 90，A = 70 ，AB = 5
17、，则直角边 AC 长为（ ）A、5sin70 B、5cos70 C、5tan706、解直角三角形的常见题型例 18、 如图，在ABC 中，B = 45，ACB = 75 ，AC = 2，求 BC 的长。例 19、 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 2，CD = 1，A = 60，D = B = 90，求此四边形 ABCD 的面积。求不规则多边形面积的基本思路是“化不规则为规则”，可以用割补法。把多边形变成几个易求的图形的面积的和或差。本题可以用（1）“补法”：延长 AD、BC 交于点 E CaAcbBCaAcbBCA BEDOCABDCA BCABD初三数学 锐角三角函数 吴老师6（2）
18、“割法”：作 BEAD 于点 E，再做 CFBE 于点 F 例 20、 如图，在ABC 中，C = 150，AC = 4，tan B = ，求 BC 的长。1 8 作 ADBC，交 BC 的延长线于点 D。例 21、 已知等腰三角形的面积为 2，腰长为 ，底角为 ，求 tan 。5本题需分等腰三角形顶角为锐角和钝角两种情况，得 2 或 1/2.练习： 1、如图，PA 是O 的切线，切点为 A，PA = 2 ，3APO = 30，则 O 的半径长为_；2、在 RtABC 中，C = 90，tan A = ，a、b、c 为对应的1 2 三边长，且 ab = 3 ，则 a、b、c 的长分别是_ ；7
19、3、如图，在ABC 中，ACB = 90，A = 30 ，AB = 8，D 为 AB延长线上一点，且CDB = 45，求 CD 和 BD 的长。4、如图，在ABC 中，C = 90，D 为 BC 上一点，DAC = 30， BD = 2，AB = 2 ，求 AC 的长。35、如图，在四边形 ABCD 中，B = D = 90，A = 150，AB = 5，CD = 15，求 AD、BC。7、用锐角三角函数解决问题坡度 i = tan = ， 叫做 坡角；h i 越大，tan 就越大，斜坡就越陡；反之，斜坡就越缓。 方向角例 22、 小明和小华看到一颗大树，如图，BM 为小华，CN 为小明，AE
20、 为大树，MNE 为底面，B、C 为小明和小华的观测点眼睛，小明：我站在此处看树顶仰角为 45，小华：我站在此处看树顶仰角为 60，CABA POCA B DCABDCABD水平线俯角仰角铅垂线观测点 P视线视线水平线观测点 A物体 B水平线底面 物体 B观测点 A 为仰角 为俯角hli = 北东西南4545 6060北偏东 60北偏西 45南偏东 60南偏西 45CAB DEM N初三数学 锐角三角函数 吴老师7小明：我们的身高都是 1.6 米，小华：我们相距 20 米。请根据他们的对话，计算大树的高度。（ 1.732，结果精确到 0.1 米）3例 23、 如图，已知小山 BC 的高为 h，
21、为了测得山顶上的铁塔 AB 的高 x，在平地上选择一个观测点 P，在 P 点处测得 B 点的仰角为 ，A 点的仰角为 ，（讲解）（1）试用 、 和 h 的关系式表示铁塔的高 x；（2）当 = 30， = 60，h 为 68m 时，求铁塔的高度。例 24、 如图，在大楼 AB 的正前方有一斜坡 CD，CD = 4 米，坡度为 1： ，小明在斜坡上的点 C 处测得楼顶 B 的仰角3为 60，在斜坡上的点 D 处测得楼顶 B 的仰角为 45，其中点 A、C、E 在同一直线上。（1）求斜坡 CD 的高度 DE；（2）求大楼 AB 的高度（结果保留根号）。延长 BD 交 AE 延长线于 F，易得BFA
22、= 45，DE = EF= 2，EC = 2 . 3设 AC 为 x，则 AB = x，AF = 22 x，3 3练习：（1） （2）例 25、 （2016 山东临沂中考）如图，一艘轮船位于灯塔 P 南偏西60方向，距离灯塔 20 海里的 A 处，它向东航行多少海里到达灯塔P 南偏西 45方向上的 B 处？（ 1.732，结果精确到 0.1）3练习：1、如图，直升飞机在跨海大桥 AB 的上方的 P 点处，此时飞机离地面的高度是 a 米，且 A、B、O 三点在一条直线上，从点P 测得点 A 俯角为 ，点 B 的俯角为 ，求大桥 AB 的长。8、三角函数与圆的综合题三角函数与几何图形综合题的思路：
23、先把三角函数转化为线段比，再利用相似、圆等几何性质。例 26、 小华 小明CABP C ABEDCA BPCA BP初三数学 锐角三角函数 吴老师8首先，ODAE。FODFAE，得 FC = 2，例 27、连 OB，易得OPBOPA， OBP = 90，sin OPA = OA/OP， BD/PA = 2/1 = BD/PB， CD/CO = 2/1，设 CO = r，则 CD = 2r，又 BO = r， BD = 2 r， 因此，PA = r， OP = r，2 2 3例 28、 ABD = CBD， AEB = BCD；因此，sinAEB = sinBCD = BD/BC总结：根据“等角
24、的三角函数值相等”，可以把一个角的三角函数转化成另一个相等且容易计算的角的三角形函数。例 29、由BEFACF ，面积比 = 相似比的平方，需求相似比，又 cosBFA = BF/AF = 相似比 例 30、首先，cos C = cos A，由 DF = 3，易得 BE = 34/5 = 12/5，再得 CE = 16/5 = DE，设半径为 r，则 AB = 2r，由 cos A 可得BF = 3r/2，AF = 5r/2， AD = 5r/23. DE = 3r/29/5， 解方程，可得 r = 10/3. 还有更简单的方法：连 DB，DBF = A，由 cosA，得 BF = 5， AB
25、 = 54/3 = 20/3 连接 DB 构造出含 DF 的直角三角形 。练习：（1） （2）初三数学 锐角三角函数 吴老师9（2）连 OD、OE，易得 ODCE，OEBE。因此，OEB =CBD， BO/BE = 2/3， BE = 9。9、构造直角三角形使用三角函数例 31、（1）（2）（3）例 32、（1）在 RtABC 中，C = 90，如果 sin A = ，则 tan B = _；4 5 （2）已知等腰三角形的底为 4，腰为 6，则顶角的正切值是_；（3）（4）例 33、（1）（2）（3）初三数学 锐角三角函数 吴老师10练习：（1） （2）（3） （4）初三数学 锐角三角函数 吴
26、老师11课后巩固习题1. 如图(1)，沿 折叠矩形纸片 ，使点 落在 边的点 处已知 ， ，AB=8,则AEABCDBCF8AB10C的值为 ( )tanFC 343542. 如图(2)，在直角坐标系中，将矩形 沿 对折，使点 落在 处，已知 ， ，则点O13O1AB的坐标是（ ）1A D EC B F 第 18题 图 （1） （2） (3) (4) (5)3. 如图(3)，在等腰直角三角形 中， ， ， 为 上一点，若 ，则AB90C6ADC1tan5DBA的长为( )A B C DAD2124. 如图(4)， 中， , 是直角边 上的点，且 , ，则 边的长RtC90DBC为_ 5. 如图
27、(5)，在矩形 中， 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点，若 ，AEFGHAA4tan3AEH四边形 的周长为 ，则矩形 的面积为 _.EFGH4AB（6） （7） (8) 6. 如图 6 所示， 中， ， 于 ， ， ，则 _ABCBDAC6B12DCAcosC7. 等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，则底角的余弦值为_.8如图 7，C=90，DBC=45，AB=DB，利用此图求 tan225的值9、如图 8，已知 RtABC 中， AC=3，BC= 4，过直角顶点 C 作 CA1AB，垂足为 A1，再过 A1 作 A1C1BC，垂足为C1，过 C1 作 C1A2AB ，垂足为 A2，
28、再过 A2 作 A2C2BC，垂足为 C2，这样一直做下去，图 510初三数学 锐角三角函数 吴老师12CBA得到了一组线段 CA1，A 1C1， ，则 CA1=_，_。2 54CA10、如图 9，每个小正方形的边长为 1，A 、B、C 是小正方形的顶点，则ABC 的度数为（ ）A90 B60 C45 D3011、如图 10，矩形 ABCD 中，ABAD，AB =a，AN 平分DAB，DM AN 于点 M，CNAN 于点 N则 DM+CN 的值为（用含 a 的代数式表示）()Aa B C D 542a23（第 9 题） （第 10 题）12.如图，在 RtABC 中， C=90，sinB= 3
29、5，点 D 在 BC 边上，且ADC=45，DC=6，求BAD 的正切值。13、如图，在正方形 ABCD 中，M 为 AD 的中点，E 为 AB 上一点，且 BE=3AE，求 sinECM。14.如图，已知ABC 是等腰直角三角形，ACB90，过 BC 的中点 D 作 DEAB 于 E，连结 CE，求 sinACE的值15.如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，BCD=90，AB=1，BC=2，tan ADC=2。（1 ）求证：DC=BC（2 ） E 是梯形 ABCD 内一点，F 是梯形 ABCD 外一点，且 EDC=FBC，DE=BF ，是判断ECF 的形状，并证明你的结论；（3 ）在（2 ）的条件下，当 BE:CE=1:2，BEC=135时，求 sinBFE 的值。aNM CDA B
