1、第- 1 - 页 共 3 页二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx2.二次函数 的性质2axy(1)抛 物 线 的 顶 点 是 坐 标 原 点 ， 对 称 轴 是 轴 .(2)函 数 的 图 像 与 的 符 号）（ 0y2aa关 系 . 当 时 抛 物 线 开 口 向 上 顶 点 为 其 最 低 点 ； 当 时 抛 物 线 开 口 向 下 顶 点0a为 其 最 高 点3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合) 轴的抛物线.cbxay2 y4.二 次 函 数 用 配 方 法 可 化 成 ： 的 形 式 ， 其 中khxy2.k
2、bh42，5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； ； ； ； .axykxy22xaykxay2 cbxay26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 决 定 抛 物 线 的 开 口 方 向 ：当 时 ， 开 口 向 上 ； 当 时 ， 开 口 向 下 ； 相 等 ， 抛 物 线 的 开 口 大 小 、 形 状 相 同 .00平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .yhxy0x7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开a口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法： ，顶点是
3、 ，对称轴是直线abcxacbxy4222 ），（ abc422.abx2(2)配 方 法 ： 运 用 配 方 法 将 抛 物 线 的 解 析 式 化 为 的 形 式 ， 得 到 顶 点 为 ( , )， 对 称khxy2 hk轴 是 .h(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线 中， 的作用cbxay2ba,(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2xya(2) 和 共 同 决 定 抛 物 线 对 称 轴 的
4、 位 置 .由 于 抛 物 线 的 对 称 轴 是 直 线 ,故 ：b cbxy2 abx2 时 ， 对 称 轴 为 轴 ； (即 、 同 号 )时 ,对 称 轴 在 轴 左 侧 ；0y0aby (即 、 异 号 )时 ,对 称 轴 在 轴 右 侧 .aby(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.c cx2当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点(0， )：0xcyb2yc ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.00cy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab第- 2 - 页 共 3 页10.几种特殊的二次函数的图像特征如下
5、：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy( 轴)0xy(0,0)k( 轴) (0, )k2hh( ,0)hxy x( , )cba2当 时0a开口向上当 时开口向下 ab2( )abc422，11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cxy2 xy(2)顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh(3)交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .1x2 21xay12.直线与抛物线的交点(1) 轴与抛物线 得交点为( )ycbxay2 c,0(2)与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( ,
6、).hbay2 hcb2(3)抛物线与 轴的交点x二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方2 1x2程的 两 个 实 数 根 .抛 物 线 与 轴 的 交 点 情 况 可 以 由 对 应 的 一 元 二 次 方 程 的 根 的 判02cba x别 式 判 定 ：有两个交点 抛物线与 轴相交；有一个交点(顶点在 轴上 ) 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离.x(4)平行于 轴的直线与抛物线的交点x同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kkcba(5)一次函数
7、的图像 与二次函数 的图像 的交点，由nxyl 02acbxyG方程组的解的数目来确定：cba2方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; lG方程组只有一组解时 与 只有一个交点； 方程组无解时 与 没有交点.l(6)抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为x cbxay2，由于 、 是方程 的两个根，故 021， BA1x2 02xacb1, acbacxxx 442221212213二次函数与一元二次方程的关系：第- 3 - 页 共 3 页(1)一元二次方程 就是二次函数 当函数 y 的值为 0 时的情况cbxay2 cbxay2(2)二 次 函 数 的 图 象 与 轴 的
8、交 点 有 三 种 情 况 ： 有 两 个 交 点 、 有 一 个 交 点 、没 有 交 点 ； 当 二 次 函 数 的 图 象 与 轴 有 交 点 时 ， 交 点 的 横 坐 标 就 是 当2时 自 变 量 的 值 ， 即 一 元 二 次 方 程 的 根 0y 02x(3)当二次函数 的图象与 轴有两个交点时，则一元二次方程cbxay2有两个不相等的实数根；当二次函数 的图象与 轴有一个cx2 cbxay2x交点时，则一元二次方程 有两个相等的实数根；当二次函数02的图象与 轴没有交点时，则一元二次方程 没有实数根y 014.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等
