1、1函数有三个零点与导数解决方法：一、能分离参数，则分离参数，数形结合若直线与函数图象有三个交点，则函数有极大值与极小值，直线应在两个极值点所对应的点之间平移。即：g(x) 极小 参数g(x) 极大 。二、不能分离参数，则利用 f(x)极小 0，f(x) 极大 0 求解，如图。1.若函数 f（x）=x 3-3x+a 有三个不同的零点，求实数 a 的取值范围解：方法：分离参数，数形结合法由 f（x）=x 3-3x+a=0 得：a=-x 3+3x，令 y=a，y=-x 3+3x,f（x）=x 3-3x+a 有三个不同的零点，等价于 y=a 与 g(x)=-x3+3x 有三个交点，对于函数 y=-x3
2、+3x，由 g(x) =-3x2+3=0，得 x=1，当 x-1 或 x1 时，g(x)0，g(x)=-x 3+3x 在（- ，-1）和（1，+）上是减函数；当-1x1 时，g(x)0，g(x)=-x 3+3x 在（-1，1）上是增函数，g(x) 极小 = g(1)=-2； g(x) 极大 = g(-1)=2.y=a 与 g(x)=-x3+3x 有三个交点， -2a2，故 a 的取值范围是（-2，2）方法：f(x) 极小 0，f(x) 极大 0由 f（x）=x 3-3x+a 有三个不同的零点，则 f（x）有两个极值点，极小值小于 0，极大值大于 0；由 f（x）=3x 2-3=3（x+1）（
3、x-1）=0，解得 x1=1，x 2=-1，所以函数 f（x）的两个极值点，x（-，-1），f（x）0，x（-1，1），f（x）0，x（1，+），f（x）0，f（x）的极小值 f（1）=a-2 和极大值 f（-1）=a+2因为 f（x）=x 3-3x+a 有三个不同的零点，所以 ，解之，得-2a2故 a 的取值范围是（-02，2）2已知函数 f（x）= x2-4x+3lnx+m 有且只有三个不同的零点，求实数 m 的取值范围12解：f（x）= x2-4x+3lnx+m， ，1 234()313xxfx（ ）f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+）上是增函数；x=1
4、是 f（x）的极大值点，x=3 是 f（x）的极小值点。又 f（1）= -4+m=m- ，f（3）= -12+3ln3+m=m+3ln3- ， ，27921520 limlixxff（ ） ， （ ）函数 f（x）= x2-4x+3lnx+m 有且只有三个不同的零点，等价于 f（1）= -4+m=m- 0 且 f（3）= -279212+3ln3+m=m+3ln3- 0， m -3ln3m 的取值范围为（ ， ）157152753（2016东湖区月考）已知函数 f（x）=x 2-（a+2）x+alnx ，其中常数 a0（1）当 a2 时，求函数 f（x）的单调递增区间；（2）当 a=4 时，若
5、函数 y=f（x）-m 有三个不同的零点，求 m 的取值范围本题第（2）问可以改为：（3）当 a=4 时，若函数 y=f（x）-m 有且只有一个零点，求 m 的取值范围（4）当 a=4 时，若函数 y=f（x）-m 有两个不同的零点，求 m 的取值范围（此问无解）解：（1）由 f（x）=x 2-（a+2 ）x+alnx 可知，函数的定义域为 x|x0，且 ，a2， 12()21axaxfa 2a当 0x1 或 x 时，f（x）0；当 1x 时，f（x）0，2f（x）的单调递增区间为(0，1)，( ，+)2a（2）当 a=4 时， 当 x 变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：()fxx
6、（0，1） 1 （1，2） 2 （2，+）f（x） + 0 - 0 +f（x） 单调递增 f（x）取极大值 单调递减 f（x）取极小值 单调递增f(x) 极大值 f(1) 1 261+4ln15，f(x) 极小值 f(2)2 262+4ln24ln28函数 f（x）的图象大致如下：若函数 y=f（x）-m 有三个不同的零点，则 m（4ln2-8，-5）34已知 a0，函数 f（x）=ax 2-2ax+2lnx，g（x）=f（x ）-2x（）当 a=1 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）讨论 g（x）的单调性；（）当 a1 时，若函数 h（x）=g（x）+5+ 有三个不
7、同的零点，求实数 a 的取值范围1a45 （ 2015连云港三模）函数 f（x）=a x-x2（a1）有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 解：先画草图大致分析一下：令 y=ax（a1）,y=x 2,在同一坐标系中画出它们的图象，当 x0 时，显然它们的图象，有一个交点，即 f（x）=a x-x2（a1）有一个零点。当 x0 时，由 ax-x2=0，可得 ax=x2，xlna=2lnx， ，lnl令 ，则 =0，可得 x=e，2lxh（ ） 2lnxh（ ）h(x)在（0，e）上单调增，在（e，+）上单调减，h（x） max=h（ e）= ，又x0 时， ；x+时， ，2lnx20lnx
8、当 0lna ，即当 时，y=lna 与 (x0)有两个不同的交点，e21ea 2lnxh（ ）即 有两个不同的解，2lnlxa当 时，f（x）=a x-x2（a1，x0）有两个不同的零点。1e 又 x0 时，必有一个交点， 时，函数 f（x）=a x-x2（a1）有三个不同的零点，2ea 故答案为： 21e 56（2015海淀区一模）已知函数 有三个不同的零点，求实数 a 的范围203xafx，（ ） ， 解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为 x= ，最多两个零点，2a如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与 x
9、 轴相交，由指数函数过点（0，1），故需下移至多 1 个单位，故 0a1，还需保证抛物线与 x 轴由两个交点，故最低点 0，2(431)a解得 a0 或 a ，49综合可得 a1，a 的取值范围为： a1。497已知函数 有三个不同零点，求实数 a 的取值范围203xaflnx，（ ） ， 解：当 x0 时，f（x）=lnx-2x+a，则 f（x）= 2 ，由 f（x）0 得 0x ，此时函数单调递增，1 12由 f（x）0 得 x ，此时函数单调递减，2当 x= 时，函数取得极大值同时也是最大值 f（ ）=ln -1+a，12 12当 x0 时，函数 f（x）=2 x- 为增函数，3a如图：6要使 有三个不同零点，20=3xaflnx，（ ） ， 则满足 ，即 ，即 ，1()20f 0132aln 0312alnl 解得 1+ln2a3，a 的取值范围为（1+ln2，3。8（2016 年高考理科第 15 题）已知函数 ，其中 m0，若存在实数 b，使得关2|,()4,xxfm于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围为 。答案：（3，+）
