1、必修一 第二章 函 数 第 1 页 共 12页求解函数定义域、值域、解析式【课堂笔记】 知识点一 定义域、值域的定义在函数 中， 叫做自变量， 的取值范围的集合 A 叫作函数的定义域；与 的值相对应的值)(xfyx x叫作函数值，函数值的集合 叫作函数的值域。y )(Af下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。（1）当函数是以解析式的形式给出的时候，其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。注意：（1）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，要注意逻辑连接词的恰当使用。（2）定义域是一个集
2、合，其结果可用集合或区间来表示。（3）若函数 是整式型函数，则定义域为全体实数。)(xf（4）若函数 是分式型函数，则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。（5）若函数 是偶次根式，则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。)(f（6）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定。（7）如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使其各部分有意义的公共部分的集合。（8）复合函数的定义域问题：若已知 的定义域为 ,则复合函数 的定义域可由不等式 解出； )(xfba)(xgf bxga)(若已知 的定义域为 ，则函数 的定义域，即为当 时函数 的值g ,x域。
3、【例 1】求下列函数的定义域（1） （2） （3）1xyxy10)1(2xy【例 2】 求下列函数的定义域（1） ； （2） ；xy1142xy必修一 第二章 函 数 第 2 页 共 12页（3） ； （4）232-751xxy 1032xy【当堂检测】1. 函数 的定义域为（ ）xy432A. -4,1 B. C. D. 0,1,01,0,42函数 的定义域为（ ）xxy)1(A. B. C. D. 01xx3.求下列函数的定义域（1） （2） （3）3)(xf xxf2)( xf51)(知识点二 抽象函数（复合函数）的定义域1. 抽象函数求定义域问题的关键是注意对应关系，在同一对应关系作用
4、下，不管接受对应关系的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，即都在同一取值范围内。2. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是指满足不等式 的)(xf,ba)(）（ xgf bxga)(的取值集合。一般地，函数 的定义域为 ，指的是 ，要求 的定义域，就是求x )）（g,ba)(xf时 的值域。,ba)(xg【例 1】已知 的定义域为 ，求 ； ； 的定义域。fy2,0)(2xf)1(xf )(xf必修一 第二章 函 数 第 3 页 共 12页【例 2】已知函数 的定义域为 ，求 的定义域。)1(2xf 1,0)(xf【例 3】已知函数 的定义域为 ，求 的定义域。)(xf1,0 )
5、0()() mxffxg【当堂检测】1、已知 的定义域为 ，求 的定义域。)(xf2,0)1(xfy2、已知 的定义域为 ，求 的定义域。)1(xfy2,0)(xf3、已知函数 的定义域为-2,3） ，求 的定义域。)1(xf )21(xf知识点三 函数解析式求法1.待定系数法当已知函数 的类型时，要求函数 的解析式，可先由其类型设出解析式，然后根据已知条件列方)(xf )(xf程（组）求解。如已知 为一次函数，且其图像经过点（0,1）和（1,0） ，可设 （ ） ，)(f bkxf)(0必修一 第二章 函 数 第 4 页 共 12页将已知点的坐标代入得 ，解得此方程组得 ，故 。01bk1b
6、k1)(xf【例 1】 设 ，求 。613)()22xxff )(xf【例 2】已知函数 ， 为一次函数，且一次项系数大于 0，若 ，2)(xf)(g 2504)(2xxgf求 的解析式。)(xg【当堂检测】1、若 ，求一次函数 的解析式。267)(xf )(xf2、若 是二次函数，且满足 求 。)(xf ,2)(1(,)0(xfxff )(f2.配凑法已知 的解析式，要求 时，可从 的解析式中拼凑出“ ”作为整体来表示，再)(xgf )(xf)(xgf )(xg必修一 第二章 函 数 第 5 页 共 12页将解析式两边的 都用 代替即可。如已知 （此解析式中的 = ） ，求)(xg 1)(2
7、xxf )(xg1时，)(xf可整理 ，用 代替等号两边的 ，得 。22)1()1xx x2)(xf【例 3】 已知 ，求 ；3)(2f )(xf【当堂检测】1. 已知 ，求xxf1)(2)(f2. 已知 ，求函数 的解析式；2)1()(xxf)(xf3.换元法令 ，等价变换为用 表示 的解析式。然后求出 的解析式，最后用 代替等式两边所有)(xgttx)(tfx的 即可。如已知 ，令 ，则 ，所以 ，12f t1x 221)()1(tttf 故 。2)(xf必修一 第二章 函 数 第 6 页 共 12页【例 4】 若 ，求 。xfxf2)1()(3)(f【当堂检测】1. 已知 ，求2)1(x
8、xf )3(),3(xff及2. 已知 求 的解析式。),0(5)1(2xxf (xf3.已知函数 ，求函数 的解析式。xxf21）（ )(xf4.方程组法当关系式中同时含有 与 或 与 时，常将原式中的 用 （或 ）代替，)(xf)f(xf)1f xx1从而得到另一个同时含 与 或 与 的关系式，将这两个关系式联立，解方程组解出 。)(f)f(f)xf )(f如已知 ，求 的解析式时，可将原式中的 用 代替，可得01)(2xxf x1必修一 第二章 函 数 第 7 页 共 12页，解方程组 得 。)0(1)(12xfxf xfxf1)(12xf312)(【例 5】 设 ，求 的解析式。xff
9、4)(2)3)(f【当堂检测】1.若 求 的解析式。,4)3()4( 2baxbfxaf )(xf2. 已知 ，求 的解析式。)1,0()1()xxf )(xf5.特殊值法所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，求出未知的函数。至于取什么特殊值，根据题目特征而定。【例 6】设 是 R 上的函数，且满足 ，并且对任意实数 有 ，)(xf 1)0(f yx, )12()(yxff求 的解析式。f知识点四 函数值域的求法【重点、难点】必修一 第二章 函 数 第 8 页 共 12页1. 观察法通过对函数解析式进行变形，利用熟悉的基本函数的值域
10、，求函数的值域。如求函数 的值12xy域，由 得 ，再求倒数得 ，故其值域为 。02x12102x1,0(【例 1】 求下列函数的值域：（1） ； （2）5,43,xy y2. 配方法对二次函数型的解析式可先进行配方，在自变量的取值范围内，求出二次函数的值域的方法，这就是配方法。【例 2】求函数 的值域。245xy3. 换元法通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数划归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。【例 3】 求函数 的值域。12xy4. 分离常量法将形如 的函数分离常数，变形过程为)0(adbcaxdcy且，再结合 的取值范围确定 的取值范围，从而确定函数x
11、babxdc )( xbaxcd的值域。【例 4】 求函数 的值域。2415y必修一 第二章 函 数 第 9 页 共 12页5. 判别式法将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些可化为关于自变量的二次方程的函数，使用此法要特别注意自变量的取值范围。【例 5】 求函数 的值域。12xy【当堂检测】求下列函数的值域：（1） （ 2） （3） 52xy )5,1642xy Rxxy,4124（4） （5） 。13知识点五 函数定义域、值域的逆向应用1. 函数定义域的逆向应用定义域的逆向问题在思考时要调整思维方向，在定义域已知的情况下，根据函数类型列出相应关系式，求出参数的
12、范围。【例 1】 （1）若函数 的定义域为 R，求实数 的取值范围。12)()1()2axaxf a（2）判断 为何值时，函数 关于 的定义域为 R。k82ky必修一 第二章 函 数 第 10 页 共 12页2. 函数值域的逆向应用【例 2】求使函数 的值域为 的 的取值范围。122xay)2,(a知识点六 数学思想方法方法一 分类讨论思想【例 1】 已知函数 的定义域是 R，求实数 的取值范围。862mxy m方法二 函数与方程思想【例 2】 求函数 的值域。3274xy方法三 转化思想必修一 第二章 函 数 第 11 页 共 12页【例 3】 求函数 的值域。xy21第二部分：【小试牛刀】
13、1. (全国考高)函数 的定义域（ ）xy1A. B. C. D. 1x0x01x或 10x2. (全国高考)函数 的定义域（ ）x)(A. B. C. D. 0x1x3.（上海高考）函数 的定义域_.6)(2xf4. (江西高考)函数 的定义域_.f43)(25.求下列函数的定义域：（1） （2） ；32xy xy1（3） （4）1 2253必修一 第二章 函 数 第 12 页 共 12页6. 复合函数求定义域（1）已知函数 的定义域为 ，求 的定义域。)(xf 23,1)0()(axffxF（2）已知函数 的定义域为（0,1） ，求 的定义域。217. 已知 ，求函数 的解析式。xfx2)1()2)(xf8.（1）已知 ，求 的解析式；64)1(2xxf )(xf（2）已知 ，求 的解析式；2ff（3）设 的定义域在（1，+）上的一个函数，且有 ，求 的解析式。)(xf 1)(2)xfxf )(xf
