1、不积跬步无以至千里1 / 12动点问题二次函数中等腰三角形存在性问题方法总结： 假设结论成立； 当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底、哪条是腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，等到三种情况； 设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；计算求解，根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系式求解即可。典型例题：例 1如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（1，0） ，B（4，0） ，C（0，4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点（1）求这个二次函数的
2、解析式；（2）是否存在点 P，使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点 P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时 P 点坐标和PBC 的最大面积不积跬步无以至千里2 / 12例 2.如图，抛物线 y= + 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x21xnm轴于点 D，已知 A（1，0） ，C（0，2） （1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点 E 时线段 BC 上的一个
3、动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标不积跬步无以至千里3 / 12例 3如图，二次函数 的图象经过 A(2，0)，B(0，6)两点21yxbc（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连接 BA，BC，求ABC 的面积（3）在 x 轴上是否存在一点 P，使ABP 为等腰三角形，若存在，求出 P 的坐标，若不存在，说明理由.例 4. （2014绵阳）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 M（2， ） ，顶点坐标为不积跬
4、步无以至千里4 / 12N（1， ） ，且与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线对称轴上的动点，当PBC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标；（3）在直线 AC 上是否存在一点 Q，使QBM 的周长最小？若存在，求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由例 5. (2014 年四川资阳)如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为 A（3，0） ，与 y 轴的交点为 B（0，3） ，其顶点为 C，对称轴为 x=1（1）求抛物线的解析式；不积跬步无以至千里5 / 12（2）已知点 M 为 y 轴上的一个动点，当ABM 为等腰
5、三角形时，求点 M 的坐标；例 6如图，已知二次函数的图象经过点 A（3，3） 、B（4，0）和原点 OP 为二次函数图象上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D（m，0） ，并与直线 OA 交于点 C不积跬步无以至千里6 / 12（1）求出二次函数的解析式；（2）当点 P 在直线 OA 的上方时，用含 m 的代数式表示线段 PC 的长，并求线段 PC 的最大值；（3）当 m0 时，探索是否存在点 P，使得PCO 为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有 P 的坐标；如果不存在，请说明理由例 7 （2014 年浙江义乌 12 分）如图，直角梯形 ABCO 的两边 OA，OC 在坐标轴
6、的正半轴上，BCx轴，OA=OC=4，以直线 x=1 为对称轴的抛物线过 A，B，C 三点.不积跬步无以至千里7 / 12（1）求该抛物线线的函数解析式.（2）已知直线 l 的解析式为 yxm，它与 x 轴的交于点 G，在梯形 ABCO 的一边上取点 P.当 m=0 时，如图 1，点 P 是抛物线对称轴与 BC 的交点，过点 P 作 PH直线 l 于点 H，连结 OP，试求OPH 的面积.当 m3时，过 P 点分别作 x 轴、直线 l 的垂线，垂足为点 E，F. 是否存在这样的点 P，使以P，E，F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.例 8如图，抛物
7、线 23yx6与 x 轴交于点 A，将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 1200至 OB 的位置.不积跬步无以至千里8 / 12（1）点 B 在抛物线上;（2）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由例 9如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx4（a0）的图象与 x 轴交于 A（2，0） 、C（8，0）两点，与 y 轴交于点 B，其对称轴与 x 轴交于点 D（1）求该二次函数的解析式；不积跬步无以至千里9 / 12（2）如图 1，连结 BC，在线段 BC 上是否存在点 E，使得CDE 为等
8、腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，若点 P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中 m0，n0） ，连结PB，PD，BD，求BDP 面积的最大值及此时点 P 的坐标例 10.如图，抛物线 经过 的三个顶点，已知 轴，254yaxABC BCx点 在 轴上，点 在 轴上，且 AxC（1）求抛物线的对称轴；不积跬步无以至千里10 / 12（2）求抛物线的解析式；（3）探究：若点 是抛物线对称轴上且在 轴下方的动点，是否存在 是等腰三角形若存在，PxPAB求出所有符合条件的点 坐标；不存在，请说明理由例 11.如图 11 所示，在梯形 AB
9、CD 中，已知 ABCD， ADDB，AD=DC=CB，AB=4以 AB 所在直线为轴，过 D 且垂直于 AB 的直线为 轴建立平面直角坐标系xy（1）求DAB 的度数及 A、D、C 三点的坐标；（2）求过 A、D、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴 LAC Byx011不积跬步无以至千里11 / 12（3）若 P 是抛物线的对称轴 L 上的点，那么使 PDB 为等腰三角形的点 P 有几个?（不必求点 P 的坐标，只需说明理由）例 12.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0） 、 C（8，0） 、 D（8，8）.抛物线 y=ax2+bx 过 A、 C 两点. (1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点 P 从点 A 出发沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD向终点 D 运动速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE AB 交 AC 于点 E过点 E 作 EF AD 于点 F，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长?连接 EQ在点 P、 Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得 CEQ 是等腰三角形?不积跬步无以至千里12 / 12请直接写出相应的 t 值.
