1、解函数方程的几种方法 李素真 摘要：本文通过给出求解函数方程的基本方法，来介绍函数方程，探索通过构造函数方程求解其它问题的方法,以获得新的解题思路。关键词：函数方程；换元法；待定系数法；解方程组法；参数法含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解，求函数方程的解或证明函数方程有无解的过程叫解函数方程。 函数方程的解法有换元法（或代换法） 、待定系数法、解方程组法、参数法。1.换元法换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量(中间变量) ，然后找出函数对中间变量的关系，从而求出函数的表达式。例 1 已知 ，求 。xfxsin)2()(f解：令 ，则 ，于
2、是可得，ux）（ 0ulog2 )logsin()l()22uuf，以 代替 ，得 。）（ 0 logsin(l)(2xf0x例 2 已知 ，求 。xf21ln)()0()(f解：令 ，则 ，于是 ，tx1t)( 12ln12ln)(tttf即 。12ln)(xf例 3 已知 ，求 。xf2cos)()(f解：原式可以化为 ，令 ， ，则换1cos12xf txcos2,0元后有 。1)(2)xtf 2,0x2.待定系数法待定系数法适用于所求函数是多项式的情形。当我们知道了函数解析式的类型及函数的某些特征，用待定系数法来解函数方程较为简单。一般首先确定多项式的次数，写出它的一般表达式，然后由已
3、知条件，根据多项式相等的条件确定待定系数。例 4 已知 为多项式函数，且 ，求 。)(xf 42)1()( xxff )(xf解：由于 与 不改变 的次数，而它们的和是 次的，所以 为二1f)ff f次函数，故可设 ，从而有cbxa2()(2 )1()()1(1)(2 22cbxa cxbaff 由已知条件得 42)(2xcbxa根据两个多项式相等的条件得， ， ，由此得 ， ， ，故有 。2ab4)(2ca1ab1c1)(2xf例 5 已知 是 的二次函数，且 ，求 。)(xf xf24)()(f解：因为 c 是 的二次函数，故可设 ，由此，cbaxf2cxcxbffaxf )()()()(
4、 222将上式化简并代入 ，得f24 xcbaxbcxacbxa 2)()()(2 4222343 比较对应项的系数有，解之得 ，故 。022123cbaaa10cba1)(2xf3.解方程组法此方法是将函数方程的变量或关系式进行适当的变量代换，得到新的函数方程，然后与原方程联立，解方程组，即可求出所求的函数。例 6 设 是对 及 以外的一切实数有定义的实值函数，并且)(xf01x，求 。1()xf解：以 代换 ， 得 。x121()()xxff以 代换 ， 得 。1ffxx由 ()xf121()()ff2()(1xffx消去 ， 得 。1()fx()fx32(),(0,)1)xfx例 7 解
5、函数方程 3()24ff解：函数方程中的未知函数 和 不能用 的同一个解析式表达出，若把它们看作fx1()fx是方程中的两个未知元，就必须设法消去一个才能解出另一个。为此，分别以 和 代替方程中的 ，相应地得到 和t1x13()24ftft。 将该两式看作是关于未知元 和 的二元一次方程组，即43()2fftt t可求解。得 。于是 。即 为函数方程的85()1ft218()5tf218()5xf解。例 8 是定义在 上的实值函数，且 ，求 。()fx0,1()lg1ffx()fx解：以 代替 ，得 消去 ，得 。1x1()(lg)fx()fxl(),(0)fx4.参数法参数法是通过设参数、消
6、参数得出函数的对应关系，从而求出 的表达式。)(xf例 9 已知 ，求 。2(1cos)infx()fx解：设所求函数 的参数表达式为 21cosinty，所以 2cos1intxy。()yf联立方程组消去参数 ，得 ，所以 。t21x2(),0x即 。2()1),0fx例 10 已知 ，求 。2(cos)5infxx()f解：设所求函数 的参数表达式为： ，所以 。yf 2cos5inty2cosin5txy联立方程组消去参数 ，得 ，即 。t248x()48,13fxx参考文献：【1】高夯，现代数学与中学数学（第二版）M，北京：北京师范大学出版社， 2010.【2】姚开成，函数方程的几种解法J，新疆石油教育学院学报， 2000.【3】聂锡军，函数方程的解法及应用J，丹东师专学报， 1997.【4】胡皓，函数方程的一些解法J，西昌师范高等专科学校学报， 2002.【5】刘维江，函数方程的解法及应用J，安顺师专学报， 2001.【6】徐凤林，几类函数方程的解法J，山东轻工业学院学报， 2007.
