1、1第九讲 二次函数与三角形、四边形及其面积问题一、知识梳理：抛物线与几何问题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查学生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构
2、造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。解抛物线与几何的综合题，应善于运用坐标，线段长度，抛物线解析式三者关系，充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。二、精典题型剖析考点 1、二次函数与等腰三角形例 1、 （2012 扬州 ）已知抛物线 yax 2bxc 经过 A( 1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；(3)在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件
3、的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由变式训练 （2012 杭州）已知抛物线 y=k（x+1） （x ）与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点C，则能使 ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）A2 B3 C4 D52考点 2、二次函数与直角三角形例 2 （2.2012 菏泽）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0， 1） ，B （ 2，0） ，O（0 ，0） ，将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90，得到A BO（1）一抛物线经过点 A、B、B，求该抛物线的解析式；（2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点 P，使四边形 PBAB 的面积是A BO 面
4、积 4 倍？若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（2）的条件下，试指出四边形 PBAB 是哪种形状的四边形？并写出四边形PBAB 的两条性质考点 3、二次函数与平行四边形例 3、 （2012 成都） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 54yxm ( 为常数)的图象与 x 轴交于点 A( 3，0)，与 y 轴交于点 C以直线 x=1 为对称轴的抛物线2yabc(ac， ， 为常数，且 a0)经过 A， C 两点，与 x 轴的正半轴交于点B（1）求 m的值及抛物线的函数表达式；（2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点，过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点
5、F是否存在这样的点 E，使得以 A， C， E， F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若 P 是抛物线对称轴上使 ACP 的周长取得最小值的点，过点 P 任意作一条与 y 轴不平行的直线交抛物线于 1M()xy， ， 2()xy， 两点，试探究 21M 是否为定值，并写出探究过程3考点 4、二次函数与矩形、菱形例 4、 （2012 烟台） 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点B（1， 0） ，C（3，0） ，D（3，4） 以 A 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C动点 P 从点A 出发，
6、沿线段 AB 向点 B 运动同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动点P，Q 的运动速度均为每秒 1 个单位运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时， ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点 P，Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以 C，Q，E，H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值考点 5、二次函数与相似三角形例 5（2012 铜仁）如图，已知：直线 交 x 轴于点 A
7、，交 y 轴于点 B，抛物3y线 y=ax2+bx+c 经过 A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点 D 的坐标为（-1，0） ，在直线 上有一点 P,使 ABO 与 ADP 相似，求出点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 E，使 ADE 的面积等于四边形 APCE 的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由4考点 6、二次函数与面积问题例 6、 （1） （四川绵阳）如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0） 、B（2，0） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 DE（1，
8、2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）在直线 EF 上求一点 H，使CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时，EFK 的面积最大？并求出最大面积（2） （2009 济南）已知：如图 3，抛物线 的对称轴为 与20yaxbc1x，轴交于 两点，与 轴交于点 其中 、xAB， yC， 3A， 2C， （1）求这条抛物线的函数表达式（2）若点 是线段 上的一个动点过点 D 作 交 轴于点 设 的长为DOEPxE CD， 的面积为 求 与
9、之间的函数关系式试探讨 是否存在最大值，说明mPE SmS理由变式训练：如图将直角边长为 6 的等腰 RtAOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点 C、A 分别在 x、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点 A、C 及点 B(3，0)(1)求该抛物线的解析式；(2)若点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 AB 的平行线交 AC于点 E，连接 AP，当APE 的面积最大时，求点 P 的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点 G，使AGC的面积与（2）中APE 的最大面积相等?若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由 （2010 宜宾）CEDGAxyO B
10、FyxCB OA5【家庭作业】校区： 第_次课 姓名：_ 作业等级：_1 （2012 广安）如图，把抛物线 y= x2 平移得到抛物线 m，抛物线 m 经过点 A（6，0）和原点 O（0，0） ，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线 y= x2 交于点 Q，则图中阴影部分的面积为 2、 （2012 乐山） 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（m，m） ，点 B 的坐标为（n，n ） ，抛物线经过 A、O、B 三点，连接 OA、OB 、AB，线段 AB 交 y 轴于点 C已知实数 m、n（mn）分别是方程 x22x3=0 的两根（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为线段 OB 上的一个动
11、点（不与点 O、B 重合） ，直线 PC 与抛物线交于 D、E 两点（点 D 在 y 轴右侧） ，连接 OD、BD 当OPC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标；求BOD 面积的最大值，并写出此时点 D 的坐标3、 （2012 衢州 ）如图，把两个全等的 RtAOB 和 RtCOD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边 OB、OD 在 x 轴上已知点 A（1，2） ，过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点 E、F抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、A、C 三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点 P 为线段 OC 上一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M，交 x 轴于点N，问是否存在这样的点 P，使得四边形 ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若AOB 沿 AC 方向平移（点 A 始终在线段 AC 上，且不与点 C 重合） ，AOB 在平移过程中与COD 重叠部分面积记为 S试探究 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由6
