1、求函数定义域的六种题型顾曼生(无锡崇安职校, 江苏, 214005)一意义型 给出函数的解析式,求使解析式有意义的值.这类题型比较常见,下面给出两例新题.例 1 函数 f(x)= ,则 ff(x)的定义域是 .x1略解 求出 ff(x)= ,不化简,根据解析式的限制条件求得: x-1 且 x-2 .思考 fff(x),的定义域又如何? 若 f(x)= 呢?x1例 2 设函数 的定义域是-2,0)1,2, 则在下列解析式中, 函数24)(xgxf=( ).)(xgA. B. C. D. x11xx1x1略解 的定义域是 的定义域与 的定义域的交集,而易见 的定义)(f)(g2424域是-2,2,
2、因此 的定义域必须不包含0,1),在上列函数中应该选 C.思考 是否唯一确定的? 其定义域必须满足什么要求? 试构造出不同的 .xg )(xg二. 规定型根据人为规定的自变量的取值范围,求解定义域的有关问题.例 3 函数 的定义域是 .2|1,30)(xxf略解 分段函数的定义域是各段定义域的并集.因此可以求得答案是 (-2,0)(0,2) .例 4 若函数 的定义域是(3，5,则 = . )lg()(4bayba略解 由 , ,比较条件得 , , = -3 .02)(bx2xa523ba思考 如果本题没有规定定义域, 要使函数有意义, 必须满足什么条件?ba,三. 值域型给出函数值域,求该函
3、数的定义域.例 5 函数 的值域是(-,0(3,+),则其定义域是 .12xy略解 解不等式 与 ,再求它们解集的并即得答案(-4,-1)(-1,1/2) . 0312x例 6 已知 ff(x)=4x+9 的值域是1,5),则 f(x)的定义域是 .略解 本题无须求出 f(x),直接解不等式 14x+91 时,定义域为 R.a例 10 函数 f(x)= ,求函数 y=f(x+ )+f(x- )的定义域.2xa略解 f(x)的定义域是0,1, ,该不等式组的解为 ,即两个10xax1区间- ,1- 与 ,1+ 的交集.当 时,所求定义域是 ;当aa2a时,定义域是 ;当 时,定义域是空集,函数无
4、意义.210ax1|思考 已知一个具体的函数,求其复合函数的定义域是否必须求出复合函数后再求定义域? 参数型定义域的实质是否讨论不等式(组)的解?六. 实际型由实际问题给出的函数,其定义域不仅要使解析式有意义,还要符合实际意义.例 11 下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润.某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售(每辆汽车按规定满载,并且每辆汽车只能装一种蔬菜).公司计划用 20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜 36 吨到 B 地销售(每种蔬菜不少于一车).每辆汽车能满载的吨数 甲 2 乙 1 丙 1.5每吨蔬菜可获利润(百元) 5 7 4设安排 x 辆汽车运甲种蔬菜,获利 S 元
5、,建立 S 与 x 的函数关系,并求定义域.略解 设分别安排 y、z 辆汽车运乙、丙两种蔬菜,则 x+y+z=20,2x+y+1.5z=36,x,y,z1,解得 y=x-12,z=32-2x,S=10x+7y+6z=5x+108, 由 y1,z1,x 取整数,得定义域为13,14,15.例 12 一个水库有进水闸、放水闸各一个,单独进水 4 小时可以装满一库水,单独放水 6小时可以放完一库水.当水库中的水占满库水的 1/4 时,同时开进水闸和放水闸,设两闸开放的时间用 x(小时)表示,水库中的水占满库水的几分之几用 y(库)表示.求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出定义域.略解 不难求出函数关系为 ,显然 y0,又由于水库满时必须关闸,因此 y1,412xy于是定义域应为0,9. 这是一个由值域确定定义域的实例.2000 年 11 月
