1、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j高中数学复习教（学）案 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j第 1 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 10 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j第二章函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j t/.jt/.j hp:/.xjktygcow126:/.jt /.jm/.j htp:/.xjkygco126t:/.j t/w.jt/.j头 hp:/.xjktygcom126:/.jt /.jw/.j函数的定义域、值域（最大、最小值）高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t1
2、26.hp:/wxjkygco 掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法） ；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求函数最大、最小值问题历来是高考热点，这类问题的出现率很高，应用很广 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于
3、求出来了 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j知识点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的 x 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知 求 或已知 求 ：换元法、配凑法；()fx()fg()fgxf（3）已知函数图像，求函数解析式；（
4、4） 满足某个等式，这个等式除 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组f f法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知 的定义域求 的定义域或已知 的定义域求 的定义域：()fx()fgx()fgx()fx掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；若已知 的定
5、义域 ，其复合函数 的定义域应由 解出 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jf,abf agb3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求函数值域的各种方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j直接法：利用常见函数的值域来求一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R；反比例函数 的定义域为x|x 0，值域为y|y 0
6、；)0(kxy二次函数 的定义域为 R，)2acbf当 a0 时，值域为 ；4)(|2头htp:/w.xjkygcom126t:/.j高中数学复习教（学）案 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j第 2 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 10 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j当 a0， = ，x12)(x当 x0 时，则当 时，其最小值 ；axabcy4)(2min当 a0）时或最大值（a1/3 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j120,求 f(x2)的定义域；(2)已知函数 f(2x)的定义域为1,2,求 f(log2x
7、)的定义域 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知函数 f(x)的定义域为0,1,g(x)=f(x+a)+f(xa),求函数 g(x)的定义域 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设 f(x)=log2 +log2(x1)+log2(px) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1x(1)求函数 f(x)的定义域；(2)f(x)是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它写出来；头htp:/w.xjkygcom126t:/.j高中数学复习教（学）案 头htp
8、:/w.xjkygcom126t:/.j第 8 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 10 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j如果不存在，请说明理由 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j某宾馆有相同标准的床位 100 张 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j根据经验，当该宾馆每张床的床价不超过 10 元时，床位可以全部租出；当床价高于 10 元时，每提高一元，将有 3 张床位空闲 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j为了获得较好的效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，条
9、件是为方便结算，床位应为 1 元的整数倍；该宾馆每日的费用支出为 575 元，床位出租收入必须高于支出，而且高出得越多越好，若用 x 表示床价，用 y 表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的支出费用后的收入） ，(1)把 y 表示为 x 的函数，并求出定义域；(2)试确定该宾馆床价定为多少时，既符合上述条件，又能使净收入最多？8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求下列函数的值域(1)y=(1x 2)/(1+x2); (2)y=(12sinx)/(1+sinx) 9 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求下列函数的值域：(1)y= (;(2)y= ;(3)y=
10、12x122x10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知函数 f(x)=lg(x22mx+m+2) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 m 的取值范围；(2)若 f(x)的值域为 R，求实数 m 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j11 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若函数 y=x23x4 的定义域为0,m,值域为25/4,4,则 m 的取值范围是 12 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知 f(x)的值域为3/8,4/9,试求 y=f(x)+ 的值域 头htp:/
11、w.xjkygcom126t:/.j)(f13 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j现有直径为 d 的圆木，要把它锯成横断面为矩形的 梁，从材料力学知道，横断面为矩形的木梁强度与梁宽和梁高的平方的乘积 成正比，比例系数为k 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j问如何截法才能使梁的强度最大？14 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j函数 y=|x3|x+1|的最大值是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j15 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知 1/2t1,则 2/tt 的最大值是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
12、16 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j函数 y= x22ax(0x1)的最大值是 a2,那么实数 a 的取值范围是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j17 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j在区间1/2,2 上函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=2x+1/x2 在同一点取得相同的最小值，那么 f(x)在区间1/2,2 上的最大值是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j参考答案：1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1,+)2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1) (0,2)(2,3， (2)
13、 5,3/2(/2,/2)(3/2,53 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j注意二次项系数为零的特殊情况 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （1）ba,ba, b|a|,a0 时，x , ,a0 时，x , (2)4,16bbab,5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j当1/2 a0 时，a1/2 时，g(x)不存在 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （1）11); (2)f(x
14、)=log2(x+1)(px)=log2(x )2 + ,4)(2头htp:/w.xjkygcom126t:/.j高中数学复习教（学）案 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j第 9 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 10 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j当(p1)/2 1,即 13 时，f(x)最大值为 2log2(p+1)2,无最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1) =1057)10(xxNx,3810(573),2(2)当 x10 时，y425;当 x10,则
15、当 x=22 时，y 有最大值约 833 元 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1) (0,1; (2) 1/2,+)9 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)（1/3y0 时，1y0,x0 时，0y , 1y 210 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)1m2; (2) m2 或 m 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 11 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3/2,312 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（7/9,7/8,换元法13
16、头htp:/w.xjkygcom126t:/.j Q=kx(d2x2)2 kd3/9, x= d/3 x 为梁宽14 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4,15 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7/2(单调性求最值)161a0(配方法求二次函数的最值)17 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4 ，平均值不等式求最值课前后备注 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 求下列函数的最大值或最小值：（1） ；（2） ；（3） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j43x12yx25y解：（1） ，y
17、4()4由 得 ，230x1当 时，函数取最小值 ，2当 时函数取最大值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3or（2）令 ，则 ，12 (0,)xtx ，21tyt当 ，即 时取等号，函数取最大值 ，无最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j0tx 12（3）解法（一）用判别式法：由 得 ，251yx2()()50,yxyxR若 ，则 矛盾， ，由 ，这时， ，2y2()4()50y头htp:/w.xjkygcom126t:/.j高中数学复习教（学）案 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j第 10 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.
18、j 共 10 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解得： ，26y且当 时， ， 函数的最大值是 ，无最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j12x解法（二）分离常数法：由251yx231x23()4x ， ，函数的最大值是 ，无最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j23()46y6例 2 （1）函数 在 上的最大值与最小值的和为 ，则 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jxa0,1 3a（2）对于满足 的一切实数，不等式 恒成立，则 的取值范围为p42px 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(,)(3,)（3）已知函数 ， ，构造函数 ，定义如下：当 时，f2()1gx()F|()|fxg，当 时， ，那么 （ ）()|Fxf|()|()FfxxB有最小值 ，无最大值 有最小值 ，无最大值A0B1有最大值 ，无最小值 无最小值，也无最大值C1D
