1、1第 10 讲 一次(反比例)函数及其应用(1)【例 1】为了加强公民的节约用水意识，合理利用水资源各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的某市规定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过 6m3时，水费按每立方米 a 元收费；超过 6m3时，不超过的部分仍按 a 元收费，超过的部分每立方米按 c 元收费该市某用户今年 3 月份，4 月份的用水量和水费如下表所示：月份 用水量/m 3 水费/元3 5 7.54 9 27设该用户用水量为 x(m3)，应交水费为 y(元)求 a、c 值，并写出用水量不超过 6m3和超过 6m3时，y 与 x 之间的函数关系。若该用户 5 月份的用水量为 8m3，求
2、该用户 5 月份的水费解依题有：当 x6 时，y=ax；当 x6 时，y=6a+c(x 一 6)由上表示：解得 .ca36275.651ca所以 y= )(27)(91xx将 x=8 代入 y=6x 一 27(x6)得：y=6827=21(元)即该用户 5 月份的水费为 21 元点评 分段函数即自变量在不同范围内取值时，函数 y 和 x 有不同的对应关系，及解题时的关键是弄清自变量的取值范围，选择或求出对应的函数关系式【例 2】某市宽带上网的收费有流量方式(按在网上所接收和发送的信息收费)、时长方式(按在网上的时间收费)等几种不同的方式其中流量方式的收费标准是：基本月租费 75 元，赠送 90
3、0M 流量(即每月流量在 900M 以内的不再收费)超过 900M 的，超过部分按流量分段收费，具体规定为：流量不超过 400M，每 M 收费 a 元；超过 400M 时，不超过部分每 M 收费 a 元，超过部分每 M 收费 c 元(M 是信息量的计量单位)某单位今年 4、5月份上网的流量和费用如下表：月份 流量(M) 费用(元)4 1200 1355 1400 165 (1)求 a、c 的值(2)设该单位某月上网的流量为 x(M)，费用为 y(元)，写出流量超过 1300M 时，y 与x 之间的函数关系式【答案】(1)a=0.2 元，c=0.1 元.(2)当 x1300M 时，y 与 x 的
4、函数关系式为 y=25+0.1x (x1300).【例 2】某果品公司急需将一批不易存放的水果从 A 市运到 B 市销售，现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息如下：运输单位运输速度(千米/小时)运输费用(元/千米)包装与装卸时间(小时)包装与装卸费用(元)甲公司 60 6 4 1500乙公司 50 8 2 1000丙公司 100 10 3 7002解答下列问题：(1)若乙丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的 2 倍，求 A、B 两市的距离(精确到个位)(2)如果 A、B 两市的距离为 S 千米，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为 300 元/小时，那么要
5、使果品公司支付的总费用(包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和)最小，应选择哪家运输公司?(江苏南通)【分析】(1)由三家运输公司包装与装卸及运输的费用之间的关系列方程可求出 A、B两市的距离(2)先分别求出表示三家运输公司支付总费用(注意三项之和)函数关系式，再比较这三个一次函数值的大小，最后确定选择哪家运输公司解(1)设 A、B 两市的距离为 x 千米，依题意，得(8x1000)(10x700)=2(6x1500)，解得 (千米)答略21736x(2)设选择三家运输公司所需的总费用分别为 y1、y 2、y 3，根据意意，得：y1=6S1500( 4)30011S2700，0Sy2=8S10
6、00( 2)30014S1600，5y3=10S700( 3)30013S1600，1S0， y 2y 3恒成立，只要比较 y1与 y3的大小y ly 3=2S1100，当 S550(千米)时，y 1y 3，又 y2y 3，此时选择丙公司较好当 S550(千米)时，y 2y 1y 3， 此时选择甲公司或丙公司当 S550(千米)时，y 2y 3y 1， 此时选择甲公司较好【点评】本题有三大主要特色：一是巧妙运用表格优势，把具有 10 多个数据的实际问题用表格形式表述得简洁明了；二是从能力立意出发，在一次方程，一次不等式和一次函数的知识交汇处命题；三是引导学生运用所学数学知识解决市场经济中的决策
7、问题将三者有机地结合起来，并融为一体，考查学生多种够力【例 3】某批发商欲将一批海产品由 A 地运往 B 地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务已知运输路程为 120 千米，汽车和火车的速度分别 60 千米/时，100 千米/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表运输工具运输费单价(元/吨千米)冷藏费单价(元/吨小时)过路费(元)装卸及管理费(元)汽车 2 5 200 0火车 1.8 5 O 1600注：“元/吨千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨小时”表示每吨货物每小时的冷藏费(1)设该批发商待运的海产品有 x(吨)，汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为 y1(元
8、)和 y2(元)，试求 y1和 y2与 x 的函数关系式(2)若该批发商待运的海产品不少于 30 吨，为节省运费，他应选哪个货运公司承担运输业务?(辽宁大连)【答案】 (1)y1250x200，y 2222x1600(2)当所运海产品不少于 30 吨且不3足 50 吨时，应选择汽车货运公司；当所运海产品刚好 50 吨时，可选择汽车货运公司铁路货运公司中的任意一家；当所运海产品多于 50 吨时，应选择铁路货运公司【例 4】转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气，某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关，现经过试验得到下列数据：通过电流强度(单位A) l
9、1.7 1.9 2.1 2.4氧化铁回收率(%) 75 79 88 87 78如图建立直角坐标系，用横坐标表示通过的电流强度，纵坐标表示氧化铁回收率 1(1)将试验所得数据在上图所示的直角坐标系中用点表示注：该图中坐标轴的交点代表点(1，70)(2)用线段将题(1)所画的点从左到右顺次连接，若用此图象来模拟氧化铁回收率 y 关于通过电流 x 的函数关系，试写出该函数在 1.7x2.4 时的表达式(3)利用题(2)所得函数关系，求氧化铁回收率大于 85时，该装置通过的电流应该控制的范围(精确到 0.1A)【例 5】某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按 120个工时计
10、算)生产空调器、彩电、冰箱共 360 台，且冰箱至少生产 60 台已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称 空调器 彩电 冰箱工时 213141产值(千元) 4 3 2问每月应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位)【答案】设每周生产空调 x 台，彩电 y 台，冰箱 z 台，假设每周总产值 s 千克.则由题意，得，s=4x+3y+2z 且 60,124321zyx消去 z，得 y=360-3x 代入 x+y+z=360 得 z=2x 且 x30.代入s=-x+1080当 x=30 时，产值 s 最大 1050，此时 y=270,z=60
11、.4【例 6】 (全国竞赛题)A 市、B 市、C 市分别有机器 l0 台、10 台和 8 台现决定把这些机器支援给 D 市 18 台，E 市 10 台已知：从 A 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费分别为 200 元和 800 元；从 B 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费分别为 300 元和 700 元；从 C 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费分别为 400 元和 500 元(1)设从 A 市、B 市各调 x 台到 D 市，当 28 台机器全部调运完毕后，求总运费 W(元)关于 x(台)的函数式，并求 W 的最小值和最大值(2)设从 A 市调 x 台到 D 市，B 市调 y 台
12、到 D 市，当 28 台机器全部调运完毕后，用x、y 表示总运费 w(元)，并求 W 的最小值和最大值【分析】要求最值，必须先求函数式，而求函数式，就必须确定 A、B、C 三市各调往D、E 市机器各多少台，可用下图表示【解】(1)根据上图可得 W=200x300x400(182x)800(10x)700(10x)5008(182x)800x17200又 0x10，0182x8， 5x9W=800x17200 (5x9，x 是整数)8000， W 随 x 的增大而减小 当 x=9 时，W 取最小值 10000 元；当 x5 时，W 取最大值 13200 元(2)根据上图可得 W=200x800(
13、10x)300y700(10y)+400(18xy)5008(18xy)500x300y17200200x300(xy)+17200又 ， 810y180yxW=200x300(xy)17200 (0x10，0y10，10xy18，x，y为整数)由函数性质得：当 x10，y8 时，Wmin9800 元；当 x=O，y10 时，Wmax14200 元【点评】 不同的调运方案会有不同的运费，根据调运资金的多少来选择调运方案，是决定投资前先应做的工作建立总运费 W 与 x 的函数关系式，结合自变量范围，根据一次函数性质求出最小值和最大值本题说明了社会生活中处处有数学，考查学生应用数学的意识【例 7】
14、某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车 12 辆和 6 辆现需要调往 A 县 10辆，调往 B 县 8 辆已知从甲仓库调运一辆农用车到 A 县和 B 县的运费分别为 40 元和 80元；从乙仓库调运一辆农用车到 A 县和 B 县的运费分 别为 30 元和 50 元(1)设从乙仓库调往 A 县农用车 x 辆，求总运费 y 关于 x 的函数关系式(2)若要求总运费不超过 900 元，问共有几种调运方案?(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元?【答案】(1)y=30x+50(6-x)+80(8-6+x)+40(12-2-x)=20x+860.5(2)20x+860900，x2. 又 0x6，0
15、x2. x=0、1、2. 共有三种调运方案。(3)当 x=0 时，y 取最小值 860 元.【例 8】如图所示，工地上有 A 和 B 两个土墩，洼地 E 和池塘 F.两个土墩的土方数分别是 781m3、1584m 3，洼地 E 需要填土 1025m3，池塘 F 可填土 1390m3现要求挖掉两个土墩，把这些土先填平洼地 E，余下的土填入池塘 F.如何安排运土方案，才能使劳力最省?【答案】设由 B 运往 E 的土方数为 xm3,由 A 运往 E 的土方数为 ym3，则：x+y=1025.由题意知，耗费劳力与所运土方数和路程有关，故可设总消耗数为 W，则：W=50y+150(781-y)+30x+120(1584-x)=-100y-90x+307230.由知，y=1025-x.所以，W=10x+204730由一次函数性质及题意知 E 要填平，故当 x=1025-781=144m3时劳力最省.
