1、- 1 -复合函数的定义域一、复合函数的概念如果 y 是 u 的函数，而 u 是 x 的函数，即 y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么 y 关于 x 的函数 y = f g ( x ) 叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到 里一层一层地拆，注意不要漏层。另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当 g ( x )的值域与 f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存
2、在。例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成 y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成 f ( u ) = u2 与 g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。二、求复合函数的定义域：（1）若 f(x)的定义域为 a x b,则 f g ( x ) 中的 a g ( x ) b ，从中解得 x的范围，即为 f g ( x )的定义域。 例 1、y = f ( x ) 的定义域为 0 ， 1 ，求 f ( 2x + 1 )的定义域。 答案： -1/2 ，0 例 2、已知 f ( x )的定义域为（0，1
3、） ，求 f ( x 2)的定义域。答案： -1 ，1（2）若 f g ( x ) 的定义域为（m , n）则由m 0 ）求 f ( x )的解析式。答案： 2 / (x-3)例 8、用换元法看看例 5，例 6 能否适用。答案：f(x)= x 2 f(x)= x 3-2x-1二、对于 f ( x )函数中，利用已知条件，求某些特殊函数值。对于这类问题的解决，一定要看清条件，按照所要解决的问题，利用条件，关键在于能否找到条件与所求的联系。这类问题没有现成的方法，它所考查的是同学们的发散思维。例 9、函数 f ( x )满足 f ( ab ) = f ( a ) + f ( b )，且 f ( 2
4、 ) = p, f ( 3 ) = q,则 f ( 36 )- 2 -= 分析该题要求的是 f ( 36 ),而条件中给我们 f ( ab ) = ，自然会想到，36 能拆成什么的乘积了。复合函数生成的条件不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当 MxDu 时，二者才可以构成一个复合函数。2 定义域若函数 y=f(u）的定义域是 B,u=g(x）的定义域是A,则复合函数 y=fg(x)的定义域是 D=x|xA,且 g(x）B 综合考虑各部分的 x 的取值范围，取他们的交集。求函数的定义域主要应考虑以下几点：当为整式或奇次根式时，XR；当为偶次根式时，被开方数不小于 0（即0） ；当为分
5、式时，分母不为 0；当分母是偶次根式时，被开方数大于 0；当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为 0（如，中） 。当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的 自变 量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于 1。三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。3 周期性设 y=f(u)的最
6、小正周期为 T1,=(x)的最小正周期为 T2,则 y=f（）的最小正周期为 T1*T2,任一周期可表示为 k*T1*T2(k 属于 R+）4 增减性复合函数单调性依 y=f(u)，=(x)的增减性决定。即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减” ，可以简化为“同增异减”判断复合函数的单调性的步骤如下：求复合函数定义域；将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数） ；判断每个常见函数的单调性；将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；求出复合函数的单调性。例如：讨论函数 y=0.8(x2-4x+3)的单调性。 解：函数定义域为 R。令 u=x2-4x+3,y=0.8u。指数函数 y=0.8u 在（-，+）上是减函数，u=x2-4x+3 在（-,2上是减函数，在2,+）上是增函数， 函数 y=0.8(x2-4x+3)在（-,2上是增函数，在2,+）上是减函数。
