1、第三章 3.2 第 1 课时 一、选择题1已知 z134i，z 25 2i，z 1、z 2 对应的点分别为 P1、P 2，则 对应的复数P2P1 为( )A86i B86iC86i D22i答案 B解析 因为 ，对应的复数为 z1z 2(3 4i)(52i)86i.故P2P1 OP1 OP2 选 B.2(2014浙江台州中学期中) 设 xR，则“x1”是“复数 z(x 21)(x1)i 为纯虚数”的( )A充分必要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 z 是纯虚数Error!x1，故选 A.3|(3 2i)(4i)|等于( )A. B58 10C2 D13
2、i答案 B解析 原式|13i| . 12 32 104复数(1i) (2i)3i 等于( )A1i B1iCi Di答案 A解析 原式(1 2)(113)i1i.5设 f(z) ，且 z115i，z 232i ，则 f( )的值是( )z z1 z2A23i B23iC43i D43i答案 D解析 z 1z 2(15i)(32i)43i 43i，f(z) ，f(43i) 43i. 故选 D.z1 z2 z 4 3i6设 zC，且| z1|z i|0，则|zi|的最小值为( )A0 B1 C. D.22 12答案 C解析 |z1| zi|，复数 z 的对应点轨迹为连结点 A(1,0) ，B(0,
3、1)的线段的中垂线 yx，而| zi|表示直线 yx 上的点到定点(0，1) 的距离，|zi| .故选 C.227已知|z3|z3| 10 且|z5i|z5i|8，则复数 z 等于( )A4i B4iC4i D以上都不对答案 B解析 由几何意义可知复数 z 的对应点在以 F1(3,0) ，F 2(3,0)为焦点、长轴长为 10的椭圆上，又在 F3(0，5) ， F4(0,5)为焦点、实轴长为 8 的双曲线的下支上如图故 z4i.故选 B.8ABC 的三个顶点对应的复数分别为 z1、z 2、z 3，若复数 z 满足|zz 1| zz 2| zz 3|，则 z 对应的点为ABC 的( )A内心 B
4、垂心C重心 D外心答案 D解析 由几何意义知，z 到ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是ABC 的外心二、填空题9复平面上三点 A、B、C 分别对应复数 1,2i,52i ，则由 A、B、C 所构成的三角形形状是_答案 直角三角形解析 | |2i1| ，AB 5| |(52i) 1|42i| 2 ，AC 5| |(52i) 2i|5|5.BC 且| |2 | |2| |2，AB AC BC ABC 为直角三角形10已知复数 z 的模是 2，则|zi|的最大值为_答案 3解析 解法 1：设 zx y i (x、y R)，则|z| 2，x 2y 24，| zi| x2 y2 .x2 y 12
5、 x2 y2 2y 1 5 2y2y2，152y 9，1| zi|3.解法 2：|z|2，复数 z 对应点 z 在以原点为圆心 2 为半径的圆上，|zi|表示圆上点到定点(0,1)的距离，显然| zi| max3.11(2014揭阳一中期中)已知向量 和向量 对应的复数分别为 34i 和 2i ，则向OA OC 量 对应的复数为_ AC 答案 15i解析 ， 对应复数为(2 i)(34i)15i.AC OC OA AC 三、解答题12已知 z1(3xy)(y 4x )i，z 2(4 y2x) (5x3y)i(x，yR) 设 zz 1z 2，且13 2i，求复数 z1 和 z2.z解析 z z
6、1z 2(3xy)( y4x )i(4y2x)(5 x3y)i(3xy)(4y 2x) ( y 4x)(5 x3y )i(5x 3y)(x4y)i， (5x3y)(x 4y )iz又 132i，Error!解得 Error!zz 1(321)(142)i59i ，z24( 1)22523(1)i87i.一、选择题1如果复数 z 满足| zi|z i|2，那么|zi 1|的最小值是( )A1 B C2 D2 5答案 A解析 设复数i、i、1i 在复平面内对应的点分别为 Z1、Z 2、Z 3，因为|zi| | zi|2，| Z1Z2|2，所以点 Z 的集合为线段 Z1Z2.问题转化为：动点 Z 在
7、线段 Z1Z2 上移动，求| ZZ3|的最小值，|Z 1Z3|1.故选 A.2满足条件|z|1 及 的复数 z 的集合是( )|z 12| |z 32|A. 12 32i， 12 32iB.12 12i，12 12iC.12 32i，12 32iD.22 22i，22 22i答案 C解析 解法 1：设 zx y i (x、yR )，依题意得Error!，解得Error!.z i.12 32解法 2：根据复数模的几何意义知|z| 1 是单位圆， 是以 A ，B|z 12| |z 32| ( 12，0)为端点的线段 AB 的中垂线 x .(32，0) 12满足此条件的复数 z 是以 为实部的一对共
8、轭复数，由模为 1 知选 C.故选 C.123A、B 分别是复数 z1、z 2 在复平面上对应的两点，O 是原点，若|z 1z 2|z 1z 2|，则AOB 是( )A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案 B解析 由复数与向量的对应关系，| z1z 2|z 1z 2| | |，OA OB OA OB 以 、 为邻边的平行四边形为矩形，OA OB AOB 为直角故选 B.4(2014新乡、许昌、平顶山调研) 复数 z1、z 2 满足 z1m(4m 2)i，z 22cos (3sin)i(m、 、R) ，并且 z1z 2，则 的取值范围是( )A1,1 B ，1916C ，7
9、 D ，1916 916答案 C解析 z 1z 2，Error!4sin 23sin 4(sin )2 ，38 916sin1,1， ，7 916二、填空题5在复平面内，若复数 z 满足|z3| z3|10，则 z 在复平面内对应的点的轨迹方程为_答案 1x225 y216解析 根据模的几何意义，复数 z 在复平面内对应的点到两定点 (3,0)、(3,0) 的距离之和为定值 10，故其轨迹是以( 3,0) 、(3,0)为焦点的椭圆2c6,2a10，b4，从而其轨迹方程是 1.x225 y2166已知|z|1，则|1 iz |的最大值是_，最小值是_3答案 3 1解析 因为|z|1，所以 z 在
10、半径为 1 的圆上，|1 iz|z(1 i)|即圆上一3 3点到点( 1， )的距离，d max3，d min1.37已知 z1i，设 z 2|z|4，则 _.答案 (3 2 )i2解析 z 1i，|z| ，2z2|z|4(1i) 2 42(32 ) i.2三、解答题8若 f(z)2z 3i.f( i)63i ，试求 f(z )z z解析 f(z)2z 3i，zf( i)2( i)( i) 3i2 2izi 3i 2 z 2i，z z z z z又 f( i)63i，2 z 2i63iz z即 2 z 6iz设 zabi(a，bR)，则 abi.z2(abi) (a bi)6i，即Error!
11、，Error!，z2i，f(z)2z 3i2(2i)(2 i)3iz64i.9已知 z1，z 2C，求证：(1)|z1| z2| z1z2| z1|z 2|；(2)|z1z 2|2|z 1z 2|22|z 1|22| z2|2.证明 (1)如图所示，根据复数加、减法的几何意义，令 z1，z 2 分别对应向量 ，AB ，AD 则向量 ， 分别对应复数 z1z 2，z 1z 2.AC DB | | | | | | |，|z 1|z 2| z1z 2|z 1|z 2|.AB BC AC AB BC 又| | | | | |AB AD DB AB AD |z 1| z2| z1z 2|z 1|z 2|.故|z 1| z2| z1z2|z 1|z 2|.(2)设 z1ab i，z 2c di，则|z 1z 2|2a 2b 2c 2d 2 2ac2bd，|z1z 2|2a 2b 2c 2d 22ac2bd，|z 1z 2|2|z 1z 2|2(a 2b 2c 2d 22ac2bd)( a2b 2c 2d 22ac2 bd)2(a 2b 2c 2d 2)2(a 2b 2)2(c 2d 2)2| z1|22| z2|2，即|z 1z 2|2|z 1z 2|22|z 1|2 2|z2|2.
