1、1设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为( )A. B.3V 32VC. D234V 3V答案 C解析 设底面边长为 x，则表面积S x2 (x0)，S (x34V)32 43Vx 3x2令 S0，得唯一极值点 x .34V2用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A6 B8C 10 D12答案 B3用长度为 l 的铁丝围成长方形，则围成的长方形的最大面积为( )A. B.l22 l24C. D.l28 l216答案 D解析 设
2、长方形一边为 x，则另一边为 .l 2x2Sx x2 x.l 2x2 l2S2x . 令 S 0，得 x .l2 l4S 最大 ( )2 .l4 l2l4 l2164设函数 f(x)x(xa) 2(xR，其中 a R)(1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当 a0 求函数 f(x)的极大值和极小值；(3)当 a3 时，证明存在 k 1,0，使得不等式f(k cosx)f(k 2cos 2x)对任意的 xR 恒成立解析 (1) 当 a1 时，f(x)x (x1) 2x 32x 2x，得 f(2)2，f(x)3x 24x 1，f(2)12815，当 a1 时，
3、曲线 yf(x )在点(2，f(2)处的切线方程为5x y80.(2)f(x)x (xa) 2x 32ax 2a 2x，f(x)3x 24ax a 2(3x a)(xa)，令 f(x) 0，解得 x 或 xa.a3由于 a0，以下分两种情况讨论若 a0，当 x 变化时， f(x )的正负如下表：x (， )a3 a3( ，a)a3a (a，)f(x) 0 0 因此，函数 f(x)在 x 处取得极小值 f( )，且 f( ) a3.a3 a3 a3 427函数 f(x)在 xa 处取得极大值 f(a)，且 f(a)0.若 a0，当 x 变化时， f(x )正负如下表：x (，a) a (a， )
4、a3 a3( ，)a3f(x) 0 0 因此函数 f(x)在 xa 处取得极小值 f(a)，且 f(a)0；函数 f(x)在 x 处取得极大值 f( )，且 f( )a3 a3 a3 a3.427(3)证明：由 a3，得到 1，当 k 1,0时，a3kcos x1 ，k 2cosx 1.由(2)知 f(x)在(，1上是减函数，要使 f(kcosx) f (k2cos 2x)(xR )，只要kcosxk 2cos 2x(xR)即 cos2xcosxk 2k (xR)*设 g(x)cos 2xcos x (cosx )2 ，12 14则函数 g(x)在 R 上的最大值为 2.要使*式恒成立必须 k
5、2k 2，即 k2 或 k1.所以，在区间1,0 上存在 k1，使得 f(kcos x)f(k2cos 2x)对任意的 xR 恒成立5设 A、B 两地相距 30 千米，如下图所示在它们之间铺设一条铁道，由于地质条件不同，在 y0 地区铺设费用为 105 元/千米，而在 y0 地区铺设费用为 6104 元/千米，求最经济的铺设线路解析 设ADx，由图形的对称性可知，研究 y 轴的一侧即可由点 A 向 x 轴作垂线，设垂足为 C，则CD 5cot，AD .DO 15DC 155cot .5sin设铺设铁道的费用为 P，则P(155cot)610 4 105.5sinP 3105 510 5 .1sin cossin2令 P 0，得 .3sin2 5cossin2cos ，此时 sin ，cot .35 45 34OD .454在 x 轴上取点 D( ，0)，E( ，0)，则 ADDEEB 为最佳454 454经济铺设线路
