1、2.3.2 双曲线的简单几何性质课时演练促提升A 组1.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( )A.2 B.2 C.4 D.4解析:双曲线的标准方程为=1,所以 a2=4,a=2,实轴长为 4.答案:C2.双曲线=1 的焦点到渐近线的距离为( )A.2 B.2 C. D.1解析:由双曲线=1,得 a2=4,b2=12,故 c2=16.不妨取焦点(4,0), 渐近线为 y=x,则距离 d=2.答案:A3.双曲线的两个顶点将焦距三等分,则它的离心率为( )A. B.3 C. D.解析:依题意可得 2c=32a,即 c=3a,所以 e=3.答案:B4.与双曲线=1 有共同的渐近线 ,且经过点 (-
2、3,2)的双曲线方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1解析:由已知设双曲线方程为=( 0),代入点(-3,2), 得 =.故双曲线为=1.答案:D5.若双曲线与椭圆 4x2+y2=1 有相同的焦点,它的一条渐近线方程为 y=x,则这个双曲线的方程为( )A.2x2-4y2=1 B.2x2-4y2=2C.2y2-4x2=1 D.2y2-4x2=3解析:因为椭圆 4x2+y2=1 的焦点坐标为,所以双曲线的焦点坐标为 .又由双曲线的渐近线方程为 y=x,得,来源:学优高考网 gkstk即 a2=2b2.由=a 2+b2,得 a2=,b2=.再结合双曲线的焦点在 y 轴上,知选 C.答案:
3、C6.已知双曲线=1(a0,b0) 的离心率为,且过点(3,2),则此双曲线的方程为 . 解析: 离心率为, 双曲线为等轴双曲线, a=b.把点(3,2)代入方程 ,得= 1. a2=b2=5. 双曲线的方程为 x2-y2=5.答案:x 2-y2=57.若双曲线离心率为,焦点在 x 轴上 ,则其渐近线方程为 . 解析:因为 e=,所以=5,= 4,=2,来源:gkstk.Com故渐近线方程为 y=2x.答案:y= 2x8.如图,ABCDEF 为正六边形,则以 F,C 为焦点,且经过 A,E,D,B 四点的双曲线的离心率为 . 解析:由双曲线的定义知|DF|-|DC|=2a,|FC|=2c,若设
4、正六边形的边长为 1,则|DF|=,|FC|= 2,即 c=1,所以-1=2a,即a=,所以 e=+1.答案:+19.已知双曲线 C 的方程为=1(a0,b0),离心率 e=,顶点到渐近线的距离为,求双曲线 C 的方程.解:依题意,双曲线焦点在 y 轴上,顶点坐标为(0,a),渐近线方程为 y=x,即 axby=0,所以,又 e=,所以 b=1,即 c2-a2=1,-a2=1,解得 a2=4,故双曲线方程为-x 2=1.10.已知斜率为 2 的直线被双曲线=1 截得的弦长为 4,求直线 l 的方程.解:设直线 l 的方程为 y=2x+b.设直线 l 与双曲线=1 的交点为 A(x1,y1),B
5、(x2,y2).由来源:学优高考网 gkstk化简,得 10x2+12bx+3(b2+2)=0,则 x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=(2x1+b)-(2x2+b)=2(x1-x2).由|AB|= 4,得( x1-x2)2+(y1-y2)2=16, 5(x1-x2)2=16,即 5(x1+x2)2-4x1x2=16, 5=16,解得 b2=. b=.故所求直线 l 的方程为 y=2x.B 组1.已知双曲线的方程是 x2-=1,A1,A2分别是它的左、右顶点,F 是它的右焦点,过 F 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P,则=( )A.4 B.-4 C.6 D.-6解析:由条件知点 A1
6、(-1,0),A2(1,0),根据对称性,设 P 为第一象限内的交点 ,则 P(,2).所以=( -1-,-2)(1-,-2)=6.故选 C.答案:C2.双曲线=1(a0,b0) 的两个焦点为 F1,F2,若双曲线上存在点 P,使|PF 1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( )A.3,+) B.(1,3C.2,+) D.(1,2解析:由题意知在双曲线上存在一点 P,使得|PF 1|=2|PF2|,如图. |PF1|-|PF2|=2a, |PF2|=2a,即在双曲线右支上恒存在点 P 使得|PF 2|=2a,即|AF 2|2a. |OF2|-|OA|=c-a2a, c3a. ca,
7、a0)的两条渐近线分别交于点 A,B,且AOB 的面积为 8,则焦距为 . 解析:由双曲线 x2-=1,得渐近线为 y=bx,则交点为 A(2,2b),B(2,-2b). SAOB =24b=8, b=2.又 a2=1, c2=a2+b2=5. 焦距 2c=2.答案:24.已知双曲线的中心在原点,过右焦点 F(2,0)作斜率为的直线,交双曲线于 M,N 两点,且|MN|=4,求双曲线方程.解:设所求双曲线方程为=1( a0,b0),由右焦点为 F(2,0),知 c=2,b2=4-a2,来源:学优高考网 gkstk则双曲线方程为=1,直线 MN 的方程为 y=(x-2),代入双曲线方程整理 ,得
8、(20-8a2)x2+12a2x+5a4-32a2=0.设 M(x1,y1),N(x2,y2),来源:学优高考网 gkstk则 x1+x2=,x1x2=. |MN|=4,解得 a2=1, b2=4-1=3.故所求双曲线方程为 x2-=1.5.过点 M(0,-1)的直线 l 交双曲线 2x2-y2=3 于两个不同的点 A,B,O 是坐标原点,直线 OA 与 OB 的斜率之和为 1,求直线 l 的方程.解:设直线 l 的方程为 y=kx-1,代入 2x2-y2=3 中,得(2-k 2)x2+2kx-4=0,当时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=,x1x2=.又 kOA+kO
9、B=1,故(kx 1-1)x2+(kx2-1)x1=x1x2,即(2k- 1)x1x2-(x1+x2)=0.于是有(2k- 1)=0,解得 k=,经验证这个结果是符合的条件,故直线 l 的方程为 2x-3y-3=0.6.已知双曲线 C1:x2-=1.(1)求与双曲线 C1有相同的焦点,且过点 P(4,)的双曲线 C2的标准方程;(2)直线 l:y=x+m 分别交双曲线 C1的两条渐近线于 A,B 两点.当=3 时(O 为坐标原点),求实数 m 的值.解:(1)双曲线 C1的焦点坐标为(,0),(-,0).设双曲线 C2的标准方程为=1(a0,b0),则解得故双曲线 C2的标准方程为-y 2=1.(2)双曲线 C1的渐近线方程为 y=2x,y=-2x.设 A(x1,2x1),B(x2,-2x2).由消去 y,化简得 3x2-2mx-m2=0,由 =(-2m)2-43(-m2)=16m20,得 m0. x1x2=-=x1x2+(2x1)(-2x2)=-3x1x2, m2=3,即 m=.
