1、第三章 习题课(1)一、选择题1与向量 a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是( )A( ，1,1) B(1，3,2)13C( ，1) D( ，3，2 )1232 2 2解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式即 b0，abab，a(1，3,2) 2 ，故选 C.( 12，32， 1)答案：C 22014河南省固始一中期末考试 若 P，A ，B，C 为空间四点，且有 ，则 1 是 A，B，C 三点共线的( )PA PB PC A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件解析：本题主要考查空间中三点共线的充要条件若 1，则 (
2、)，PA PB PC PB 即 ，显然，A，B，C 三点共线；若 A，B，C 三点共线，则有 ，故 BA BC AB BC PB ( )，整理得 (1) ，令 1，即 1，故选 C.PA PC PB PA PB PC 答案：C 3已知 a(1，5，2)，b(x,2，x2)，若 ab，则 x 的值为( )A0 B143C6 D6解析：因为 ab，所以 ab (1，5，2)( x,2，x2)x102x43x 14 0，所以 x ，故选 B.143答案：B 4已知 ab0，|a|2，| b|3，且(3a2b)(ab)0，则 等于( )A. B32 32C D132解析：由 ab0 及(3a2b)(
3、ab) 0，得 3a22b 2，又|a| 2，|b|3，所以 ，32故选 A.答案：A 52014安徽省合肥一中期末考试 已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，若点 F 是侧面CD1 的中心，且 m n ，则 m，n 的值分别为( )AF AD AB AA1 A. ， B. ，12 12 12 12C. ， D. ，12 12 12 12解析：本题主要考查空间向量的线性表示由于 ( )AF AD DF AD 12DC DD1 ，所以 m ，n ，故选 A.AD 12AB 12AA1 12 12答案：A 62014清华附中月考已知 a，b 是两异面直线，A，B a，C ，Db，ACb ，B
4、D b 且 AB2，CD1，则直线 a，b 所成的角为( )A. 30 B. 60C. 90 D. 45解析：本题主要考查空间向量在求角中的应用由于 ，则AB AC CD DB ( ) 1.cos ， AB AC CD DB AB CD AC CD DB CD CD2 AB CD ， 60，故选 B.AB CD |AB |CD | 12 AB CD 答案：B 二、填空题7已知 A(1， 1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1) ，则 在 上的投影为_AB AC 解析： (5 ，6,2)(1，1,2)(4 ，5,0)AB (1,3，1)(1 ，1,2)(0,4，3) ，AC cos ， AB
5、 AC 0 20 042 5242 32 ，20541在 上的投影为 | |cos ， AB AC AB AB AC 4.42 52 ( 20541)答案：482014广东省中山二中期末考试 已知点 A(1，1,3)，B(2 ，2)，C(3，3,9)三点共线，则 _.解析：本题主要考查向量共线问题由于 (1,1，23)， (2，2,6)，AB AC 由 知， 0，0，于是 0. 12 12 2 36答案：09等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB，二面角 CABD 的余弦值为 ，33M、N 分别是 AC、BC 的中点，则 EM、AN 所成角的余弦值等于_解析：设 AB2，作
6、CO平面 ABDE，OHAB ，则 CHAB，CHO 为二面角CAB D 的平面角，CH ，OHCHcosCHO 1 ，结合等边ABC 与正方形 ABDE3可知此四棱锥为正四棱锥，则 ANEM CH ， ( )， ， 3 AN 12AC AB EM 12AC AE AN ( )( ) ，故 EM、AN 所成角的余弦值 .EM 12AB AC 12AC AE 12AN EM |AN |EM | 16答案：16三、解答题10如图，在长方体 ABCDABC D中，M 为 AC的中点化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量(1) ；AA CB (2) ；AB B C C D (3) 12AD 12AB
7、 12A A 解：(1) .AA CB AA BC AA A D AD (2) .AB B C C D AD (3) ( ) .12AD 12AB 12A A 12AD 12AB 12AA 12AD AB AA 12AC AM 向量 、 如图所示AD AM 112014河北省衡水中学月考 平行四边形 ABCD 中，AB2AC2 且ACD90，将它沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成 60角，求点 B，D 间的距离解：由已知得 ACCD，ACAB，折叠后 AB 与 CD 所成角为 60，于是， 0， 0，AC CD BA AC 且 ， 60或 120.BA CD | |2( )BD BA
8、 AC CD 2 2 2 22 2 2 2 21 22 2222cos ， ，故BA AC CD BA AC AC CD BA CD BA CD | |213 或 5，BD 解得| | 或 ，BD 13 5即 B，D 间的距离为 或 .13 512如右图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，H 是正方形 AA1B1B 的中心，AA12 ，C 1H平面 AA1B1B，且 C1H .2 5(1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值；(2)设 N 为棱 B1C1 的中点，点 M 在平面 AA1B1B 内，且 MN平面 A1B1C1，求线段 BM的长解：如下图，以 B 为坐标原点，建立空间直
9、角坐标系，依题意得 A(2 ，0,0)，B(0,0,0)，2C( ， ， )，A 1(2 ，2 ，0)，B 1(0,2 ，0)，C 1( ， ， )2 2 5 2 2 2 2 2 5(1)易得 ( ， ， )， (2 ，0,0)，AC 2 2 5 A1B1 2于是 cos ， .AC A1B1 AC A1B1 |AC |A1B1 | 4322 23所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 .23(2)由 N 为棱 B1C1 的中点，得 N( ， ， )设 M(a，b, 0)，则22 322 52( a， b， )MN 22 322 52由 MN平面 A1B1C1，得Error!，即Error!，解得Error!.故 M( ， ，0)，因此 ( ， ，0)22 24 BM 22 24所以线段 BM 的长| | .BM 104
