1、22 向量的线性运算22.1 向量的加法情景：请看如下问题：(1)如图 (1)，某人从 A 到 B，再从 B 按原来的方向到 C，则两次位移的和 应该是 _AB BC (2)如图 (2)，飞机从 A 到 B，再改变方向从 B 到 C，则两次位移的和 应该是_ AB BC (3)如图 (3)，船的速度是 ，水流速度是 ，则两个速度的和AB BC 应该是 _AB BC 思考：从(1)(2)(3)的解答，你发现了一个什么规律？1已知向量 a、b 在平面内_，作 a， b，则AB BC 叫做 a 与 b 的和，记作_，即_，求两个向AC 量和的运算，叫做_，上述方法称为向量加法的_答案：是非零向量 a
2、b ab 向量的加法 AB BC AC 三角形法则2以同一点 A 为起点的两个已知向量 a、b 为_作ABCD，则以_就是 a 与 b 的和，这种方法叫做向量加法的_答案：邻边 A 为起点的对角线 平行四边形法则AC 3ab_；(ab)c _；a0 _答案：ba a(bc) 0 a a4向量的加法的几何意义是_答案：满足平行四边形法则和三角形法则向量的加法1向量加法的定义已知向量 a 和 b(如上图)，在平面内任取一点 O，作a， b，则 叫做 a 与 b 的和，记作 ab，即OA AB OB ab .OA AB OB 求两个向量和的运算叫做向量的加法对于零向量和任一向量 a，有 a0 0 a
3、a. 对于相反向量，有 a(a)( a)a0.2向量加法运算律向量的加法满足交换律和结合律，即abba，(ab) c a(bc)3向量加法运算的几何意义(1)向量加法的三角形法则根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则对三角形法则的理解：我们知道，向量加法的三角形法则是：若 a ，b ，则 ab (如右图所示) AB BC AB BC AC 向量加法的三角形法则的式子内容是：两个向量(均指用两个字母表示的向量) 相加，则表示第一个向量终点的字母与表示第二个向量起点的字母必须相同(否则无法相加)，这样两个向量的和向量是以第一个向量的起点的字母为起点，以第二个向量的终点的字
4、母为终点的向量位移的合成可以看做是向量加法三角形法则的物理模型(力的合成可以看做向量加法平行四边形的物理模型) (2)向量加法的平行四边形法则如右图，以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的对角线 就是 a 与 b 的和我们把这种OC 作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则基 础 巩 固1在四边形 ABCD 中， ，则( )AC AB AD A ABCD 一定为矩形B ABCD 一定为菱形C ABCD 一定为正方形DABCD 一定为平行四边形答案：D2下列结论中，不正确的是( )A 0 aaB. 2AB BA AB C对于任意向量 a，b，|a
5、b| 0D对于任意向量 a，b，|a| b|ab| |a|b|答案：B3在矩形 ABCD 中， 等于AC _答案： 或 或 4如右图，已知四边形AD DC AB BC AB AD ABCD 是梯形，ABCD，E、F、G、H 分别是 AD、BC、AB、CD的中点，则 等于_EF 答案： AG DH 5( )( ) 化简后等于_AB MB BO BC OM 答案： AC 6. _AB DF CD BC FA 答案：0能 力 升 级7已知ABC 是正三角形，则在下列各等式中不成立的是( )A| | |AB BC BC CA B | | |AC CB BA BC C| | |AB AC CA CB D
6、| | |AB BC AC CB BA CA 解析：作出正三角形 ABC，AD、CE 分别是三角形的中线，利用平行四边形法则：| |2| |，| |2| |.AB AC AD CA CB CE 又ABC 为正三角形， | | |.故 C 项正确A 、D 两AD CE 项直接利用三角形法则判断也是正确的，只有 B 项不正确答案：B8如图，已知ABC 是直角三角形且A 90.则在下列各结论中，正确的结论个数为_| | |AB AC BC | | |AB BC CA | | |AB CA BC | |2| |2| |2AB AC BC 解析：以 、 为邻边作平行四边形 ABDC，则 ABDC 为矩A
7、B AC 形，而矩形的对角线相等，故均正确，另外两个可直接求解也是正确的答案：4 个9向量 a、b 满足|a|6，|b| 10，则|ab |的最大值是_，最小值是_(1)解析：当 a、b 不共线时，如图(1)，作 a， b，则AB BC ab. 由向量加法的几何意义知| ab| |a|b|16.AC 当 a、b 共线同向时，如图(2)，作 a， b， ab，由向量加法的几何意义可知AB BC AC | |ab |a|b| 16.AC (2)当 a、b 共线反向时：如图(3)所示，作 a， b，则AB BC ab，由向量加法的几何意义可知| ab| | b|a|1064，AC |ab|的最大值为
8、 16，最小值为 4.(3)本题也可以直接利用|a| b|ab| |a| |b|求解答案：16 410如图所示，用两根绳子把重为 10 N 的物体 W 吊在水平杆AB 上， ACW150，BCW 120，求 A 和 B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)解析：设 ， 分别表示 A，B 处所受的力，10 N 的重力用CE CF 表示，CG 则 .CE CF CG 因为ECG 180 15030，FCG180 120 60，所以| | | |cos 3010 5 (N)，CE CG 32 3| | |cos 6010 5(N)CF CG 12故 A 和 B 处所受力的大小分别为 5 N，5 N.
9、311如图，ABC 中，BAC 90，ADBC 于点 D，求证：| |2| |2| |2.BC DB DA DC DA 解析：如图，由于BAC90，ADBC，因此，若以DB， DA 为邻边作矩形 ADBE，则| | |，且 .AB DE DB DA DE 所以| |2| |2| |2.DB DA DE AB 同理| |2| |2，DC DA AC 所以| |2| |2| |2| |2 | |2，DB DA DC DA AB AC BC 即| |2| |2 | |2.BC DB DA DC DA 12如下图：平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点O，P 为平面内任意一点，求证： 4 .PA PB PC PD PO 证明： ，PO PA AO
