1、2.1.2 椭圆的几何性质1.已知 kb0)过点 ,且离心率 e= ,求此椭圆的方程 .分析:由椭圆的离心率可得 a,c 的关系,从而知道 b,c 的关系,再由点在椭圆上,代入方程即可求得椭圆的标准方程.解:由题意知椭圆的离心率 e= ,所以 a=2c,所以 b2=a2-c2=3c2,所以椭圆的方程为 =1.又点 在椭圆上,所以 =1,所以 c2=1,所以椭圆的方程为 =1.10.已知椭圆的焦点在 x 轴上,椭圆上一点的横坐标等于右焦点的横坐标,且纵坐标的长等于短半轴长的 ,求该椭圆的离心率.解法一:设椭圆方程为 =1(ab0),焦点坐标为 F1(-c,0),F2(c,0).依题意设 M 点坐
2、标为 ,在 RtMF1F2 中 ,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,即 4c2+ b2=|MF1|2,所以|MF 1|+|MF2|= b=2a.整理得 3c2=3a2-2ab.又 c2=a2-b2,所以 3b=2a, ,所以 e2= =1- ,所以 e= .解法二:设椭圆方程为 =1(ab0),由已知条件设 M ,依题意得 =1,所以 ,即 e= .11.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点, P 为椭圆上一点,F 1PF2=60.(1)求椭圆的离心率的取值范围;(2)求证:F 1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关 .(1)解: 不妨设椭圆方程为 =1(ab0),由余弦定理得cos60= ,所以|PF 1|PF2|=4a2-2|PF1|PF2|-4c2,所以 3|PF1|PF2|=4b2,所以|PF 1|PF2|= .又因为|PF 1|PF2| =a2,所以 3a24(a2-c2),所以 ,所以 e .又因为椭圆中 0e1,所以所求椭圆的离心率的取值范围是 e1.(2)证明:由(1)可知|PF 1|PF2|= b2,|PF1|PF2|sin60= b2 b2.所以F 1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关.
