1、二次函数,1、什么叫做二次函数？它的图象是什么？它的对称轴、顶点坐标各是什么？,答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)，y叫做x的二次函数。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x= ,顶点坐标是（ ， ）。,2、二次函数的解析式有哪几种？,有三种：一般式：y = ax2+bx+c(a0)顶点式：y = a(x-h)2+k 顶点 为(h,k)交点式：y = a(x-x1)(x-x2) 与x轴两交点:(x1,0),(x2,0),例1：根据二次函数的图象上三个点的坐标（-1，0），（3，0），（1，-5），求函数解析式。,解法一 设所求二次函数解析式为：y = ax2+bx+c. 又抛
2、物线过点（-1，0），（3，0），（1，-5），依题意得,a b + c = 0,9a+3b+c = 0,a + b + c=-5,解得,所求的函数解析式为 。,解法二 点（-1，0）和（3，0）是抛物线与x轴的两个交点，故可设二次函数解析式为：y=a(x+1)(x-3), 又抛物线过点（1，-5）， 有-5=a（1+1）（1-3）解得 ， 即所求的函数解析式为 。,解法三 点（-1，0）和（3，0）是关于直线x =1对称，显然（1，-5）是抛物线的顶点坐标，故可设二次函数解析式为：y = a(x-1)2-5, 又抛物线过点（3,0），0=a(3-1)2-5, 解得 , , 即所求的函数解析式
3、为 。,解法四 经上述分析，点（1，-5）是抛物线的顶点坐标，依题意得：解得 即所求的函数解析式为 。,a-b+c=0,（三）知识升华 抛物线位置与系数a，b，c的关系：,a决定抛物线的开口方向： a0 开口向上,a0 开口向下,c决定抛物线与y轴交点的位置： c0 图象与y轴交点在x轴上方； c=0 图象过原点； c0 图象与y轴交点在x轴下方。,a，b决定抛物线对称轴的位置:(对称轴是直线x = ）, a，b同号对称轴在y轴左侧； b=0 对称轴是y轴； a，b异号对称轴在y轴右侧,顶点坐标是（ ， ）。,=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：, 0抛物线与x轴有两个交点； 0抛物线与x
4、轴有唯一的公式点； 0抛物线与x轴无交点。,二次函数的最大、最小值由a决定。,例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，x= 为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？-1 0 1 x,y,【分析与参考答案】 首先观察到二次函数的图象为抛物线，其对称轴为直线x= ，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标其一大于1，另一个介于-1与0之间，抛物线开口向上，顶点的纵坐标及抛物线与y轴的交点的纵坐标均介于-1与0之间，由此可得如下结论：,a0;,-1c0;,b2-4ac0;, ,2a=-3b;,由，(4)得b0;,由,得abc0;,考虑x = 1时y0，
5、所以有a+b+c0;,又x = -1时y0，所以有a-b+c0;,考虑顶点的纵坐标，有0c- -1。,-1,(四) 练习：（巩固知识）y43 8 x,1、如图所示：求抛物线的解析式。,由图象得：抛物线过（8，0），（0，4）对称轴是直线x = 3，从而可得抛物线又过（-2，0）。,解法一：设抛物线的解析式为：y = ax2+bx+c，依题意得：c=4 解得 4a-2b+c=0 c = 4 所求的函数解析式为:,64a+8b+c=0,解法二：设抛物线的解析式为：y = a（x-3）2+k，依题意得：a（0-3）2+k=4 k = 所求的函数解析式为: 。,a（8-3）2+k=0 解得,解法三：设抛物线的解析式为：y = a（x-8）（x+2），依题意得：4=a（0-8）（0+2） 解得 所求的函数解析式为: 。,
