1、第三章 3.3 3.3.1一、选择题1下面关于几何概型的说法错误的是( )A几何概型也是古典概型的一种B几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D几何概型中每个结果的发生具有等可能性答案 A解析 几何概型基本事件的个数是无限的，而古典概型要求基本事件有有限个，故几何概型不是古典概型，故选 A.2平面上有一组平行线且相邻平行线的距离为 3 cm，把一枚半径为 1 cm 硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A. B 14 13C. D12 23答案 B解析 如图，要使硬币不与平行直线 l1、l 4 中任何一条相碰，则应使硬
2、币的中心在两平行线 l2、l 3 之间，故所求概率为 P .133一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方砖的概率为( )A. B18 79C. D29 716答案 C解析 由题意知，这是一个与面积有关的几何概型题这只小狗在任何一个区域的可能性一样，图中有大小相同的方砖共 9 块，显然小狗停在涂色方砖的概率为 .故选 C.294(2015湖南津市一中高一月考) 在面积为 S 的ABC 的边 AB 上任取一点 P，则PBC 的面积大于 的概率是( )S4A. B14 12C. D34 23答案 C解析 如下图，在 AB 边上取点 P，使 ，则 P 只能在 AP内运动，则所APAB 34求
3、概率为 P .故选 C.APAB 345在 1 000 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率( )A0 B0.002C.0.004 D1答案 B解析 由于取水样的随机性，所求事件 A：“在取出的 2mL 水样中有草履虫” ，属于几何概型P(A ) 0.002.水 样 的 体 积总 体 积 21 0006在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB 的长，则该矩形面积大于 20 cm2 的概率为( )A. B16 13C. D23 45答案 C解析 本题考查几何概型设 ACx cm，则 BC(1
4、2x) cm，x(12x)20，解得 x2 或 x10，故所求概率P .12 2 212 23二、填空题7.(2014福建文，13)如图，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_答案 0.18解析 由几何概型的概率可知，所求概率 P 0.18，.S 阴 0.18.S阴S正 1801 0008设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间 0,1上的数字，另一半均匀地刻上区间1,3 上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于 上的12，32概率是_答案 38解析 由题意，记事件 A 为 “陀螺停止时，其圆周上触及桌面
5、的刻度位于 ”12，32设圆的周长为 C，则 P(A) .1212C 1412CC 38三、解答题9某同学向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分内的概率解析 由于是随机投掷飞镖，故可认为飞镖落在正方形内任一点的机会是均等的，因此落在阴影部分的概率应等于三角形面积与正方形面积的比，如图所示记“飞镖落在阴影内”为事件 A，则 P(A) .ECD的 面 积正 方 形 的 面 积 1410.设关于 x 的一元二次方程 x22ax b 20.(1)若 a 是从 0、1、2、3 四个数中任取的一个数，b 是从 0、1、2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若 a 是从区间
6、0,3 任取的一个数，b 是从区间0,2 任取的一个数，求上述方程有实根的概率解析 设事件 A 为“方程 x22axb 20 有实根” ，当 a0，b0 时，方程 x22axb 20 有实根的充要条件为 ab.(1)基本事件共有 12 个：(0,0)、(0,1) 、(0,2)、(1,0)、(1,1)、(1,2) 、(2,0)、(2,1)、(2,2) 、(3,0)、(3,1)、(3,2) ，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值事件 A 中包含 9 个基本事件，故事件 A 发生的概率为P(A) .912 34(2)试验的全部结果所构成的区域为( a，b)|0a3,0b2构成事件
7、A 的区域为(a，b)|0a 3,0b2，a b即如右图的阴影区域所示，所以所求的概率为 P(A) .32 122232 23一、选择题1如图所示，设 A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连接，则弦长超过半径 倍的概率是( )2A. B34 12C. D13 35答案 B解析 由图可知，符合条件的点应在与点 A 相对的另一半圆弧 BC 上， .BC圆 O周 长 12故选 B.2如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点 A，连接 AA，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为( )A. B12 23C. D32 14答案 B解析 如图所示，当 AA长度等于半径时， A
8、位于 B 或 C 点，此时BOC120 ，则优弧 BC R，满足条件的概率 P ，故选 B.43 43R2R 233已知直线 yx b 在 y 轴上的截距在区间 2,3内，则直线在 y 轴上的截距 b 大于1 的概率是( )A. B15 25C. D35 45答案 B解析 由几何概型的概率公式知，所求概率 P .3 13 2 254设有一个正方形网络，其中每个最小正方形的边长都等于 6 cm.现用直径等于 2 cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率是( )A0 B1C. D59 49答案 C解析 如图所示，硬币落下后与格线无公共点时，硬币中心应在如图所示的阴影部分(边长为
9、4 cm 的正方形)内，其概率为 ，故硬币落下后与格线有公共点的概率为 11636 49 ，故选 C.49 59二、填空题5如果在一个 5 万平方千米的海域里有表面积达 40 平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在这个海域里随意选定一个点探，则钻到石油的概率是_答案 0.000 8解析 如图，设 为海域，A 为贮藏着石油的大陆架，由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比，即 P 0.000 8.SAS 4050 0006.(2014重庆文，15)某校早上 800开始上课，假设该校学生小张与小王在早上730750 之间到校
10、，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 min 到校的概率为_(用数字作答)答案 932解析 设小张到校时间是 730750 任意时刻 y，小王到校时间是 730750 任意时刻 x，则 x、y 0,20 的任意实数，因为 x 在该时间段的任何时刻到校是等可能的，故为几何概型事件“小张比小王至少早到 5min”为事件 A，即 yx5，如图所示 和事件对应测度为所求概率 P(A) .1215152020 932三、解答题7某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于 10 min 的概率解析 假设他在 0 min60 min 这段时间的任
11、何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件设事件 A“等待时间不多于 10 min”，事件 A 发生是打开收音机的时刻位于50,60 时间段内，所以 A605010， 60.所以 P(A) .A 1060 168已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 内随机取点M，求使四棱锥 MABCD 的体积小于 的概率16解析 如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1，设四棱锥 MABCD 的高为 h，由 S 正方体 ABCDh ，13 16又 S 正方体 ABCD1，h ，即点 M 在正方体的下半部分12所求概率为 P .12V正 方 体 ABCD A1B1C1D1V正 方 体 ABCD A1B1C1D1 12
