1、第页 12019 届湖南省岳阳市第一中学高三上学期第二次质检数学（理）试题（解析版）时量：120 分钟 分值：150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数 z 满足 ，则 z 的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【详解】由 得到 故选 A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题2.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先分别求出集合 A，B
2、，由此能求出 AB【详解】集合 B= x|x0，AB= 故选 B【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题第页 23.在 中， “ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理可得，在 中， “ ”则 ，则 ，由倍角公式可得 ，可得，反之也成立，所以在 中， “ ”是“ ”的充分必要条件，故选 C.考点：正弦定理与倍角公式.4.如图，是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A. B. C.
3、 D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意得以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率的程序框图， 是圆周内的点的次数，当大于 时，圆周内的点的次数为 ，总试验次数为 ，所以要求的概率 ，所以空白框内应填入的表达式是 ，故选 B.考点：程序框图的应用.5.从 5 名男公务员和 4 名女公务员中选出 3 人，分别派到西部的三个不同地区，要求 3 人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派议程种数是（ ）第页 3A. 70 B. 140 C. 420 D. 840【答案】C【解析】试题分析：先分组：“ 个男 个女”或“ 个女 个男”，第一种方法数有 ，第二种方法数有 .然后派到桑格不同的地区，方法数有
4、 种.考点：排列组合.6.已知函数 是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】根据题意，由偶函数的性质可得 sin（x+）=cos（-x-） ，进而利用三角函数的和差公式化简可得sinxcos+cosxsin=cosxcos-sinxsin，分析可得 sin=cos，cos=-sin，由三角函数诱导公式分析可得 =+ ，分析选项即可得答案【详解】根据题意，设 x0，则-x0，则有 f（x）=sin（x+） ，f（-x）=cos（-x-） ，又由函数 f（x）是偶函数，则有 sin（x+）=cos（-x-） ，变形可得：sin（x+）=c
5、os（x+） ，即 sinxcos+cosxsin=cosxcos-sinxsin，必有：sin=cos，cos=-sin，分析可得：=+ ，分析选项只有 B 满足 =+ ，故选：B【点睛】本题考查偶函数的性质，涉及三角函数和差公式的应用，关键是利用偶函数的性质，得到关于、 的三角恒等式7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）第页 4A. 54 B. 60 C. 66 D. 72【答案】B【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是由一个底面为直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥而得到的，其直观图如图所示，所以该几何体的表面积为 ，故选 B考点：空间几何体的三视图及体积【方法点晴】
6、在解答根据空间几何体三视图求其体积或表面积问题中，先从三视图的俯视图入手，如果俯视图是圆，几何体为圆锥或三圆柱，如果俯视图是三角形，几何体为三棱柱或三棱锥解答此类问题的关键是正确还原出该几何体的直观图视频8.已知 P 是 所在平面内一点， ，现将一粒黄豆随机撒在 内，则黄豆落在内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】第页 5根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点 P 是ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点再根据几何概型公式，将PBC 的面积与ABC 的面积相除可得本题的答案【详解】以 PB、PC 为邻边作平行四边形 PBDC，则 ，得： ，由此可
7、得，P 是ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点，点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 的距离的 将一粒黄豆随机撒在ABC 内，黄豆落在PBC 内的概率为 故答选 B【点睛】本题给出点 P 满足的条件，求 P 点落在PBC 内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题9.设实数 x，y 满足 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可先画出 x、y 满足的平面区域，而 为可行域内的点与原点连线的斜率，求出 的范围；进一步用换元法求出 u 的范围即可【详解】第页 6作出 x，y 满足的可行域，可得可行域内的点与原点
8、连线的斜率的取值范围是 即 ，令 t ，则 ，又 在 t 上单调递增，得 u 故选：A【点睛】本题考查线性规划、利用函数的单调性求最值，注意换元法的应用10.如图，在长方体 中， ， ，而对角线 上存在一点 P，使得取得最小值，则此最小值为（ ）A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D【解析】【分析】把对角面 A1C 绕 A1B 旋转至 使其与AA 1B 在同一平面上，连接 AD1 并求出，就是最小值【详解】把对角面 A1C 绕 A1B 旋转至 使其与AA 1B 在同一平面上，连接 AD1，在 中， ，第页 7则 的最小值为：， 故选：D【点睛】本题考查两线段长的最小值的求法，考查正方体的结
9、构特征、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题11.已知 是抛物线 的焦点，点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧， （其中 为坐标原点） ，则 与 面积之和的最小值是（ ）A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B【解析】试题分析：据题意得 ，设 ，则 ， 或 ，因为位于 轴两侧所以.所以 两面积之和为 .【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.视频12.已知实数 ，若关于 x 的方程 有三个不同的实根，则 t 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】第页 8作出函数 的图象如图所示， 的对称轴为 ，若
10、原方程有 个不同的根，则 在内有且仅有 个值，由对称轴 可知，另外一个根，在 内，即方程 ，在内各有一个根， ，故选 A.【方法点睛】巳知函数的零点个数求参数取值范围常用的方法和思路：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（一元二次方程根的分布不同，可列出相应的不等式组） ，再通过解不等式确定参数范围;分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决; 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13.设 ，则 展开式中的常数项为_ （用数字作答）【答案】210【解析】试题分析：根据题意，先求出
11、n 的值，再求出展开式中的常数项是什么值即可因为 展开式中通项令 展开式中的常数项为考点：二项式定理的应用14.已知向量， 满足 ， ，则向量 在方向上的投影为_【答案】【解析】第页 9由 ，得 ，故 在方向上的投影为 .15.若函数 的图象在 处的切线与圆 相切，则 的最大值是_【答案】【解析】试题分析：由 ，则 ，且 ，又 ，所以切线方程为 ，即 ，又因为切线与圆 相切，所以 ，即 ，因为 ，所以，所以 ，所以 ，所以 的最大值是 .考点：导数在函数中的应用.【方法点晴】本题主要考查了导数在函数解题中的应用，其中解答中涉及到利用导数求解曲线上某点的切线方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距
12、离公式，以及基本不等式的应用等知识点的综合考查，着重考查两学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.16. 的最大值是 3， 的图像与 y 轴的交点坐标为 ，其相邻两个对称中心的距离为 2，则 _【答案】4033【解析】试题分析： ，最大值 ，解得 ，周期 ，因此 ，得 ， ，由于过点 ，即 ， ， ，在一个周期内 ，.考点：1、三角函数的化简；2、函数的周期性的应用.视频第页 10三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在锐角 中，已知 （）求 的值；（）求 的取值范围【答案】 （）2（）【解析】【分析】
13、（）利用两个向量的数量积的运算以及余弦定理求得 a2+b2=2c2，由此利用正弦定理、两角和的正弦公式、化简要求的式子，可得结果（）根据 ，a 2+b2=2c22ab，利用基本不等式，求得 cosC 的取值范围【详解】 （）依题意得， ，即 （） ，此时 时， 取到若 ，不妨设 ，则 ，即 又因为 为锐角三角形，所以 ，所以 于是 ，则 综上可知， 的取值范围是 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理和余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题18.已知数列 的前 n 项和为 ， （）求数列 的通项公式；第页 11（）设数列 的前 n 项和为 ， ，点 在直线 上，若存在 ，使不等式
14、成立，求实数 m 的最大值【答案】 （） （）4【解析】【分析】（I）利用等递推式、比数列的通项公式即可得出；（）由题意得， ，利用等差数列的通项公式可得：T n，进而得到 令 ，利用“错位相减法”可得 Mn，利用（M n）maxm即可得出【详解】 （） 得 ，即 ， 成等比数列，公比为 2 （）由题意得， ， 成等差数列，公差为 首项 ， ， ，当 时， ，当 时， 成立， ，令 ，只需 第页 12得， 为递增数列，且 ， ，实数 m 的最大值为 4【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “错位相减法” 、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.
15、为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 的有 40 人，不超过的有 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过 的有 20 人，不超过 的有 25 人（）完成下面的列联表，并判断是否有 的把握认为平均车速超过 的人与性别有关平均车速超过 人数 平均车速不超过 人数 合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车中驾驶员为男性且车速超过 的车辆数为 X，若每次抽取的结果是相互独立
16、的，求 X 的分布列和数学期望参考公式与数据：第页 13，其中【答案】 （）表格见解析，有关 （）【解析】【分析】（）根据题目中的数据，完成列联表，求出 K2=8.137.879，从有 99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 与性别有关（）记这 3 辆车中驾驶员为男性且车速超过 100km/h 的车辆数为 X，推导出 X 服从二项分布，即 ，由此能求出在随机抽取的 10 辆车中平均有 4 辆车中驾驶员为男性且车速超过 100km/h【详解】 （）平均车速超过 人数 平均车速不超过 人数 合计男性驾驶员人数 40 15 55女性驾驶员人数 20 25 45合计 60 40 100因为 ，
17、所以有 的把握认为平均车速超过 与性别有关；（）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 1 辆，驾驶员为男性且车速超过 的车辆的概率为 X 可取值是 0，1，2，3， ，有：， ， ，X 的分布列为X 0 1 2 3第页 14P【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查概率的求法及应用，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20.如图，在梯形 ABCD 中， ， ， ，平面 平面 ABCD，四边形 ACFE 是矩形， ，点 M 在线段 EF 上（）求证： 平面 ACFE；（）当 EM 为何值时， 平面 ？证明你的结论；（）求二面角 的
18、平面角的余弦值【答案】 （）见解析（） （）【解析】【分析】（）根据线面垂直的判定定理，即可证明：BC平面 ACFE；（）根据线面平行的判定定理，确定 EM 的长度，然后根据 AM平面 BDF 的判定定理即可得到结论（）由（）知 CF，CA，CB 两两垂直，以点 C 为原点，CA，CB， CF 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求二面角 的平面角的余弦值【详解】 （）在梯形 ABCD 中， ， ， ， ， ，又平面 平面 ABCD，平面 平面 ， 平面 ACFE（）当 时， 平面 BDF，第页 15在梯形 ABCD 中，设 ，连接 FN，则 ， ， ，而 ， ， ，四边形 AN
19、FM 是平行四边形， ，又 平面 BDF， 平面 BDF， 平面 BDF（）由（）知 CF，CA，CB 两两垂直，以点 C 为原点，CA，CB，CF 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ，设平面 BEF 的法向量 ，则 ， ，同理可得平面 EFD 的法向量为 ，（10 分）所以 又二面角 的平面角为锐角，所以 的平面角的余弦值为 【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，考查利用空间向量求二面角，要求熟练掌握常用的判定定理和性质定理21.已知函数 ， ， （）讨论 的单调性；（）若 的最大值为 M， 存在最小值 N，且 ，求证： 【答案】 （）见
20、解析（）见解析第页 16【解析】试题分析：（1）先求 ，讨论 和 两种情况，分别令 得减区间， 得增区间；（2）由（1）可知 ，且 ， （ 为 的极值点） ，由题设 ，即 ，将 代入上式，得 ，则 。试题解析：（1）由题设有 ，当 时， 在 上单调递减；当 时，列表如下：0递增 最大值 递减可知， 在 单调递增，在 单调递减；（2）由题设有 ，若 ， 在其定义域 上单调递增，无最小值，由（1）可知此时 无最大值，故而令 ，又 ，故唯一存在 ，使得 ，即 ，列表如下0第页 170递减 最小值 递增由（1）可知 ，且 ，由题设 ，即 ，将代入上式有 ，化简得 。构造函数，易知 为单调递增函数，又
21、，而当，则唯一存在 ，使得 ，则当 递减，当 ， 递增。又 ，故 只会在 有解，而，故（*）的解为 ，则 。考点：1.利用导数研究函数的单调性及最值；2.利用导数证明不等式。【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、利用导数证明不等式，属于难题。利用导数研究函数 的单调性进一步求函数最值的步骤：确定函数 的定义域；对 求导；令 ，解不等式得 的范围就是递增区间；令 ，解不等式得 的范围就是递减区间；根据单调性求函数 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值，闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小） 。（二）选做题（请考生在第 22、23 二题中选一题作答
22、，如果多做，则按第一题计分，作答时请写清题号）选修 4-4：坐标系与参数方程22.已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，第页 18圆 C 的极坐标方程为 （）求圆 C 的直角坐标方程；（）若 是直线 l 与圆面 的公共点，求 的取值范围【答案】 （） （）【解析】【试题分析】 （1）将圆的极坐标方程展开后两边乘以 转化为直角坐标方程.（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义求得 的取值范围.【试题解析】解：（1）圆 的极坐标方程为 ， ，又 ， ， ，圆 的普通方程为（2）设 ，故圆 的方程 ，圆 的圆心是 ，半径
23、是 2，将 代入 得 ，又直线过 ，圆 的半径是 2， ， ，即 的取值范围是 .选修 4-5：不等式选讲23.已知 （a 是常数， ）（）当 时，求不等式 的解集；（）如果函数 恰有两个不同的零点，求 a 的取值范围【答案】 （） （）【解析】【分析】第页 19（）当 a=1 时转化不等式 f（x）0，去掉绝对值，然后求解不等式的解集即可；（）函数 y=f（x）恰有两个不同的零点，令 f（x）=0，构造函数 y=|2x-3|，y=-ax+6，利用函数的图象推出 a的取值范围【详解】 （）当 时，则原不等式等价于 或 ，解得 或 ，则原不等式的解集为（） 由 ，得 ，令 ， ，作出它们的图象，可以知道，当 时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以函数 恰有两个不同的零点时，a 的取值范围是 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，函数的零点的个数问题的解法，考查数形结合思想和计算能力，属于中档题
