1、第页 12019 届广西南宁市第三中学高三上学期第一次月考（开学考试）数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2|10Ax， 2|3Bx，则 AB（ ）A 1, B , C 1, D 2,132.已知 2zi，则复数 z（ ）A 10 B C 13i D 1i3.已知 4cos25，则 cos2（ ）A 75 B 7 C 45 D 245 4.某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 83 B 23 C. 4 D 435.已知圆 22:4Mxy和两点 ,0
2、Aa， ,B，若圆 M上存在点 P，使得90P，则 的最大值为（ ）A 4 B 5 C.6 D 7第页 26.已知 1nmx的展开式中，二项式系数和为 32，各项系数和为 243，则 m（ ）A 2 B 3 C. 2 D 7.函数 lf的图象可能是（ ）A. B. C. D.8.已知随机变量 服从正态分布 21,N，且 03Pa，则 （ ）A 2 B 2 C. 5 D 69.已知 C的三边满足条件 223abc，则 A（ ）A 30 B 45 C.60 D 1010.已知 6， 为 sin2fx2的一个对称中心，则 fx的对称轴可能为（ ） A 2x B 1 C. 3x D 2311.已知双曲
3、线2:xyCab0,b的左、右焦点分别为 1F、 2，过 作垂直于实轴的弦 PQ，若 1PFQ，则 的离心率 e为（ ）A 2 B 2 C. 21 D 212.已知函数 fx是单调函数，对任意 xR，都有 1xf，则 2019f的值为（ ）A 2019ln B 2019ln C. 2019ln D ln第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 1,a， 3,2b，若 kab与 垂直，则实数 k 14.若变量 x、 y满足约束条件 0yx，则 zxy的最大值为 第页 315.在三棱锥中 PABC， ， P， C两两相互垂直， 1PABC，则
4、此三棱锥内切球的半径为 16.已知抛物线 2:yx，过 的焦点的直线与 交于 ， 两点。弦 长为 2，则线段 AB的中垂线与 x轴交点的横坐标为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 na的前 项和为 nS，且 2na.（1）求数列 的通项公式；（2）若 nb，求数列 nb的前 项和 nT.18.通过随机询问 72名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下联表：男 女 总计读营养说明 16284不读营养说明 20 28总计 3367附： 20pKk0.10.50.16357898222nadbcd（1）由以上列
5、联表判断，能否在犯错误的概率不超过 0.5的前提下认为性别和是否读营养说明有关系呢？（2）从被询问的 28名不读营养说明的大学生中随机选取 2名学生，求抽到女生人数 的分布列及其数学期望. 19.在四棱锥 PABCD中，侧面 PA底面 BCD，底面 A为直角梯形， /BCAD，90， 12， ， E， F分别为 ， P的中点. 第页 4（1）求证： /PA平面 BEF；（2）若 C，求二面角 A的余弦值. 20. 在平面直角坐标系 xoy中，椭圆21xyab0的离心率为 32，过椭圆右焦点 F作两条互相垂直的弦 AB与 D.当直线 B的斜率为 0时， 5BCD.（1）求椭圆的方程；（2）求由
6、， ， C， 四点构成的四边形面积的取值范围.21. 已知函数 1lnxfa.（1）讨论 x的单调性；（2）当时 0,1， 241axxe，求实 a数的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy中，直线 9 的参数方程为123xty（ 为参数） ，在以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C的极坐标方程为 221cos4.（1）写出直线 l的普通方程与曲线 的直角坐标方程；（2）设点 1,0M.若直线 l与曲线 相交于不同的两点 A， B，求 M的值.23.选修 4-5：不等
7、式选讲已知函数 fx.第页 5（1）求不等式 21fx的解集；（2）关于 的不等式 3fxa的解集不是空集，求实数 a的取值范围.南宁三中 20182019 学年度上学期高三月考（一）理科数学参考答案一、选择题1-5. DABCD 6-10. AACDB 11.C 12.A二、填空题第页 613. 1 14.8 15. 136 16. 54 三、解答题17.（1） 2nnSa 112nnSa2 1 2- 得 1，则 1n， 1 2在 式中，令 n，得 12a. 1数列 a是首项为 ，公比为 的等比数列， 2na.（2） nb. 所以 123nT.12n， 3则 2n1， 4- 得， 23n11
8、.2， 3 41212nn1nnT.18.（1）由计算可得 2K的观测值为 27216808.41643k，因为 8.467.9，所以在犯错误的概率不超过 .5的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”.（2） 的取值为 0， 1， 2.的分布列为： 02891CP， 18209CP， 28149CP.012P95188091489的数学期望 4027E.19.（1）证明：连接 AC交 B于 O，并连接 EC， FO，/BCD， 12， 为 D中点， /AB，且 EC，四边形 E为平行四边形， 为 中点，又 为 P中点，第页 7/OFPA， 平面 BEF， PA平面 BEF， /PA平面 BE
9、F.（1） （法一）由 CD为正方形可得 2C， 2C.取 中点 M，连 ， ， ， 侧面 D底面 ，且交于 D， A，BE面 ，又 /O， M为二面角 的平面角又 32， 1A， 12，cosE，所以二面角 FBEA的余弦值为 3.（法二）由题意可知 P面 CD， ，如图所示，以 E为原点， A、 EB、 P分别为 x、y、 z建立直角坐标系，则 0,， 1,0， ,10， 12,F.平面 ABE法向量可取： 0,1n平面 F中，设法向量为 ,mabc，则 0EBF012bac取 2,01mcos,3n，所以二面角 BEA的余弦值为 320.（1）由题意知 2cea，则 3c， b，bABC
10、D45.所以 3c.所以椭圆的方程为21xy.第页 8（2） 当两条弦中一条斜率为 0时，另一条弦的斜率不存在， 1由题意知 1=422SABCD四 边 形 ；当两弦斜率均存在且不为 0时，设 1,Axy， 2,By， 2且设直线 AB的方程为 3yk，则直线 CD的方程为 1x.将直线 的方程代入椭圆方程中，并整理得2221483kxk0，所以 21ABx2241k24，同理241kCD24k.所以 22SAB四 边 形 2214k24817k21849k21849k，由2211995kk，当且仅当 1k时取等号.325S四 边 形 ，综合 与 可知， 325S四 边 形 ， . 1 221
11、.（1） 0x. x第页 921fxa， 1x， 2fxa（I）当 时， 0f， f在 1,上单调递增；（II）当 2a时， ,fxafx在 1,a上单调递减；f在 2， 1,上单调递增.（2） （I）当 a时，由（1）知 fx在 ,1上单调递增；0,x， 0fxf 即有： lnxa， 1lnxa，从而可得： 1ae， axe， 24axe（II）当 2时，由（1）知 f在 1,上单调递减；0,xa， 0fxffx即有： 1ln， 1lna从而可得： 1axe， axe24axxe，不合题意，舍去. 综上所述，实数 的取值范围为 2.22.（1）由直线 l的参数方程消去参数 t，得直线 l的普
12、通方程为 30xy，又将曲线 C的极坐标方程化为 223cos4，曲线 C的直角坐标方程为214y.（2）将直线 l的参数方程代入21yx中，得2213tt，得 2760t此方程的两根为直线 l与曲线 C的交点 A， B对应的参数 1t， 2，得 1t， 2t，由直线参数的几何意义，知 1267Mt23.（1） 21fx， 0x，当 时，不等式可化为 ，解得 1x，所以 1x；当 2x，不等式可化为 20，解得 ，无解；第页 10当 12x时，不等式可化为 120x，解得 1x，所以 x.综上所述，不等式的解集为 ,.（2）因为 3fxfx2x且 fa的解集不是空集。所以 1a，即 的取值范围是 1,.
