2019年全国中学生标准学术能力诊断性测试高三11月测试（一卷） 数学（理） PDF版.rar

第 1 页 共 7 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 11 月测试 理 科 数学试卷 （ 一 卷） 参考答案 一 . 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D A A D B A B C B B D 二 . 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 2 14． 36 15． 20192 16． (0, )+ 三、解答题：共 70 分 ,解答应写出文字说明 .证明过程或演算步骤 ,第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 ,第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答 . （一）必考题： 60 分 . 17． 10分 解 : （ 1） 由条件和正弦定理可得 2 2 2 2b c a bab+− =− [1分 ] 整理得 2 2 2b a c ab+ − = 从而由余弦定理得 cosC=12. [2分 ] 又 ∵ C是三角形的内角 [3分 ] ∴ 3=C ． [4分 ] （ 2） 由余弦定理得 2 2 2 2 22 c o s= + − = + −c a b a b C a b a b， [5分 ] 4+=ab ， 2 2 2 2( ) 3 1 6 3 = + − = + − = −c a b a b a b a b a b， [7 分 ] 22 1 6 3 1 6 3 42+ = −  − =abc a b（ 当且仅当 a=b=2时等号成立 ） ． [9分 ] ∴ c的最小值为 2， 故 1 sin 32 ==ABCS a b C． [10分 ] 第 2 页 共 7 页 18． 14 分 证明 ：（ 1） 取线段 SC的中点 E， 连接 ME,ED． [1分 ] 在 SBC 中 ， ME为中位线  ME 12BC ， [2分 ] AD 12BC ME AD [3分 ]  四边形 AMED 为平行四边形 [4分 ]  AM DE [5 分 ] DE SCD 平 面 AM SCD平 面  AM SCD平 面 [6 分 ] （ 2） 以点 A 为坐标原点 ， 建立 分别以 AD、 AB、 AS 为 x 轴 、 y轴 、 z 轴， 如图所示的空间直角坐标系 ， 则 A(0,0,0)， B(0,2,0)，C(2,2,0)， D(1,0,0)， S(0,0,2)， [7分 ] 由条件得 M为线段 SB近 B点的三等分点． [8 分 ] 于是 AM = 2133AB AS+ = 420, ,33， 即 M(0,43 ,23 ) 设平面 AMC的一个法向量为 n =(x,y,z)， 则 00 ==AM nAC n， 将坐标代入得 n =(-1,1,-2) [9分 ] 另外易知平面 SAB的一个法向量为 m =(1,0,0)， [10分 ] 所以平面 AMC与平面 SAB所成 的锐 二面角的余弦值为 nmnm= 66 [11分 ] (3)设 N(x,2x－ 2,0)， 其中 12x．由于 M(0,43 ,23 )， 所以 1 0 2, 2 ,33M N x x= − −． E 第 3 页 共 7 页 所以 sin θ= MN mMN m=2 40 1045 39xxx−+=21104 1 40 1 593xx−+[12分 ] 可知当401 153208 269x−=− = ,即 2615x= 时分母有最小值 ， 此时 sin θ有最大值 ， [13 分 ] 此时 N(2615 ,2215 ,0)， 即点 N在线段 CD上且 11 515ND= .[14分 ] 19． 10分 解：（ 1）由概率分布的性质有 0.1＋ 0.2＋ 0.3＋ 0.1＋ t +2t ＝ 1． [1分 ] 所以 0.1t= ， [2分 ] ∴ X的分布列为： X 20 22 24 26 28 30 P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2 (写出分布列得 [4 分 ]) ∴ E(X)＝ 20×0.1＋ 22×0.2＋ 24×0.3＋ 26×0.1＋ 28×0.1＋ 30×0.2＝ 25(km)． D(X)＝ 52×0.1＋ 32×0.2＋ 12×0.3＋ 12×0.1＋ 32×0.1＋ 52×0.2＝ 10.6. [6 分 ] (2)由已知设梁某一天出车一次的收入为 Y 元 , 则 Y＝ 3( 3) 5X−+=3X－ 4,(X3， X∈ N)， [8 分 ] ∴ E(Y)＝ E(3X－ 4)＝ 3E(X)－ 4＝ 3×25－ 4＝ 71(元 )， [9 分 ] D(Y)＝ D(3X－ 4)＝ 32D(X)＝ 95.4. [10分 ] 20． 14 分 解 （ 1） 由抛物线 ( )2 20y px p=过点 P(1,1)， 得 2p=1， 即 2yx= [1分 ] 将条件 0PA PBkk+=写为 12110yyxx−−+=,[2分 ] 注意到 211yx= , 222yx= ,代入上式得到1211 0yy+=++, 第 4 页 共 7 页 通分整理得 122yy+ =− ． [4 分 ] 设直线 AB的斜率为 ABk ， 由 211yx= , 222yx= , 得 21122 1 1 21 ()−= = −+AB yyk x xx x y y， [5 分 ] 由 于 122+ =−yy ， 将其代入上式得12112= = −+ABk yy ． [6 分 ] （ 2） 因此设直线 AB的方程为 12=− +y x b ， 由 2 12 = =− +yxy x b，消 去 y整理 ,得 ( )221 104 x b x b− + + =,[8分 ]  b 0,1  Δ=( )2 210bb+ −  ， 且 21 2 1 24 ( 1), 4+ = + =x x b x x b ， [10分 ] 21 2 1 25 ( ) 4 2 5 2 14A B x x x x b=  + − = + 又点 P 到直线 AB 的距离为 d=325b−, 所以 3211 2 5 2 122 5 −=   =  + ABP bS A B d b= 1 2 3 2bb+− [11 分 ] 令 ( )( )2( ) 1 2 2 3f x x x= + −， 其中 [0,1]x ， [12分 ] 则由 ( ) ( )( )' 2 2 3 6 1 0f x x x= − − =,得 x=16 或 x=32 , 当 x∈ (0,16 )时 ， ( )'0fx ,所以 ()fx单调递增 , 第 5 页 共 7 页 当 x∈ (16 ,1)时 ， ( )'0fx ,所以 ()fx单调递减 , [13分 ] 故 f(x)的最大值为 16f= 25627 故 △ABP面积 S△ABP的最大值为 16f=1639 .[14分 ] 21． 12分 解 （ 1） ()fx的定义域是 ( )0,+ ,且 ( ) 2ln 4f x x =+． [2分 ] 由 ( ) 0fx = 得 2xe−= ,[3分 ] 当 ( )20,xe− 时 , ( ) 0fx  ,此时 ()fx单调递减 ； 当 ( )2,+xe−时 , ( ) 0fx  ,此时 ()fx单调递增 ； 综上 , ()fx的减区间为 ( )20,e− , ()fx的增区间为 ( )2,+e−  .[5分 ] 证明 （ 2） 2 1 2 12 1 2 1( ) ( ) 2 l n 2 l n−−==f x f x x xk x x x x， [6分 ] 要证明122xxk， 即证 2112ln ln−−xxxx， [7分 ] 等价于2122 1111ln−xxxx xx， [8 分 ] 令 21=xt x （ 由 x11） , [9 分 ] 则只需证 11 ln−t tt ， 由 t1， 知 ln t0， 故等价于 ( ) ( )ln 1 ln 1 . *  －t t t t t [10分 ] ① 设 ( ) 1 ln= － －g t t t， 则当 t1时 ， ( ) 1' 1 0=－gt t , 所以 g(t)在 (1,+∞)内是增函数 ， 第 6 页 共 7 页 当 t1时 ， ( ) ( )1 ln 1 0=  =－ －g t t t g， 所以 1 ln－tt； ② 设 ( ) ln ( 1)= － －h t t t t， 则当 t1时 ， ( )' ln 0=h t t ， 所以 h(t)在 (1,+∞)内是增函数 ， 所以当 t1时 ， h(t)=tlnt－ (t－ 1)h(1)=0， 即 ( )ln 1 1－t t t t ． 由 ①② 知 (*)成立 ， 所以 x10解得 2 2 1=+a ． [4分 ] （ 2） 曲线 C2的普通方程为 22+143xy= ,点 C(2,1)在直线 y=x－ 1上 , [5分 ] 所以直线 l的参数方程可以写为222212 =+ =+xtyt（ t为参数）， [6分 ] 将上式代入 22+143xy= 得 27 10 2 4 02 tt+ + =[8分 ] 设 A,B对应的参数分别为 t1,t2, 所以1 2 1 22 0 2 8,77+ = − =t t t t， [9分 ] 所以 ( )1 2 1 2|| 2 0 27+ = + = + =－A C B C t t t t[10 分 ] 23．解 ： （ 1） ( ) 1 3= + + +f x x x a ① 当 𝑎 3 时 ， 即 −1 −𝑎3， 𝑓(𝑥) = {−4𝑥 −1−𝑎,𝑥 ≤ −𝑎32𝑥 +𝑎 −1,−𝑎3 𝑥 −14𝑥 +𝑎 +1,𝑥 ≥ −1[1分 ] 第 7 页 共 7 页 ( ) ( ) ( )( )231 = 3 03 3 31 3aaaf f aaff−− − − + −−（ - ） （ -1 ） = ＞＞ （ - ）[2分 ] 则当 x= 3a− 时， 𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛 = −4(−𝑎3)−1−𝑎 = 1 ∴ a=6 [3分 ] ② 当 𝑎 3 时 ， 即 −1 −𝑎3 , 𝑓(𝑥) = {−4𝑥 −1−𝑎,𝑥 ≤ −1−2𝑥−𝑎 +1,−1 𝑥 −𝑎34𝑥 +𝑎 +1,𝑥 ≥ −𝑎3[4分 ] ( ) ( ) ( )( )231 = 3 03 3 31 3aaaf f aaff−− − − −−（ - ） （ - + 1 ） = ＞＞ （ - ）则当 x= 3a− 时， 𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛 = 4(−𝑎3)+1+𝑎 = 1 ∴ a=0 [5分 ] ③ 当 𝑎 = 3 时 ， 即 −1 = −𝑎3 ,𝑓(𝑥) = 4|𝑥 +1| 当 𝑥 = −1 时 ， 𝑓(x)min=0不满足题意 综上 𝑎 = 0 或 𝑎 = 6 [6分 ] （ 2） 由题意知 ， 3+=mn ， ∵ 0, 0mn， ∴ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 222+ = + +  + + + = +m n m n m n m n m n m n[7分 ] 即 ( )222 12m n m n+  +,[8分 ] 当且仅当 m=n=32 时取 “=” ． ∴ 2292+mn ， ∴ m2+n2的最小值为 92 ． [10分 ] 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 11 月测试 理科数学试卷（一卷） 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． z 是 121 iz i 的共轭复数，则 z 的虚部为（ ） A． 12− B． 12 C． 32− D． 32 2．全集 U R ，集合 2018{ lo g ( 1)}A x y x，集合 2{ 4 8 }B y y x x，则 U(C )AB=（ ） A． [1,2] B． [1,2) C． (1,2] D． (1,2) 3．设 p ：角  是钝角，设 q ：角  满足 2 ，则 p是 q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知等差数列 {}na 的前 n 项和为 nS ， 4 4a ， 5 15S ，则数列11nnaa的前 2018项和为（ ） A． 20182019 B． 20162018 C． 20162017 D． 20192018 5． 已知函数 ()fx是奇函数，当 0x 时， ( ) ln ( ) 1f x x x x， 则曲线 ()y f x 在 xe处的切线方程为 （ ） A． 21yx B． y x e C． 2 2 1y x e D． 1y x e 6． 在 [ 5,5] 上随机取一个实数 m，能使函数 2( ) 2 2f x x m x在 R 上有零点的概率为（ ） A． 25 B． 35 C． 15 D． 310 7． 已知 12,FF是双曲线 22:1xyE ab ( )0, 0ab＞ ＞ 的左、右焦点，点 M在 E上， MF1与 x轴垂直，21 1sin 4MF F，则 E 的离心率为（ ） A． 153 B． 32 C． 132 D． 2 8． 已知 ABC 是边长为 2a ( 0a )的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 ()PA PB PC+的最小值是（ ） A． 22a− B． 232a− C． 243a− D． 2a− 9．设 P 是椭圆 221169 25xy+=上一点， ,MN分别是两圆： 22( 12) 1xy和 22( 12) 1xy上的点，则PM PN 的最小值、最大值分别为（ ） A． 18， 24 B． 16， 22 C． 24， 28 D． 20， 26 10．已知函数32 , 0() lo g , 0xxfx xx =   ，则函数 ( ( )) 1y f f x 的零点的个数是（ ） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 11．在 ABC 中，内角 ,,ABC 的对边分别是 ,,abc，若 3sin( )32AC + + =，且 2ac ，则 ABC 周长的取值范围是（ ） A． (2,3] B． [23+ ,4) C． (4,5] D． [5,6) 12． 点 , , ,ABCD 在同一个球的球面上， 2AB BC ， 2AC ，若四面体 ABCD 体积的最大值为 43 ,则这个球的表面积为（ ） A． 12516 B． 8 C． 2516 D． 28916 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．设 ,xy满足约束条件 703 1 03 5 0xyxyxy，则 2z x y 的最小值为 ． 14． 每年的 9 月初是高校新生到校报道的时间，此时学生会将组织师兄师姐做好迎新接待工作，若某学院只有 3位师兄在迎新现场，突然来了 4 位新生 ,要求一次性派发完迎新指引工作（可以有 1 位师兄接待 2 位新生），则安排方案有 种．（用数字作答） 15． 数列 {}na 的首项 1 2a ，且 *1 3 2 ( )nna a n N． 令 3log ( 1)nnba，则 1 2 20182018b b b+ + + = ． 16．定义在 R 上的函数 ()fx的导函数为 ()fx，若对任意实数 x ，有 ( ) ( )f x f x ，且 2018()fx  为奇函数，则第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 不等式 2018( ) 0xf x e 的解集是 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题： 60 分 ． 17．（ 10分）在 ABC 中，内角 A,B,C的对边分别为 ,,abc，已知 2 2 2 2 s i n s i ns i nb c a B Ab c C+ − −= ． （ 1）求角 C的值； （ 2）若 4ab+= ，当边 c取最小值时，求 ABC 的面积． 18．（ 14分）如图，在四棱锥 S－ ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，侧棱 SA⊥ 底面 ABCD， AB垂直于 AD和 BC， M为棱 SB上的点， SA=AB=BC=2， AD=1． （ 1）若 M为棱 SB的中点，求证： AM∥ 平面 SCD； （ 2）当 SM=2MB时，求平面 AMC与平面 SAB所成的锐二面角的余弦值； （ 3）在第（ 2）问条件下，设点 N是线段 CD上的动点， MN与平面 SAB所成的角 为 θ， 求当 sin 取最大值时点 N的位置． 19． （ 10分）网约车的兴起 ,丰富了民众出行的选择 ,为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题，据某著名网约车公司 “ 滴 *打车 ” 官网显示，截止目前 ,该公司已经累计解决退伍军人转业为兼职或专职司机三百多万人次 .梁某即为此类网约车司机，据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是 20、 22、 24、 26、28、 30(km)，它们出现的概率依次是 0.1、 0.2、 0.3、 0.1、 t 、 2t ． （ 1）求这一天中梁某一次行驶路程 X的分布列，并求 X的均值和方差； （ 2）网约车计费细则如下：起步价为 5元，行驶路程不超过 3 km时，租车费为 5元，若行驶路程超过 3 km，则按每超出 1 km（不足 1 km也按 1 km计程）收费 3元计费．依据以上条件，计算梁某一天中出车一次收入的均值和方差． 20． （ 14分） 如图 ,过抛物线 2 2 ( 0)=y px p 上一点 (1,1)P ， 作两条直线分别交抛物线于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y， 若 PA 与 PB 的斜率满足 0+=PA PBkk . （ 1）证明 :直线 AB 的斜率为定值， 并求出该定值； （ 2）若直线 AB 在 y 轴上的截距 [0,1]b ，求 ABP 面积的最大值 ． 21．（ 12分）已知函数 ( )( ) 2 ln 1f x x x=+ （ 1）求函数 ()fx的单调区间 . （ 2）若斜率为 k的直线与曲线 '( )y f x= 交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y两点，其中 12xx. 求证：122xxk． 选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22． [选修 4−4： 坐标系与参数方程 ]（ 10 分 ） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 1=+=xtyt（ t为参数），以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 1C 的极坐标方程为 222 c o s 4 0 ( 0 )  − + − = a a a． （ 1）若直线 l 与圆 1C 相切，求 a 的值； （ 2）若直线 l 与曲线22 cos3 sinxCy==：（ θ为参数 ） ， 交于 A,B两点 ， 点 (2,1)C ，求 +AC BC ． 23． [选修 4−5： 不等式选讲 ]（ 10 分 ） 已知函数 ( ) 1 3= + + +f x x x a，若 ()fx的最小值为 1． （ 1）求实数 a的值； （ 2）若 0a ，且 ,mn均为正实数，且满足 2+=amn ，求 22+mn的最小值．