1、第页 12019 届浙江省温州九校高三第一次联考数学试题（解析版）选择题部分（共 40 分）选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 ， 则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解得集合 N，求出其补集，进而得到【详解】由题可得 则 故选 C.【点睛】本题考查集合的交，并，补混合运算，属基础题.2.已知双曲线 ，则双曲线 的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论【详解】由方程 表示双曲线，焦点坐标在 y 轴上，可知， 则 c2=a2+
2、b2=25，即 ，故双曲线的焦点坐标为： ，故选：C第页 2【点睛】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据 a，b，c 之间的关系是解决本题的关键3.如图，某几何体三视图（单位： ）为三个直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形，高为 5 的三棱锥，求出体积即可【详解】根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角三角形，高为 1 的三棱锥，该几何体的体积为 故选：B【点睛】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据几何体的三视图，得出几何体是什么图形，是基础题4.已知复数 满足 ，则 的共轭
3、复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出第页 3【详解】： ，（1-i）（1+i）z=（1-i）（1+2i） ，化为 2z=1+3i， 则 z 的共轭复数为 ，故选：B【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5.函数 的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】研究函数的性质，根据性质作出判断.【详解】 ，即函数为奇函数，图像关于原点对称。排除 B,当 则 排除 C,D.故选 A.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的图像，解题的关键是研究函数的性质.6.已
4、知 为一条直线， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若 则 B. 若 则C. 若 则 D. 若 则【答案】C【解析】【分析】第页 4对四个选项，分别进行判断，即可得出结论【详解】对于 A，若 m，则 m 或 m ，不正确；对于 B，设 =a，在平面 内作直线 ba，则 b，m，mb，若 m，则 m，若 m，也成立m 或 m，不正确；对于 C，若 m，利用平面与平面平行的性质，可得 m，正确对于 D，若 m，则则 m 或 m， 相交，不正确；故选：C【点睛】本题主要考查了直线，平面之间的位置关系的判断，需要学生具备空间想象力，逻辑推理能力，属于中档题7.抽奖箱中有 个形状一样，颜色
5、不一样的乒乓球（2 个红色，3 个黄色，其余为白色） ，抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖。有 90 人依次进行有放回抽奖，则这 90 人中中奖人数的期望值和方差分别是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可得中奖的概率，而中奖人数服从二项分布，由此即可得到答案.【详解】由题可得中奖概率为 ，而中奖人数服从二项分布，故这 90 人中中奖人数的期望值为方差为 故选 D.【点睛】本题考查二项分布的判别及其期望和方差的求法，属中档题.8.正四面体 ， 在平面 内，点 是线段 的中点，在该四面体绕 旋转的过程中，直线与平面 所成角不可能是（ ）A. B. C. D.
6、第页 5【答案】D【解析】【分析】将问题抽象为如下几何模型，平面 的垂线可视为圆锥的底面半径 EP，绕着圆锥的轴 EF 旋转，则可得到答案【详解】考虑相对运动，让四面体 ABCD 保持静止，平面 绕着 CD 旋转，故其垂线也绕着 CD 旋转，如下图所示,取 AD 的中点 F，连接 EF，则 则也可等价于平面 绕着 EF 旋转，在 中，易得如下图示，将问题抽象为如下几何模型，平面 的垂线可视为圆锥的底面半径 EP，绕着圆锥的轴 EF 旋转，显然 则 设 BE 与平面 所成的角为，则可得考虑四个选项，只有选 D.【点睛】本题考查最小角定理的应用，线面角的最大值即为 BE 与 CD 所成的角.，属中
7、档题.9.已知 是不共线的两个向量， 的最小值为 ，若对任意 ， 的最小值为 ,的最小值为 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设 的夹角为，则 ，则由 的最小值为 , 的最小值为 ，可得可得 结合可得到 ，由 即可得到答案.【详解】设 的夹角为，则 ，则由 的最小值为 , 的最小值为 ，可得，两式相乘可得第页 6（*）而 ，结合（*）可得 ，解得则 故选 B.【点睛】本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10.已知数列 的通项 ， ，若 ，则实数可以等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B
8、【解析】【分析】利用利用裂项相消法可得 ，求出，逐一验证即可.【详解】 当 时，此时当 时， 此时当 时， 此时当 时， 此时故选 B.【点睛】本题考查利用裂项相消法求和，属中档题.非选择题部分（共 110 分）填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分， 单空题每小题 4 分，共 36 分.第页 711.若 ，则 _, _【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】利用换底公式可求 得值，利用对数恒等式可求 的值.【详解】 则即答案为(1). 1 (2). 【点睛】本题考查换底公式和对数恒等式的应用，属基础题.12.已知点 在不等式组 ，表示的平面区域 上运动，若区域 表示一个三
9、角形，则的取值范围是_，若 则 的最大值是_.【答案】 (1). (2). -3【解析】【分析】根据已知的不等式组画出满足条件的可行域，根据图形情况讨论，求出表示的平面区域是一个三角形时 a的取值范围进而得到若 则 的最大值.【详解】 满足约束条件 的可行域如下图所示由图可知，若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是： a10.第页 8若 则由约束条件 画出可行域如下图所示，可知当目标函数经过点 A（1,2）时取最大值，最大值是 -3.【点睛】本题考查了由可行域求参数，以及线性规划的应用，属基础题.13.已知函数 ，则 的定义域为_, 的最大值为_.【答案】 (1). (2
10、). 【解析】【分析】的定义域即为使得函数有意义的 x 的取值，利用福降幂公式和辅助角公式即可求 的最大值.【详解】函数 定义域即为使得函数有意义的 x 的取值，即 ，即函数的定义域为 ；故 的最大值为 .【点睛】本题考查三角函数的的用意，以及三角函数的最值，属中档题.14.已知 ，则 =_【答案】-40【解析】【分析】由 ，即可得到答案【详解】 ，由题故 .即答案为-40.【点睛】本题考查二项展开式的应用，属中档题.15.已知抛物线 的焦点 ，过点 作直线 交抛物线于 两点，则 _.的最大值为_第页 9【答案】 (1). 1 (2). 4【解析】【分析】由题意设直线 AB 的方程以及 A、B
11、 点的坐标，由直线与抛物线方程联立消去 y 整理得关于 x 的二次方程，利用抛物线的定义可求 的值，利用三元均值不等式求出 最大值【详解】由题意知，抛物线 y2=4x 的焦点坐标为（1，0） ，设设为 A（x1，y1），B（x2，y2），AB：x=my+1,联立直线与抛物线方程可得， 有抛物线的限制可得 故 （*）由（*）可得 故 当且仅当 时取等号，故 的最大值为 4.即答案为 1,4【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦的性质，考查基本不等式，属中档题.16. 名学生参加 个兴趣小组活动，每人参加一个或两个小组，那么 个兴趣小组都恰有 人参加的不同的分组共有_种.【答案】9
12、0【解析】【分析】由题意得 4 名学生中，恰有 2 名学生参加 2 个兴趣小组， ，其余 2 名学生参加一个兴趣小组，然后分情况讨论可得参加的不同的分组的种数.【详解】由题意得 4 名学生中，恰有 2 名学生参加 2 个兴趣小组， ，其余 2 名学生参加一个兴趣小组，首先 4 名学生中抽出参加 2 个兴趣小组的学生共有 种.下面对参加兴趣小组的情况进行讨论：参加两个兴趣小组的同学参加的兴趣小组完全相同，共 种；2、参加两个兴趣小组的同学参加的兴趣小组有一个相同，共 种.第页 10故共有 种.即答案为 90.【点睛】本题考查两个计数原理，属中档题.17.若 对 恒成立，则实数 的取值范围为_【答
13、案】【解析】【分析】由已知可得 ，来约束相结合可求实数 的取值范围.【详解】，故考虑利用数形结合解题，其几何意义为顶点为 的 字形在 时 始终夹在和 之间，如图 1 和图 2 所示，为两种临界状态.首先就是图 1 的临界状态，此时 字形右边边界 与 相切，联立直线方程和抛物线方程可得 ，此时 而图 2 的临界状态显然 综上实数的取值范围为 .即答案为 .【点睛】本题考查的绝对值不等式的意义，考查了数形结合思想，属难题.第页 11解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在 中，角 所对的边分别是 ， 为其面积，若 .求角 的大小；（2）设 的平分线
14、 交 于 ， .求 的值【答案】 （I） （II）【解析】【分析】（1）由 根据三角形面积公式及余弦定理可得 ，得到 ，由此可求角的大小；（2）在 中,由正弦定理可得 ，利用二倍角公式可得 ，求出 ，利用 即可得到结果.【详解】 （1）由 得 得 （2）在 中,由正弦定理得所以所以 所以 【点睛】本题考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属中档题.19.如图，将矩形 沿 折成二面角第页 12，其中 为 的中点，已知 . ， 为 的中点。（1）求证 平面 ；（2）求 与平面 所成角的正弦值【答案】 （I）见解析（2）【解析】【分析】（1）取 的中点 ，连结 ,通过专门四边形 是平
15、行四边形，可证 /平面 （2）如图建立空间直角坐标系，则 即可得到 与平面 所成角的正弦值.【详解】 （1）取 的中点 ，连结 ,易得 所以四边形 是平行四边形，因此 又 平面 ，所以 /平面 ，求出相关点的坐标，得到 以及平面 的法向量，（2）如图建立空间直角坐标系，则设 由第页 13得 ，所以 , , ，, ，设平面 的法向量 ，由 ，得 ，所以取设 与平面 所成角为 ，则 【点睛】本题考查线面平行的证明，以及利用空间向量求线面角，属中档题.20.已知数列 中， ， （1）令 ，求证：数列 是等比数列；（2）令 ，当 取得最大值时，求 的值.【答案】 （I）见解析（2） 最大，即【解析】【
16、分析】（1）由题可得 两式相减，得 ，即 ，求出 ，即可得证；第页 14（2）由（1）可知， 即 ，通过累加可得则 ，而 ，令 ，讨论 的符号可得 的最大值，进而得到 .【详解】 （1）两式相减，得 即： 数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列（2）由（1）可知， 即 也满足上式令 ，则 ，第页 15 最大，即【点睛】本题考查等比关系的证明，以及数列的综合应用，属中档题.21.已知离心率为 的椭圆 过点 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于 两点.（1）求椭圆 方程；（2）求证：直线 过定点，并求出此定点的坐标.【答案】 （I） （II）【解析】【分析】（1）由题意知， ，由此能求出椭圆
17、C 的标准方程（2）易知直线 的斜率是存在的，故设直线 方程为 ，由方程组联立方程组 ，得，利用题设条件推导出 ，从而 ，因直线AB 不过点 ，知 ，故 ，由此证明直线 过定点 【详解】 （1）依题意：有解得 ，所以椭圆 的方程为（2）易知直线 的斜率是存在的，故设直线 方程为由 得：第页 16设 ，则设 得即得代入可得：即即即因直线 AB 不过点 ，知 ，故所以直线 过定点【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过定点，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答22.已知函数 .若 在
18、处导数相等，证明： ；若对于任意 ，直线 与曲线 都有唯一公共点，求实数 的取值范围.【答案】 （I）见解析（II ）【解析】【分析】（1）由题 x0， ，由 f（x）在 x=x1，x2（x1x2）处导数相等，得到 ，得，由韦达定理得 ，由基本不等式得第页 17，得 ，由题意得 ，令 ,则，令 ，利用导数性质能证明 （2）由 得 ，令 ，利用反证法可证明证明 恒成立。由对任意 ， 只有一个解，得 为 上的递增函数， 得，令 ，由此可求 的取值范围【详解】 （I）令 ，得 ，由韦达定理得即 ，得令 ,则 ，令 ，则 ，得（II）由 得令 ，则 ， ，下面先证明 恒成立。第页 18若存在 ，使得 ， ， ，且当自变量 充分大时， ，所以存在 ， ，使得 ， ，取 ，则 与 至少有两个交点，矛盾。由对任意 ， 只有一个解，得 为 上的递增函数，得 ，令 ，则 ，得【点睛】本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力属难题
