2018年广东省华南师范大学附属中学高三综合测试（三）数学（文）试题 PDF版.zip

1 月 考 3 文 数 答 案 一 、 A A B D C D A B B B C C 1 2 . 【 解 析 】 依 题 意 ， f ( x ) = ln ( x + 1 ) + m ， x ≥ 0 a x + m ， x a + 2 － 2  － 4 0 ① . 设 D ( x 1 , y 1 ) , E ( x 2 , y 2 ) ， 则 y 1 + y 2 = 4 m , y 1 y 2 = － 4 t . ∵ M D → · M E → = ( x 1 － 4 , y 1 － 4 ) · ( x 2 － 4 , y 2 － 4 ) = x 1 x 2 － 4 ( x 1 + x 2 ) + 1 6 + y 1 y 2 － 4 ( y 1 + y 2 ) + 1 6 = y 1 2 4 · y 2 2 4 － 4 ( y 1 2 4 + y 2 2 4 ) + 1 6 + y 1 y 2 － 4 ( y 1 + y 2 ) + 1 6 = ( y 1 y 2 ) 2 1 6 － ( y 1 + y 2 ) 2 + 3 y 1 y 2 － 4 ( y 1 + y 2 ) + 3 2 = t 2 － 1 6 m 2 － 1 2 t + 3 2 － 1 6 m = 0 即 t 2 － 1 2 t + 3 2 = 1 6 m 2 + 1 6 m  ( t － 6 ) 2 = 4 ( 2 m + 1 ) 2 ∴ t － 6 = ± 2 ( 2 m + 1 ) ， 即 t = 4 m + 8 或 t = － 4 m + 4 ， 代 人 ① 式 检 验 均 满 足 Δ 0 ， ∴ 直 线 D E 的 方 程 为 ： x = m y + 4 m + 8 = m ( y + 4 ) + 8 或 x = m ( y － 4 ) + 4 . ∴ 直 线 过 定 点 ( 8 , － 4 ) ( 定 点 ( 4 , 4 ) 不 满 足 题 意 ， 故 舍 去 ) . 2 1 . 【 解 析 】 ( 1 ) 由 题 得 g ( x ) = e x － 2 ( a － 1 ) x － b ， 所 以 g ' ( x ) = e x － 2 ( a － 1 ) . 当 a ≤ 3 2 时 ， g ' ( x ) ≥ 0 ， 所 以 g ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 单 调 递 增 ； 当 a ≥ e 2 + 1 时 ， g ' ( x ) ≤ 0 ， 所 以 g ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 单 调 递 减 ； 当 3 2 a e 2 + 1 时 ， 令 g ' ( x ) = 0 ， 得 x = ln ( 2 a － 2 ) ∈ ( 0 , 1 ) ， 所 以 函 数 g ( x ) 在 区 间 [ 0 ,ln ( 2 a － 2 ) ] 上 单 调 递 减 ， 在 区 间 ( ln ( 2 a － 2 ) , 1 ] 上 单 调 递 增 . 综 上 所 述 ， 当 a ≤ 3 2 时 ， g ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 单 调 递 增 ； 当 3 2 a e 2 + 1 时 ， 函 数 g ( x ) 在 区 间 [ 0 ,ln ( 2 a － 2 ) ] 上 单 调 递 减 ， 在 区 间 ( ln ( 2 a － 2 ) , 1 ] 上 单 调 递 增 ； 当 a ≥ e 2 + 1 时 ， 所 以 g ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 单 调 递 减 .3 ( 2 ) h ( x ) = e x － x f ( x 2 ) － 1 = e x － ( a － 1 ) x 2 － b x － 1 ， h ' ( x ) = e x － 2 ( a － 1 ) x － b = g ( x ) ， 设 x 0 为 h ( x ) 在 区 间 ( 0 , 1 ) 内 的 一 个 零 点 ， 则 由 h ( 0 ) = h ( x 0 ) = 0 ， 可 知 h ( x ) 在 区 间 ( 0 , x 0 ) 上 不 单 调 ， 则 g ( x ) 在 区 间 ( 0 , x 0 ) 内 存 在 零 点 x 1 ， 同 理 ， g ( x ) 在 区 间 ( x 0 , 1 ) 内 存 在 零 点 x 2 ， 所 以 g ( x ) 在 区 间 ( 0 , 1 ) 内 至 少 有 两 个 零 点 . 由 ( 1 ) 知 ， 当 a ≤ 3 2 时 ， g ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 单 调 递 增 ， 故 g ( x ) 在 ( 0 , 1 ) 内 至 多 有 一 个 零 点 ， 不 合 题 意 . 当 a ≥ e 2 + 1 时 ， g ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 单 调 递 减 ， 故 g ( x ) 在 ( 0 , 1 ) 内 至 多 有 一 个 零 点 ， 不 合 题 意 ， ∴ 3 20 ， g ( 1 ) = e － 2 a + 2 － b 0 由 h ( 1 ) = 0 ， 得 a + b = e ， g ( 1 2 ) = e + 1 － e 0 ， g ( 1 ) = 2 － a 0 ， 解 得 e － 1 0 )   2 －  － 2 = 0   = 2 故 射 线 O T 与 曲 线 C 的 交 点 A 的 极 坐 标 为 ( 2 ,  3 ) ； 由  cos (  －  6 ) = 3 3  =  3 (  0 )   = 6 故 射 线 O T 与 直 线 l 的 交 点 B 的 极 坐 标 为 ( 6 ,  3 ) ， ∴ | A B | = |  B －  A | = | 6 － 2 | = 4 2 3 . 【 解 析 】 ( 1 ) ∵ f ( x ) = | x + 3 | + | x － 2 | ≥ | ( x + 3 ) － ( x － 2 ) | = 5 且 ( x + 3 ) ( x － 2 ) ≤ 0 ， 即 － 3 ≤ x ≤ 2 时 等 号 成 立 ∴ f ( x )min = 5 ∀ x ∈R ， f ( x ) ≥ 6 a － a 2 恒 成 立  f ( x )min ≥ 6 a － a 2 ∴ 5 ≥ 6 a － a 2  a 2 － 6 a + 5 ≥ 0  a ≤ 1 或 a ≥ 5 ∴ a 的 取 值 范 围 是 ( －  , 1 ] ∪ [ 5 , +  ) ( 2 ) f ( x ) = | x + 3 | + | x － 2 | = 2 x + 1 ， x ≥ 2 5 ， － 3 x 2 － 2 x － 1 ， x ≤ － 3 当 f ( x ) = 9 时 ， x = － 5 或 x = 4 . 画 出 图 象 可 得 ， 围 成 的 封 闭 图 形 为 等 腰 梯 形 ， 上 底 长 为 9 ， 下 底 长 为 5 ， 高 为 4 ， 所 以 面 积 为 S = 1 2 ( 9 + 5 ) × 4 = 2 8 .1 华 南 师 大 附 中 2 0 1 8 届 高 三 综 合 测 试 （ 三 ） 数 学 ( 文 ) 2 0 1 7 . 1 2 本 试 卷 分 选 择 题 和 非 选 择 题 两 部 分 ， 共 4 页 ， 满 分 1 5 0 分 ， 考 试 用 时 1 2 0 分 钟 ． 注 意 事 项 ： 1 ． 答 题 前 ， 考 生 务 必 用 黑 色 笔 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 将 自 己 的 姓 名 、 考 号 填 写 在 答 题 卷 上 。 2 ． 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2 B 铅 笔 把 答 题 卷 上 对 应 题 目 选 项 的 答 案 信 息 点 涂 黑 ； 如 需 改 动 ， 用 橡 皮 擦 干 净 后 ， 再 选 涂 其 他 答 案 ， 答 案 不 能 答 在 试 卷 上 。 非 选 择 题 必 须 用 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 作 答 ， 答 案 必 须 写 在 答 题 卷 各 题 目 指 定 区 域 内 相 应 位 置 上 ； 如 需 改 动 ， 先 划 掉 原 来 的 答 案 ， 然 后 再 写 上 新 的 答 案 ； 不 准 使 用 铅 笔 和 涂 改 液 。 不 按 以 上 要 求 作 答 的 答 案 无 效 。 3 ． 作 答 选 做 题 时 ， 请 先 用 2 B 铅 笔 填 涂 选 做 题 的 题 组 号 对 应 的 信 息 点 ， 再 作 答 。 漏 涂 、 错 涂 、 多 涂 的 ， 答 案 无 效 。 第 Ⅰ 卷 （ 选 择 题 部 分 ， 共 6 0 分 ） 一 、 选 择 题 ： ( 本 大 题 共 1 2 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ) 1. 若 集 合 B = { x | x ≥ 0 } ， 且 A ∩ B = A ， 则集 合 A 可 能是 ( A ) { 1 , 2} ( B ) { x | x ≤ 1} ( C ) { － 1,0,1} ( D ) R 2. 下 列函 数 中 ，既是 奇 函数，又 在 定 义域 上单 调递 增的 是 ( A ) y = x 3 ( B ) y = 2 x ( C ) y = x － 1 x ( D ) y = sin 2 x 3. 等 差数 列 { a n } 满足 a 1 = 1 ， a 2 + a 3 = 3 ，则 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 = ( A ) 7 ( B ) 14 ( C ) 21 ( D ) 28 4. 已 知向 量 a = ( 2 ,1) ，b = ( m , － 1) ， 且 a ⊥ (a －b ) ，则 实数 m = ( A ) 2 ( B ) 1 ( C ) 4 ( D ) 3 5. 实 数 x ， y 满足 x － 2 y + 2 ≥ 0 x + y ≤ 1 y + 1 ≥ 0 ， 且 z = 2 x － y ， 则 z 的最 大值 为 ( A ) － 7 ( B ) － 1 ( C ) 5 ( D ) 7 6. 在 正 方体 A B C D － A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， E 是 线 段 B C 上 的动 点 ， F 是 线 段 C D 1 上 的 动点 ， 且 E ， F 不 重 合， 则 直 线 A B 1 与 直线 E F 的 位 置关 系是 ( A ) 相 交且垂直 ( B ) 共 面 ( C ) 平 行 ( D ) 异 面且 垂直 7. 有 6 名 学 生 参 加 数 学 竞 赛 选 拔 赛 ， 他 们 的 编 号 分 别 是 1 — 6 号 ， 得 第 一 名 者 将 参 加 全 国数学 竞赛 . 今 有 甲 ， 乙 ， 丙 ，丁 四 位 老师 在 猜 谁 将得 第 一名 ， 甲 猜 ： 4 号， 5 号， 6 号都 不可 能 ； 乙 猜： 3 号 不可 能； 丙猜 ：不 是 1 号 就是 2 号 ； 丁 猜 ： 是 4 号 ， 5 号 ， 6 号 中 的 某 一个 . 以 上只 有一 个 人猜 对 ， 则他 应该 是 ( A ) 甲 ( B ) 乙 ( C ) 丙 ( D ) 丁 8. 过 点 A ( a ,0 ) ( a 0) ， 且倾斜 角 为 3 0 ° 的 直线 与圆 O ： x 2 + y 2 = r 2 （ r 0 ） 相 切 于点 B ，且 | A B | = 3 ， 则 △ O A B 的 面积 是 ( A ) 1 2 ( B ) 3 2 ( C ) 1 ( D ) 2 2 9. 已 知流程图 如图所示 ， 该程 序运行 后 ， 若输出的 a 值为 1 6 ， 则循环体 的判 断 框内 ① 处应填 开 始 i = 1 , a = 1 i ≤ ① ? 是 否 a = 2 a 输 出 a i = i + 1 结 束 ( A ) 2 ( B ) 3 ( C ) 4 ( D ) 5 10. 函 数 f ( x ) = ( 1 －cos 2 x ) cos 2 x ， x ∈R ， 设 f ( x ) 的 最 大 值 是 A ， 最 小 正 周 期 为 T ，则 f ( A T ) 的值等于 ( A ) 1 4 ( B ) 1 2 ( C ) 1 ( D ) 0 1 1 . 等 比数 列 { a n } 的 前 n 项 和 S n = 1 2 · 3 n + 1 + c （ c 为 常 数 ） ， 若  a n ≤ 3 + S 2 n 恒 成立，则 实数  的最大值 是 ( A ) 3 ( B ) 4 ( C ) 5 ( D ) 6 12. 已 知函 数 f ( x ) = ln ( x + 1) + m ， x ≥ 0 ax － b + 1 ， x 0 （ m － 1 ） ， 对于任 意 s ∈R ， 且 s ≠ 0 ， 均存 在唯一实 数 t ， 使得 f ( s ) = f ( t ) ， 且 s ≠ t ， 若关 于 x 的 方程 | f ( x ) | = f ( m 2 ) 有 4 个 不 相等 的实数根 ，则 a 的 取值范 围是 ( A ) ( － 2, － 1) ( B ) ( － 1 , 0 ) ( C ) ( － 4, － 2) ( D ) ( － 4 , － 1 ) ∪ ( － 1 , 0 ) 第 Ⅱ 卷 （ 非 选 择 题 部 分 ， 共 9 0 分 ） 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 . 13. 已 知 i 为虚 数单位， 复数 z 满 足 i z + 2 = z － 2i ，则 | z | = ** * . 14. 已 知 如图所 示 的矩 形， 长 为 12 ，宽 为 5 ，在 矩形内随 机地 投 掷 1 000 颗黄 豆 ， 数 得落在阴 影部分 的黄豆为 6 00 颗 ， 则 可 以估计阴 影部分的 面积约为 * ** . 15. 某 组合 体的三 视 图如 图所 示， 其中 正 视图和 侧 视图都 由正 方 形和等腰 直角 三 角形组成 ， 正方 形的边长 为 1 ， 则该多面 体 的体积是 * ** . 16. 将 正 整 数 1 2 分 解 成 两 个 正 整 数 的 乘 积 有 1 × 12 ， 2 × 6 ， 3 × 4 三 种 ， 其中 3 × 4 是这 三种分解 中两数差 的绝对 值最小 的 ，我们称 3 × 4 为 12 的最佳 分解 . 当 p × q （ p ≤ q 且 p 、 q ∈N * ） 是正整数 n 的最佳分 解时 ， 我们 定义函数 f ( n ) = q － p ， 例如 f ( 12 ) = 4 － 3 = 1 ， 则数列 { f ( 3 n ) } 的 前 10 0 项和 为 ** * . 正 视 图 侧 视 图 俯 视 图3 三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 和 演 算 步 骤. 17. ( 本 小题满分 12 分 ) 在 △ A B C 中，角 A 、 B 、 C 所 对 边 分别为 a 、 b 、 c ， 满足 ( 2b － c ) cos A = a cos C ( 1 ) 求 角 A ； ( 2 ) 若 a = 13 ， b + c = 5 ，求 △ A B C 的 面积 . 18. ( 本 小题满分 12 分 ) 《 汉字 听写大会 》不断创收视新 高 ，为了 避免 “ 书 写危 机 ” 弘 扬传 统文 化 ， 某 市 大 约 1 0 万 名 市 民 进 行 了 汉 字 听 写 测 试 . 现 从 某 社 区 居 民 中 随 机 抽 取 5 0 名 市 民 的 听写 测试情况 ， 发现被测 试市 民 正 确书 写汉 字的 个数 全 部 在 16 0 到 18 4 之 间 ， 将 测 试结 果按如下 方 式 分成六组 ： 第 一 组 [ 160,16 4) ， 第二 组 [ 1 64,168 ) ， … ， 第 六 组 [ 1 8 0 ,1 84 ) ，如 图是按上述分组 方 法得到 的频 率分 布直 方图 . ( 1 ) 若 电视 台记者要 从抽取的市民中 选 1 人进 行采 访 ， 求 被 采访 人恰 好在 第 1 组 或 第 4 组 的概率； ( 2 ) 已 知 第 5 ,6 两 组 市 民 中 有 3 名 女 性 ， 组 织 方 要 从 第 5,6 两 组 中 随 机 抽 取 2 名 市 民 组成 弘扬传统 文化宣传队， 求 至 少 有 1 名女 性市 民的 概率 . 19. ( 本 小题满分 12 分 ) 如 图 ， A B 为圆 O 的 直径 ， 点 E 、 F 在圆 O 上 ， A B ∥ E F ， 矩 形 A B C D 所 在 平 面和 圆 O 所在的平面 互相垂直 ， 已知 A B = 2 ， E F = 1 ( 1 ) 求 证： 平面 D A F ⊥ 平 面 C B F ( 2 ) 设 几何 体 F － A B C D 、 F － B C E 的 体积 分 别 为 V 1 、 V 2 ，求 V 1 : V 2 的值 . A B D C F O E 4 20. ( 本 小题满 分 1 2 分 ) 已 知抛物线 C 的顶 点在原 点 ， 焦点 在 x 轴上 ， 且抛物线 上有一点 P ( 4, m ) 到 焦 点的 距离为 5. ( 1 ) 求 该抛物线 C 的方 程 ； ( 2 ) 已 知抛物 线 上一点 M ( t ,4) ， 过 点 M 作抛物 线 的两 条弦 M D 和 M E ， 且 M D ⊥ M E ，判断直 线 D E 是否过定 点 ? 并 说明理由 . 21. ( 本 小题满 分 1 2 分 ) 已 知函 数 f ( x ) = 2 ( a － 1 ) x + b . ( 1) 讨 论函数 g ( x ) = e x － f ( x ) 在 区 间 [ 0,1] 上 的单 调性； ( 2) 已 知函 数 h ( x ) = e x － x f ( x 2 ) － 1 ， 若 h ( 1 ) = 0 ， 且函数 h ( x ) 在 区 间 ( 0,1) 内 有 零点，求 a 的 取值范 围 . 请 考 生 在 2 2 、 2 3 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 . 选 修 4 － 4 ： 坐 标 系 与 参 数 方 程 22. ( 本 小题满 分 1 0 分 ) 已 知 曲 线 C 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 下 的 参 数 方 程 为 x = 1 + 3 cos  y = 3 sin  (  为参数 ) ， 以 坐标原点 O 为极 点 ， 以 x 轴正半轴 为极轴 ， 建 立极坐标 系 . ( 1 ) 求 曲线 C 的 普通方程 及极坐标 方程； ( 2 ) 直 线 l 的极 坐 标方 程是  cos (  －  6 ) = 3 3 ，射 线 O T ：  =  3 (  0) 与曲 线 C 交于点 A 与直线 l 交于 点 B ，求线 段 A B 的长 . 选 修 4 － 5 ： 不 等 式 选 讲 23. ( 本 小题满 分 1 0 分 ) 已 知函数 f ( x ) = | x + 3 | + | x － 2 | . ( 1 ) 若 ∀ x ∈R ， f ( x ) ≥ 6 a － a 2 恒 成立，求 实数 a 的取值 范围； ( 2 ) 求 函数 y = f ( x ) 的图 象与直线 y = 9 围成 的封闭图 形的面积 .