1、明目标、知重点 1.理解复数代数形式的四则运算法则.2.能运用运算法则进行复数的四则运算1复数加法与减法的运算法则(1)设 z1ab i，z 2c di 是任意两个复数，则 z1z 2(ac) (bd)i，z 1z 2(ac)(bd)i .(2)对任意 z1， z2，z 3C，有 z1z 2z 2z 1，(z1z 2)z 3z 1(z 2z 3)2复数的乘法法则设 z1abi，z 2c di(a，b，c，dR)，则 z1z2(abi)( cdi)(ac bd)(adbc)i.3复数乘法的运算律对任意复数 z1、z 2、z 3C，有交换律 z1z2z 2z1结合律 (z1z2)z3z 1(z2z
2、3)乘法对加法的分配律 z1(z2z 3)z 1z2z 1z34.共轭复数把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数，复数 zabi 的共轭复数记作 ，即 abi.z z5复数的除法法则设 z1abi，z 2c di(cdi0)，则 i.z1z2 a bic di ac bdc2 d2 bc adc2 d2情境导学我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？探究点一 复数加减法的运算思考 1 我们规定复数的加法法则如下：设 z1abi，z 2cdi 是任意两个复数，那么(abi)(cdi)( ac )(bd)i.那么两个
3、复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答 仍然是个复数，且是一个确定的复数思考 2 复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答 实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项思考 3 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明答 满足，对任意的 z1，z 2，z 3C，有交换律：z 1z 2z 2z 1.结合律：(z 1z 2)z 3z 1(z 2z 3)证明：设 z1abi，z 2c di，z 1z 2( ac )(bd)i，z 2z 1( ca)(db)i，显然，z 1z 2z 2z 1，同理可得( z1z 2)z 3z 1(z 2z 3
4、)思考 4 类比复数的加法法则，试着给出复数的减法法则答 (abi) (c di)( ac )(bd)i.思考 5 若复数 z1，z 2 满足 z1z 20，能否认为 z1z2?答 不能，如 2ii0，但 2i 与 i 不能比较大小例 1 计算：(1)(56i)(2i)(3 4i)；(2)1(ii 2)(12i)( 12i)解 (1)原式(523)( 614)i11i.(2)原式1(i1)(12i)(12i)(1111)(1 22)i2i.反思与感悟 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把 i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项跟踪训练 1 计算：(
5、1)(24i) (34i)；(2)(3 4i)(2i)(1 5i)解 (1)原式(23)(44)i5.(2)原式(3 21)(4 15)i22i.探究点二 复数乘除法的运算思考 1 怎样进行复数的乘法？答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的 i2 换成1，并且把实部与虚部分别合并即可思考 2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2 换成1.例 2 计算：(1)(12i)(3 4i)(2i)；(2)(34i)(34i)；(3)(1i) 2.解 (1)(1 2i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i
6、；(2)(34i)(34i)3 2(4i) 29(16) 25；(3)(1i) 212ii 22i.反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等跟踪训练 2 计算：(1)(2i)(2i)；(2)(12i) 2.解 (1)(2 i)(2i)4i 24(1) 5；(2)(12i) 214i(2i) 214i 4i 234i.思考 3 如何理解复数的除法运算法则？答 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以 i)例 3 计算：(1)(12i)(3 4i)；
7、(2) 6 .(1 i1 i) 2 3i3 2i解 (1)(1 2i)(34i)1 2i3 4i 1 2i3 4i3 4i3 4i 5 10i25 i.15 25(2)原式 61 i22 2 3i 3 2i 32 22i 6 1i.6 2i 3i 65反思感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数跟踪训练 3 计算：(1) ；(2)7 i3 4i 1 i2 i i解 (1) 1i.7 i3 4i 7 i3 4i3 4i3 4i 25 25i25(2) 13i. 1 i2 i i 3 i i 3 ii ii探究点三 共轭复数及其应用思考 1 像 34i 和 34i 这样的两个复数我们称为互
8、为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？答 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数通常记复数 z 的共轭复数为 .虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数z思考 2 复数 abi 的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？答 复数 abi 的共轭复数可表示为 abi ，由于 (abi)( abi)a 2b 2 R，所以两个共轭复数之积为实数思考 3 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称(2)实数的共轭复数是它本身，即 z z R ，利用这个性质可证明一个复数为实数z(3)若 z 0 且 z 0
9、，则 z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数z思考 4 z 与|z| 2 和| |2 有什么关系？z z答 z |z| 2| |2.z z例 4 已知复数 z 满足| z|1，且(34i)z 是纯虚数，求 z 的共轭复数 .z解 设 zabi(a，bR)，则 abi 且|z| 1，即 a2b 21.z a2 b2因为(34i) z(34i)( abi)(3 a4b)(3 b4a)i，而(34i)z 是纯虚数，所以 3a4b0，且 3b4a0.由联立，解得Error!或Error!所以 i，或 i.z45 35 z 45 35反思与感悟 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，
10、化解了问题的难点跟踪训练 4 已知复数 z 满足：z 2iz86i ，求复数 z 的实部与虚部的和z解 设 zabi(a，bR)，则 z a 2b 2，za 2b 22i(abi)86i，即 a2b 22b2ai86i，Error!，解得Error!，ab4，复数 z 的实部与虚部的和是 4.1复数 z12 i，z 2 2i，则 z1z 2_.12 12答案 i52 52解析 z 1z 2(2 )( 2)i i.12 12 52 522若 z32i4i，则 z_.答案 13i解析 z4i(32i)13i.3复数 z _.i 21 2i答案 i解析 i.i 21 2i i 21 2i1 2i1
11、2i 5i54已知复数 z1ai(aR， i 是虚数单位)， i，则 a_.zz 35 45答案 2解析 由题意可知： 1 ai1 ai 1 ai21 ai1 ai 1 2ai a21 a2 i i，1 a21 a2 2a1 a2 35 45因此 ，1 a21 a2 35化简得 5a253a 23，a 24，则 a2，由 可知 a0，2a1 a2 45仅有 a2 满足，故 a2.呈重点、现规律1复数的四则运算(1)复数的加减法和乘法类似于多项式的运算，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，
12、化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数 zabi(a，bR) ，利用复数相等的充要条件转化.一、基础过关1如果一个复数与它的模的和为 5 i，那么这个复数是_3答案 i115 3解析 设这个复数为 xy i(x，yR) ，xyi 5 i，x2 y2 3Error!，Error!，xyi i.115 32已知 z 是纯虚数， 是实数，那么 z_.z 21 i答案 2i解析 设 zbi(bR，b0)，则 z 21 i bi 21 i bi 21 i1 i1 i i 是实数，2 b
13、b 2i2 2 b2 b 22所以 b20，b2，所以 z2i.3. 的值为_5 i1 i答案 23i486i 的平方根是_ 答案 (3i)解析 方法一 设 86i 的平方根是 xyi (x、y R )，则(xyi) 286i，即 x2y 22xyi 86i.由复数相等，得Error!Error!或Error!方法二 86i96ii 2(3i) 2，86i 的平方根是(3i) 5已知复数 z12i，z 21 i ，则复数 z1z2 的虚部是_答案 1解析 z 1z2(2i)(1i)3i，故虚部为1.6计算：(1)( 7i5)(98i)(32i)；(2)( i)(2i)( i)；13 12 43
14、 32(3) .2 2i12 1 3i9 23 i1001 23i100解 (1)( 7i5)(98i)(32i)7i598i32i(593) ( 782)i1i.(2)( i)(2i)( i)13 12 43 32 i2i i13 12 43 32( 2 )( 1 )i1i.13 43 12 32(3) 2 2i12 1 3i9 23 i1001 23i100 2121 i1229( 12 32i)9 i 23100 ii 23100 2122i629( 12 32i)33 i 23100 i100i 23100 2326i613 1i1002 91511.7.设 mR，复数 z1 (m 1
15、5)i，z 22m( m3)i，若 z1z 2 是虚数，求 m 的取m2 mm 2值范围解 z 1 (m15)i，z 22m (m3)i，m2 mm 2z 1z 2 (m15)m (m3) i(m2 mm 2 2) (m 22m15)i.m2 m 4m 2z 1z 2 为虚数，m 22m150 且 m2，解得 m5，m3 且 m2( mR )二、能力提升8复数 的虚部是_2i 1 3i答案 12解析 原式 i，2i 1 3i1 3 23 2i4 32 12虚部为 .129设复数 z 满足(1i)z2i，则 z_.答案 1i解析 由已知得 z 1i.2i1 i 2i1 i1 i1 i10若复数
16、z 满足 z(1i)1 i (i 是虚数单位)，则其共轭复数 _.z答案 i解析 z i，1 i1 i 1 i21 i1 i 2i2则 i.z11已知虚数 z 满足| z|1，z 22z 0，求 z.1z解 设 zxyi(x ，yR 且 y0) ，所以 x2y 21，则 z22z (x yi) 22(xyi)1z 1x yi(x 2 y23x)y(2 x1)i.因为 z22z 0 且 y0，1z所以Error!又 x2y 21，解得Error!故 z i.12 3212已知复数 z，满足 z2512i ，求 .1z解 设 zxyi(x ，yR)，则 z2x 2y 22xyi.又 z2512i，
17、所以 x2y 22xyi512i.所以Error!解得Error!或Error!所以 z32i 或 z32i.所以 i 或 i.1z 13 2i 313 213 1z 1 3 2i 313 213 i 或 i.1z 313 213 1z 313 213三、探究与拓展13.已知 1i 是方程 x2bxc0 的一个根(b、c 为实数)(1)求 b，c 的值；(2)试说明 1i 也是方程的根吗？解 (1)因为 1i 是方程 x2bx c0 的根，(1i) 2b(1i)c 0，即(bc )(2b)i0.Error!，得Error!.b、c 的值为 b2，c 2.(2)方程为 x22x20.把 1i 代入方程左边得(1i) 22(1i)20，显然方程成立，1i 也是方程的一个根
