1、2016-2017 学年上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、卢高、东昌等七校联考高三（上）12 月月考数学试卷一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律不得分.1函数 的最小正周期 T= 2函数 的反函数是 3计算： = 4已知 a0 且 b0，函数 g（x ）=2 x，且 g（a）g（b）=2 ，则 ab 的最大值是 5方程 lg（2x+1）+lgx=1 的解集为 6在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a=1，b= ， ，则 B= 7设 x0 为函数 f（x）=2 x+
2、x2 的零点，且 x0（m，n） ，其中 m，n 为相邻的整数，则 m+n= 8定义在 R 上的函数 y=f（x）满足 f（x）f（x +5）=3，f （1）=2，则 f 的等比数列a n的前n 项和为 Sn若 S2=3a2+2，S 4=3a4+2，则 q= 11如图，在ABC 中，已知 AB=4，AC=6 ，BAC=60，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且，点 F 为 DE 中点，则 的值为 12若不等式|x+a|2 在 x1，2时恒成立，则实数 a 的取值范围是 13设集合 A=a1，a 2，a 3，a 4，若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B=1，3，5，8，则集合
3、A= 14把自然数按如图所示排列起来，从上往下依次为第一行、第二行、第三行，中间用虚线围起来的一列数，从上往下依次为 1、5、13、25、，按这样的顺序，排在第 30 个的数是 二.选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律不得分.15如果 ab0，那么下列不等式成立的是（ ）A Babb 2 C ab a2 D16已知平面直角坐标系内的两个向量 =（1，2） ， =（m，3m 2） ，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成 = + （ ， 为实数） ，则 m 的取值范围是（ ）A （
4、，2 ） B （2，+ ） C （ ，+） D （，2）（2，+）17下列说法正确的是（ ）A命题“若 x2=1，x=1”的否命题是“若 x2=1，则 x1”B “x=1”是“x 2x2=0”的必要不充分条件C命题“若 x=y，则 sinx=siny”的逆否命题是真命题D “tanx=1”是“x= ”的充分不必要条件18已知函数 f（x ）= ，x 2，4对于满足 2x 1x 24 的任意 x1，x 2，给出下列结论：x 1f（x 2）x 2f（x 1）x 2f（x 1）x 1f（x 2）（x 2x1）f（x 2）f（x 1）0（x 2x1）f（x 2）f（x 1）0其中正确的是（ ）A B
5、C D三.解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19已知 （1） ，求（2）若 与 的夹角为 60，求 |；（3）若 与 垂直，求 与 的夹角20某电器专卖店销售某种型号的空调，记第 n 天（1n30，n N+）的日销售量为 f（n ）（单位；台） 函数 f（n）图象中的点分别在两条直线上，如图，该两直线交点的横坐标为m（m N+） ，已知 1nm 时，函数 f（n ）=32 n（1）当 mn30 时，求函数 f（n ）的解析式；（2）求 m 的值及该店前 m 天此型号空调的销售总量；（3）按照经验判断，当该店此型号空调的
6、销售总量达到或超过 570 台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时，才可被认为开始旺销？21如图，已知单位圆上有四点 E（1，0） ，A （cos，sin） ，B（cos2，sin2） ，C（ cos3，sin3） （0 ） ，分别设 SOAC ，S ABC 的面积为 S1 和 S2（1）用 sin、cos 表示 S1 和 S2；（2）求 + 的最大值及取最大值时 的值22已知 a，b 为实数，函数 f（x）=x 2+ax+1，且函数 y=f（x+1）是偶函数，函数 g（x）=bf（f （x+1） ）+（3b1）f （x+1）+2 在区间（，2上的减函数
7、，且在区间（ 2，0）上是增函数（1）求函数 f（x）的解析式；（2）求实数 b 的值；（3）设 h（x）=f（x+1） 2qx+1+2q，问是否存在实数 q，使得 h（x ）在区间0，2上有最小值为2？若存在，求出 q 的值；若不存在，说明理由23已知等差数列a n的首项为 c，公差为 d，等比数列 bn的首项为 d，公比为 c，其中c，d Z，且 a1b 1a 2b2a 3（1）求证：0cd，并由 b2a 3 推导 c 的值；（2）若数列a n共有 3n 项，前 n 项的和为 A，其后的 n 项的和为 B，再其后的 n 项的和为C，求 的比值（3）若数列b n的前 n 项，前 2n 项、前
8、 3n 项的和分别为 D，G，H，试用含字母 D，G 的式子来表示 H（即 H=f（D ，G ） ，且不含字母 d）2016-2017 学年上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、卢高、东昌等七校联考高三（上）12 月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律不得分.1函数 的最小正周期 T= 2 【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】求三角函数的周期主要是用公式 T= ，由函数的解析式读出 的值，代入公式即可求出周期【解答】解：由题意函数 f（x ）=sin（x+1）
9、，所以它的最小正周期是 T= = =2故答案为：22函数 的反函数是 f 1（x）=x 2（x 0） 【考点】反函数【分析】令 y= ，则 x=y2（y 0） ，x，y 互换，可得函数 的反函数【解答】解：令 y= ，则 x=y2（y 0） ，函数 的反函数是 f1（x）=x 2（x 0） ，故答案为：f 1（x）=x 2（x0） 3计算： = 【考点】极限及其运算【分析】对分式同除以 n2，运用 =0， =0，计算即可得到所求值【解答】解： = = a 故答案为： 4已知 a0 且 b0，函数 g（x ）=2 x，且 g（a）g（b）=2 ，则 ab 的最大值是 【考点】指数函数的图象与性质
10、【分析】由题意和指数的运算易得 a+b=1，由基本不等式可得 ab（ ） 2= ，注意等号成立的条件即可【解答】解：函数 g（ x）=2 x，且有 g（a）g（b）=2 ，2=2 a2b=2a+b，a+b=1，a 0 且 b 0，ab （ ） 2= ，当且即当 a=b= 时，ab 取最大值 ，故答案为： 5方程 lg（2x+1）+lgx=1 的解集为 2 【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】在保证对数式的真数大于 0 的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案【解答】解：lg（2x+1）+lgx=1，lg（x（2x+1） ）=lg10， ，解得：x=2故答案为：2
11、6在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a=1，b= ， ，则 B= 【考点】余弦定理【分析】根据余弦定理可得 b2=a2+c22accosB，求出 cosB 的值，利用特殊角的三角函数值求出B 即可【解答】解：由余弦定理得 b2=a2+c22accosB，且 a=1，b= ，c= ，所以 cosB= = = ，得到 B 为钝角即 B（ ，） ，所以 B=故答案为7设 x0 为函数 f（x）=2 x+x2 的零点，且 x0（m，n） ，其中 m，n 为相邻的整数，则 m+n= 1 【考点】函数零点的判定定理【分析】通过 f（0）0 ， f（1）0 ，可得 f（0）f（
12、1）0，故函数 f（x）=2 x+x2 的零点在区间（0，1）内，由此可得 k 的值，【解答】解：函数 f（x） =2x+x2 的零点为 x0，且 x0（m，n） ，f（0）=1 +02=10； f（1）=2+12=10，f（ 0）f（ 1）0，故函数 f（x）=2 x+x2 的零点在区间（0，1）内，故 m=0，n=1 ，m+n=1故答案为：18定义在 R 上的函数 y=f（x）满足 f（x）f（x +5）=3，f （1）=2，则 f 是一个周期为 10 的周期函数，f（1）f（6 ）=3，从而能求出结果故答案为： 【解答】解：定义在 R 上的函数 y=f（x）满足 f（x）f（x+5）=3
13、，f（ x+5）f（x+10）=3，f（ x）=f（x+10） ，f（x）是一个周期为 10 的周期函数，f（ 1）=2，f，f（ 1）f（ 6）=3 ，f（ 6）= = f= 故答案为： 9已知 ， ，则 = arccos 【考点】三角函数的化简求值【分析】利用诱导公式和三角函数的反函数进行解答【解答】解： ，cos= 又 ，=arccos 故答案是：arccos 10设公比为 q（q0）的等比数列a n的前 n 项和为 Sn若 S2=3a2+2，S 4=3a4+2，则 q= 【考点】等比数列的性质【分析】经观察，S 4S2=a3+a4=3（a 4a2） ，从而得到 q+q2=3（q 21）
14、 ，而 q0，从而可得答案【解答】解：等比数列a n中，S 2=3a2+2，S 4=3a4+2，S 4S2=a3+a4=3（a 4a2） ，a 2（q+q 2）=3a 2（q 21） ，又 a20，2q 2q3=0，又 q0，q= 故答案为： 11如图，在ABC 中，已知 AB=4，AC=6 ，BAC=60，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且，点 F 为 DE 中点，则 的值为 4 【考点】平面向量数量积的运算【分析】运用向量的数量积的定义和向量的三角形法则，结合向量的平方即为模的平方，注意运用平面向量基本定理，将所有向量统一为 、 的式子，计算即可得到【解答】解：由 AB=4，AC=6
15、，BAC=60，即有 =46cos60=24 =12，则 =（ ）（ ）=（ ）（ ）=（ ） （ ）= + = + 16=2+64=4故答案为：412若不等式|x+a|2 在 x1，2时恒成立，则实数 a 的取值范围是 3，0 【考点】绝对值不等式的解法【分析】直接求出绝对值不等式的解集，利用恒成立直接求出 a 的值即可【解答】解：不等式|x+a |2 可得 x2a，2a，不等式|x+a|2 在 x1，2时恒成立， ，解得 a3，0实数 a 的取值范围是：3，0故答案为：3，013设集合 A=a1，a 2，a 3，a 4，若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B=1，3，5，8，则
16、集合 A= 3，0，2，6 【考点】集合的确定性、互异性、无序性【分析】由题意可知，集合 A 的所有三元子集都是从 A 中的四个元素中任意取的三个元素构成的集合，总共 4 种情况，每个元素被取了 3 次，集合 B 中的元素应是 4 种情况的 3 个元素的和【解答】解：在 A 的所有三元子集中，每个元素均出现了 3 次，所以 3（a 1+a2+a3+a4）=（ 1）+3+5+8=15，故 a1+a2+a3+a4=5，于是集合 A 的四个元素分别为 5（1）=6，53=2，55=0，58=3，因此，集合 A=3，0，2，6故答案为3，0，2，614把自然数按如图所示排列起来，从上往下依次为第一行、
17、第二行、第三行，中间用虚线围起来的一列数，从上往下依次为 1、5、13、25、，按这样的顺序，排在第 30 个的数是 1741 【考点】归纳推理【分析】中间用虚线围的一列，从上至下，相邻两个数都相差 4，由此可求出第 30 个数【解答】解：中间用虚线围的一列，从上至下：第一个数为 1，第二个数为 5=1+41，第三个数为 13=1+41+42，第四个数为 25=1+41+42+43，则第 30 个数为 1+41+42+43+49=1+4（1+2+3+29）=1+ 4 =1741故答案为 1741二.选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应
18、编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律不得分.15如果 ab0，那么下列不等式成立的是（ ）A Babb 2 C ab a2 D【考点】不等关系与不等式【分析】由于 ab0，不妨令 a=2，b=1，代入各个选项检验，只有 D 正确，从而得出结论【解答】解：由于 ab 0，不妨令 a=2，b=1，可得 =1， ，故 A 不正确可得 ab=2，b 2=1，ab b2，故 B 不正确可得ab=2，a 2=4，ab a2，故 C 不正确故选 D16已知平面直角坐标系内的两个向量 =（1，2） ， =（m，3m 2） ，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成 = + （ ， 为实数） ，
19、则 m 的取值范围是（ ）A （ ，2 ） B （2，+ ） C （ ，+） D （，2）（2，+）【考点】平面向量坐标表示的应用【分析】平面向量基本定理：若平面内两个向量 、 不共线，则平面内的任一向量 都可以用向量 、 来线性表示，即存在唯一的实数对 、 ，使 = + 成立根据此理论，结合已知条件，只需向量 、 不共线即可，因此不难求出实数 m 的取值范围【解答】解：根据题意，向量 、 是不共线的向量 =（1，2） ， =（m，3m2）由向量 、 不共线解之得 m2所以实数 m 的取值范围是m|mR 且 m2故选 D17下列说法正确的是（ ）A命题“若 x2=1，x=1”的否命题是“若 x
20、2=1，则 x1”B “x=1”是“x 2x2=0”的必要不充分条件C命题“若 x=y，则 sinx=siny”的逆否命题是真命题D “tanx=1”是“x= ”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用【分析】对选项逐个进行判断，即可得出结论【解答】解：A：命题“ 若 x2=1，x=1”的否命题是“若 x21，则 x1”，故不正确；B：“x=1”是“x 2x2=0”的充分不必要条件，故不正确；C：命题“若 x=y，则 sinx=siny”是真命题，所以命题“若 x=y，则 sinx=siny”的逆否命题是真命题，故正确；D：“tanx=1” 是“x= ”的必要不充分条件，故不正确故选：C1
21、8已知函数 f（x ）= ，x 2，4对于满足 2x 1x 24 的任意 x1，x 2，给出下列结论：x 1f（x 2）x 2f（x 1）x 2f（x 1）x 1f（x 2）（x 2x1）f（x 2）f（x 1）0（x 2x1）f（x 2）f（x 1）0其中正确的是（ ）A B C D【考点】函数单调性的性质【分析】易得函数 f（x） = 在 2，4上为减函数，故由减函数的性质得出结论【解答】解：g（x）=4（x2） 2 在2 ，4上为减函数，由复合函数的单调性法则可知 f（x ）= 在2，4上为减函数，又2x 1x 24，f（ x2）f （x 1） ，x 2f（x 1）x 1f（x 2） 故
22、正确；又由 x2x10，f（x 2）f（x 1）0 得 （x 2x1）f（ x2）f（x 1）0 故正确故选 C三.解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19已知 （1） ，求（2）若 与 的夹角为 60，求 |；（3）若 与 垂直，求 与 的夹角【考点】平面向量数量积的运算【分析】 （1）由已知可得 且方向相同，然后直接由数量积公式求值；（2）由已知求出 ，开方得答案；（3） 与 垂直，可得 ，再由数量积求夹角公式求得 与 的夹角【解答】解：（1） ， 且方向相同，因此 ；（2） 与 的夹角为 60， ，= ，因此 ；（
23、3） 与 垂直， ，整理得 ，令 与 的夹角为 ，因此 cos= ， 与 的夹角 20某电器专卖店销售某种型号的空调，记第 n 天（1n30，n N+）的日销售量为 f（n ）（单位；台） 函数 f（n）图象中的点分别在两条直线上，如图，该两直线交点的横坐标为m（m N+） ，已知 1nm 时，函数 f（n ）=32 n（1）当 mn30 时，求函数 f（n ）的解析式；（2）求 m 的值及该店前 m 天此型号空调的销售总量；（3）按照经验判断，当该店此型号空调的销售总量达到或超过 570 台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时，才可被认为开始旺销？【考
24、点】函数模型的选择与应用【分析】 （1）根据题意，当 mn 30 时，设 f（n）=kn+b， （n N*） ，利用 f（16）=40，f（30 ） =68，求出参数，进而得到 f （n）的表达式；（2）利用 1nm 时，函数 f（n ）=32 n；当 mn30 时，f （n）=2n+8，建立方程，求出m，利用等差数列的求和公式求出前 m 天此型号空调的销售总量；（3）设该店此型号空调销售到第 x 天时，才可被认为开始旺销，则销售总量 220+570，求出 x，即可得出结论【解答】解：（1）根据题意，当 mn 30 时，设 f（n）=kn+b， （n N*）f（ 16）=40，f （30）=6
25、8， ，k=2，b=8，f（ n）=2n+8（mn 30） ，（2）1nm 时，函数 f（n ）=32 n；当 mn30 时，f （n）=2n+8，32m=2m +8，m=8 该店前 m 天此型号空调的销售总量 =220 台；（3）设该店此型号空调销售到第 x 天时，才可被认为开始旺销，则销售总量 220+570，x 2+9x3860，x18，设该店此型号空调销售到第 18 天时，才可被认为开始旺销21如图，已知单位圆上有四点 E（1，0） ，A （cos，sin） ，B（cos2，sin2） ，C（ cos3，sin3） （0 ） ，分别设 SOAC ，S ABC 的面积为 S1 和 S2（
26、1）用 sin、cos 表示 S1 和 S2；（2）求 + 的最大值及取最大值时 的值【考点】单位圆与周期性【分析】 （1）根据三角函数定义，有xOA=，xOB=2，xOC=3，xOA=AOB=BOC=，可求得 S1 的值，由 S1+S2=四边形OABC 的面积即可求 S2 的值（2）由（1）知， + = sin（ ）+1，可得 ，从而可求得 sin（ ）sin = 即可求得最大值及取最大值时 的值【解答】解：（1）根据三角函数定义，有xOA=，xOB=2，xOC=3，xOA=AOB=BOC=，S 1= sin（3）= sin2，S 1+S2=四边形 OABC 的面积= ，S 2=sin si
27、n2=sin（1 cos） （2）由（1）知，+ = =sincos+1= sin（ ）+1，0 ， ， sin（ ）sin = ， + 的最大值为 ，此时 的值为 22已知 a，b 为实数，函数 f（x）=x 2+ax+1，且函数 y=f（x+1）是偶函数，函数 g（x）=bf（f （x+1） ）+（3b1）f （x+1）+2 在区间（，2上的减函数，且在区间（ 2，0）上是增函数（1）求函数 f（x）的解析式；（2）求实数 b 的值；（3）设 h（x）=f（x+1） 2qx+1+2q，问是否存在实数 q，使得 h（x ）在区间0，2上有最小值为2？若存在，求出 q 的值；若不存在，说明理由
28、【考点】二次函数的性质【分析】 （1）利用函数 y=f（x+1）是偶函数，求函数 f（x ）的解析式；（2）利用复合函数的单调性，求实数 b 的值；（3）分类讨论，求出函数的最小值，利用 h（x）在区间 0，2上有最小值为2，得出结论【解答】解：（1）函数 y=f（x+1）是偶函数，（x+1） 2+a（x+1）+1=（ x+1） 2+a（x+1）+1，4x+2ax=0 ，a=2，f（ x）= （x1） 2；（2）g（x）=bf（f（x+1） ）+（3b 1）f （x+1）+2=bx 4+（5b1）x 2+2b，令 t=x2，u（t）= bt2+（5b1）t（b 2） ，在区间（，2上，t=x
29、2 是减函数，且 t4，+） ，由 g（x）是减函数，可知 u（t）为增函数；在区间（2，0）上，t=x 2 是减函数，且 t（0，4） ，由 g（x ）是增函数，可知 u（t）为减函数，由 u（t）在（0，4）上是减函数， （4，+）上是增函数，可得二次函数开口向上，b0，且 =4，b= ；（3）h（x）=f（x+1）2qx+1+2q=x 2=2qx+2q，x 0，2 q0 ，y min=h（0）=1+2q= 2，q= ；0q 2，y min=h（q）=q 2+2q+1=2，q=3 或1，舍去；q2 ，y min=h（2）=2q+5= 2，q= ，综上所述，q= 或 23已知等差数列a n的
30、首项为 c，公差为 d，等比数列 bn的首项为 d，公比为 c，其中c，d Z，且 a1b 1a 2b2a 3（1）求证：0cd，并由 b2a 3 推导 c 的值；（2）若数列a n共有 3n 项，前 n 项的和为 A，其后的 n 项的和为 B，再其后的 n 项的和为C，求 的比值（3）若数列b n的前 n 项，前 2n 项、前 3n 项的和分别为 D，G，H，试用含字母 D，G 的式子来表示 H（即 H=f（D ，G ） ，且不含字母 d）【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质【分析】 （1）根据等差、等比数列的通项公式可以推知 0cd，结合已知条件a1 b1
31、a 2b 2a 3 列出不等式组： ，通过解该不等式组推导 c 的值；（2）根据等差数列的通项公式和性质推知 A=Sn，B=S 2nSn，C=S 3nS2n，易得 B、A+C=2B，结合代数式的变形来求 的值；（3）根据等比数列的前 n 项和公式分别表示出 D、G、H，然后找到它们的数量关系【解答】解：（1）已知 a1=c，a 2=c+d，a 3=c+2d，b 1=d，b 2=dc，由 b1a 2 可知 c0，因此 0cd，由 a1b 1a 2b 2a 3 可得：cdc+dcd c +2d，且 c，d Z，因此可得不等式组： 1c3又因为 cZ，因此 c=2；（2）数列a n的通项为数列 an=2+（n 1）d，S n= n2+（2 ）n ，A=S n，B=S 2nSn，C=S 3nS2n，B= （4n 2n2）+（2 ） （2n n）= 3n2+（2 ）n，可得 A+C= n2+（2 ）n+ （9n 24n2）+（2 ） （3n2n）=3dn 2+（2 ）2n，可得 A+C=2B，因此 = = ；（3）数列b n的通项为 bn=d2n1因此 D= =d（2 n1） ，G=d（2 2n1） ，H=d（ 23n1） 所以 ，因此 H=D（ 1） 2+G= +DG2017 年 1 月 20 日
