1、2018 年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）理科数学第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数满足 ，则的模为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：设出复数的代数形式，利用复数的乘方和复数相等求出复数，再利用模的计算公式进行求解详解：设 ，则由 ，得，则 ，解得 或 ，即 点睛：本题考查复数的乘方运算、复数相等及模的概念等知识，意在考查学生的基本运算能力2.为第三象限角， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先由两角和的正切公式求出
2、，再利用同角三角函数基本关系式进行求解详解：由 ，得，由同角三角函数基本关系式，得，解得又因为为第三象限角，所以 ，则 点睛：1.利用两角和差公式、二倍角公式进行三角恒等变形时，要优先考虑用已知角表示所求角，如：、 ；2.利用同角三角函数基本关系式中的“ ”求解时，要注意利用角的范围或所在象限进行确定符号3. 已知全集为 ，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式、对数不等式的解法化简两个集合，再利用集合的运算进行求解详解：因为，所以 ，即 点睛：本题考查一元二次不等式的解法、对数函数的单调性及集合的运算等知识，意在考查学生的基本运算能力4. 不
3、等式 所表示的区域为 ，函数 的图象与 轴所围成的区域为 .向 内随机投一个点，则该点落到 内概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先作出两个平面区域，再利用几何概型的概率公式进行求解详解：不等式 表示的区域是对角线为 的正方形，其面积为 ；函数 的图象与 轴所围成的区域是半径为 的半圆，面积为 ；则向 内随机投一个点，则该点落到 内的概率为 点睛：本题考查几何概型的概率公式等知识，意在考查数形结合思想的应用能力和基本计算能力5. 直线过抛物线 ： 的焦点且与 轴垂直，则直线与 所围成的面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先作出直线和抛物线围成的
4、平面区域，再利用定积分的几何意义进行求解详解：由题意，得直线的方程为 ，将 化为 ，由定积分的几何意义，得所求部分分面积为点睛：本题考查抛物线的几何性质、定积分的几何意义等知识，意在考查学生的数形结合思想的应用能力和基本计算能力6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根据三视图想象出空间几何体的结构特征，再利用有关表面积的计算公式进行求解详解：由三视图可知该几何体是由一个棱长为 2 的正方体（且在上半部分挖去一个半径为 1 的半球）和一个半圆柱（底面半径为 1，母线长为 2，且轴截面与正方体的一个侧面重合）则该几何体的表面积为
5、点睛：本题考查空间几何体的三视图、组合体的表面积公式等知识，意在考查空间想象能力7. 阅读如图所示程序框图，运行相应的程序.当输入的 时，则输出 的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用程序框图和分段函数进行求解详解：当 时， ，则 ；当 时， ；综上所述，输出 的范围为点睛：本题考查程序框图等知识，意在考查分类讨论思想的应用能力和基本计算能力8. 函数 的图象沿 轴向右平移 个单位后，得到 为偶函数，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数表达式，再利用三角函数的图象变换得到 ，再利用诱导公式、三角函数
6、的奇偶性进行求解详解：，将 的图象沿 轴向右平移 个单位后，得到 的图象，因为 ，所以 ，即 ，即正数 的最小值为 点睛：1.本题的易错点在将 的图象沿 轴向右平移 个单位后，得到 的图象，往往出现错误结果（ ） ，要注意左右平移的单位仅仅对于自变量“ ”而言；2.研究三角函数的奇偶性，要牢记“ 为奇函数， 为偶函数” ，再利用诱导公式进行合理转化9. 平面 内有 个点（无三点共线）到平面 的距离相等，能够推出 ，三个平面将空间分成 个平面，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先利用空间几何体的结构特征得到 的最小值和 的最大值，进而求出 的最小值详解：平面 内有
7、 个点（无三点共线）到平面 的距离相等，能够推出 ，则 的最小值为 5；三个平面将空间分成 个平面，则 的最大值为 8，则 的最大值为 点睛：本题考查空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的空间想象能力10. 已知 ， 满足 ， 的最小值、最大值分别为， ，且 对 上恒成立，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先作出不等式组表示的平面区域，利用消元法和二次函数求出的最值，再分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题详解：作出 表示的平面区域（如图所示） ，显然 的最小值为 0，当点 在线段 上时，；当点 在线段 上时，；即 ；当 时，不等式 恒成立，若
8、 对 上恒成立，则 在 上恒成立，又 在 单调递减，在 上单调递增，即 ，即 点睛：本题考查不等式组和平面区域、不等式恒成立问题等知识，意在考查学生的逻辑思维能力、数形结合思想的应用能力和化归能力11. 向量 ， ， 满足： ， ， ，则 最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先利用平面向量的数量积公式得到 的夹角和 的夹角，再利用圆的性质进行求解详解：因为 ， ，所以 的夹角为 ，因为 ，所以 的夹角为 ；作 （如图 1、图 2 所示） ，则 ，由图象，得 的最大值为 4图 1 图 2点睛：解决本题的关键是利用平面向量的数量积定义判定 的夹角和 的夹角互补且为二倍关系
9、，所以借助圆周角和圆心角的关系、圆内接四边形的性质进行判定，再利用圆的直径是最长的弦进行求解12. 的导函数满足：当 时， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：构造函数 ，求导，利用导数的符号变化确定函数的单调性，进而比较大小详解：令 ，则 ，因为当 时， ，所以当 时，即函数 在 上单调递减，则 ，即 ，即 点睛：利用导数研究函数的单调性时，往往要根据题意合理构造函数，如本题中，一要结合“当 时，”，二要结合选项“ ”的变形“ ”，进而构造函数 ，这需要学生多积累、多总结第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填
10、在答题卡的相应位置）13. 二项式 展开式中，只有第 项的二次项系数最大，则展开式中常数项是_【答案】【解析】分析：先根据二项式系数的性质得到展开式的项数和次数，再利用二项展开式的通项进行求解详解：因为二项式 展开式中，只有第 项的二次项系数最大，所以展开式共有 13 项，即 ，则 的展开式的通项为令 ，得 ，即展开式中常数项是 点睛：本题考查二项式定理等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力14. 已知两个圆 ， 与两坐标系都相切，且都过点 ，则 _【答案】【解析】分析：先根据两圆与坐标系都相切，确定两圆的圆心在直线 上，再利用两圆都过 进行求解详解：由题意，得圆 的圆心在射线 上，
11、设圆的方程为 ，因为圆过点 ，所以 ，解得 或 ，即 ，则 点睛：本题考查圆的方程、直线和圆的位置关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力15. 在九章算术方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想.比如在 中“.”即代表无限次重复，但原数中有个定数 ，这可以通过 确定出来 ，类似地可得到：_【答案】【解析】分析：利用所给例子和类比思想进行求解详解：利用类比思想，令 ，解得 点睛：本题考查类比思想等知识，意在考查学生的类比推理能力16. 中，角 ， ， 所对边分别为， ，. 是 边的
12、中点，且 ， ， ，则 面积为_【答案】【解析】分析：先利用同角三角函数基本关系式求出 ，再利用正弦定理得到边边关系，再利用余弦定理求出边长，再利用三角形的面积公式进行求解详解：因为 ，因为 ，由正弦定理及 ，得，即 ，即 ，在 中，由余弦定理，得，分别在 中，由余弦定理，得：，两式相加化简，得 ， ，则 点睛：利用正弦定理和余弦定理解三角形，往往有以下题型：在 中，已知角 和边，利用正弦定理处理；在 中，已知边 和角 ，利用正弦定理处理；在 中，已知边 ，利用余弦定理处理；在 中，已知边 和角 ，利用余弦定理处理三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
13、步骤.解答写在答题卡上的指定区域内） 17. 数列 满足 .（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求 的前 项和 .【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）利用 进行求解；（2）先利用（1）结果求出 ，再利用裂项抵消法进行求解详解：（1）当 时， ；当 ， ，可得 ，又当 时也成立， ；（2） ， .点睛：1.利用数列的通项 和前 项和 的关系求解时，要注意 为分段函数，不要忘记验证“ ”的情形；2.裂项抵消法是重要的求和方法，其主要适用题型为：求数列 的前 项和 ，即 ；求数列 的前 项和 ，即 ；求数列 的前 项和 ，即 18. 甲乙两个班进行物理测试，其中女生 人，男生 人，从全部
14、人任取一人及格的概率为 ，并且男生和女生不及格人数相等.（1）完成如下 列联表及格 不及格 合计女男合计（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取 人，记抽取的 人中不及格人数为 ，求 的数学期望和方差.附： .【答案】 （1）见解析（2）没有（3） ，【解析】分析：（1）根据题意填写 列联表即可；（2）利用 列联表和所给公式求值，再利用临界值表进行判定；（3）先判定该分布为二项分布，再利用二项分布的期望公式和方差公式进行求解详解：（1）及格 不及格 合计女男合计（2）由 ，犯错误概率不超过 的前提下，没有足够的证据说明物理
15、成绩及格与性别有关；（3）由题意可知 ， ， .点睛：本题考查 列联表、独立性检验思想、二项分布的期望与方差等知识，意在考查学生逻辑思维能力和基本计算能力19. 平行六面体 中，底面 为菱形， ， ， .（1）证明：平面 平面 ；（2）设 与 交于 点，求二面角 平面角正弦值.【答案】 （1）见解析（2） . 【解析】分析：（1）设 ， 交于点 ，利用菱形的对角线相互垂直、等腰三角形的“三线合一”证得线线垂直，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理进行证明；（2）利用线线间的垂直关系建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出两个平面的法向量，利用法向量间的夹角公式进行求解详解：（1）证明：设 ，
16、交于点 ，底面 为菱形， ，又 ， 是 的中点， ， ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面；（2）解： ， 是 的中点， ， ， ， 两两垂直，以 ， ， 分别为， ，轴建立空间直角坐标系如图所示，设 ，由题得 ， ， ，则， ， ， ，设 是平面 的一个法向量， ，可得 ，设 是平面 的一个法向量， ，可得 ，二面角 平面角正弦值为 .点睛：本题考查空间中垂直关系的转化、空间向量在立体几何中的应用，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力20. 已知椭圆 ： ，点 、 、 都在椭圆 上， 为坐标原点， 为 中点，且 .（1）若点 的坐标为 ，求直线 的方程；（2）求证： 面积为定值.【答案】
17、（1） （2）见解析【解析】分析：（1）先利用 求出 ，再利用点差法进行求解；（2）先讨论直线不存在斜率时的情况，再设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系、点到直线的距离公式和三角形的面积公式进行证明详解：（1）设 ， ， ， ， ，将 ， 代入椭圆方程中，可得 化简可得， ，直线 的方程为 ；（2）证明：设 ， ，当直线 的斜率不存在时， ，由题意可得 ， ， 或 ， ， ，此时 ；当直线 的斜率存在时， ，由（1） ， ： ，即直线 ： ，即 ， ， ， ， ，到 的距离 ，. 为定值.点睛：1.当研究直线和圆锥曲线的中点弦问题时，往往利用“点差
18、法”进行处理，可减少运算量，提高解题速度，即“代点、作差、与中点坐标公式、直线的斜率公式相联系” ；2.在设直线方程时，要注意根据题意考虑是否需要讨论“直线的斜率不存在“的特殊情形21. 设 .（1） 在 上单调，求的取值范围；（2）已知 在 处取得极小值，求的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）求导得到 ，再求导，将 在区间 上单调转化为 或 进行求解；（2）利用（1）结果，通过讨论的取值研究导函数 的符号变化，进而验证何时在 处取得极小值详解：（1）由 ，即 ， ， 在 上单调递增， 对 恒成立，即 对 恒成立，得 ； 在 上单调递减， 对 恒成立，即 对 恒成立，得 ，
19、由可得的取值范围为 ；（2）由（1）知， ， 在 上单调递增， 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增， 在 处取得极小值，符合题意； 时， ，又 在 上单调递增， 时， ， 时， ， 在上单调递减， 上单调递增， 在 处取得极小值，符合题意； 时， ， 在 上单调递增， 上单调递减， 时， ， 单调递减，不合题意； 时， ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，在 处取得极大值，不符合题意；综上所述，可得 .点睛：本题考查导数与函数的单调性、极值间的关系等知识，意在考查学生的分类讨论思想的应用能力和复杂的数学运算能力请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
20、题记分，作答时请写清题号.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程为： （ 为参数） ，曲线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；（2）曲线 与曲线 有两个公共点，求 的取值范围.【答案】 （1） ， .（2）【解析】分析：（1）利用同角三角函数基本关系式、二倍角公式消参到曲线 的普通方程，再利用两角和的余弦公式和互化公式 进行求解；（2）联立直线和抛物线方程，得到关于 的一元二次方程，利用二次方程的根的分布进行求解详解：（1）在曲线 中 ，曲线 的普通方程为 ， .在曲线中：由可得，曲线的直角坐标方程为；（2）联立 ， 有两解，令 ，在 上有两
21、解， ， .点睛：本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程间的互化、直线和抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的数学化简能力和基本计算能力23. 选修 4-5：不等式选讲已知 .（1）解不等式： ；（2）不等式 对任意 恒成立，求 的范围.【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）利用零点分段讨论法进行求解；（2）分离参数，将不等式恒成立转化为求函数的最值问题，再利用三角不等式求最值，进而利用零点分段讨论法求出 的范围详解：（1） ， ， ，由可得 ；（2）当 时， ， ；当 时，即 对 恒成立，当且仅当 ，即 时取等号， ，解得 .点睛：本题考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力
