1、2017 届河北省石家庄市行唐县三中、正定县三中、正定县七中高三 12 月联考数学（文）试题一、单选题1已知集合 ，则 （ ）A -2,1 B -1,1 C 1,3 D -2,3【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义，写出 【详解】集合 ，故选 B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合.2若 ，则A B C D 【答案】C【解析】因为 ，所以 是第一或第三象限角，当 是第一象限角时， 且，则 ；当 是第三象限角时， 且 ，则，故选 C.3设 ，则 （ ）A B C
2、 D 2【答案】B【解析】，故选：B点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 的看作一类同类项，不含 的看作另一类同类项，分别合并即可 （2）复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 的幂写成最简形式 （3）利用复数相等求参数 4已知双曲线 的离心率为 2，则 a（ ）2=1(a0)3xyA2 B C D1625【答案】 D【解析】试题分析：由已知， ，故选 .231,1a【考点】双曲线的几何性质.5设函数 ， 的定义域都为 R，且 是奇函数， 是偶函数，则fxgfxgx下列结论中正确的是（ ）
3、A 是偶函数 B | | 是奇函数f fgC | |是奇函数 D | |是奇函数xgx【答案】C【解析】试题分析：f（x ）是奇函数，g（x）是偶函数，f（-x）=-f（x） ，g（-x）=g（x ） ，f（-x）g（-x）=-f （x ）g（x ） ，故函数是奇函数，故 A 错误，|f（-x ） |g（-x）=|f（x ）|g（x）为偶函数，故 B 错误，f（-x）|g（-x）|=-f（x）|g（x）|是奇函数，故 C 正确|f（-x ） g（-x）|=|f（x ）g（x）| 为偶函数，故 D 错误【考点】函数奇偶性的判断6设 分别为 的三边 的中点，则A B C D 【答案】A【解析】试题
4、分析：由题意可得：故选择 A【考点】向量线性运算7在函数 ， ， , 中，最小正周期为 的所有函数为（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论【详解】对于， ，则它的最小正周期为 ；对于 ， 的最小正周期为 ；对于 ， 的最小正周期为 ；对于， 的最小正周期为 .故选 A.【点睛】本题主要考查三角函数的周期性及求法，函数 或 的周期是 ， 的周期是 8如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱锥 D 四棱柱【答案】B【解析】【分析】由题意画出几何体的图形
5、即可得到选项【详解】根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，可知几何体如图：几何体是三棱柱故选 B.【点睛】本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法，观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9执行右面的程序框图，若输入的 分别为 1,2,3，则输出的 ( ),abkMA B C D 20371658【答案】D【解析】试题分析：根据题意由 成立，则循环，即3;又
6、由 成立，则循环，即1,2,Mabn2;又由 成立，则循环，即832;又由 不成立，则出循环，输出 3515,483158M【考点】算法的循环结构10已知抛物线 ： 的焦点为 ， 是 上一点， ，则 （ ）A 1 B 2 C 4 D 8【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出【详解】由题意得抛物线 ： 的焦点坐标为 ，准线方程为 . 是 上一点，故选 A.【点睛】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式.处理抛物线的焦点弦问题时，往往利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离和点到焦点的距离进行合理互化，可减少运算量，要记住焦半径公式 （抛物线方程为 ，点 在抛物线上，
7、是抛物线的焦点.11设 ， 满足约束条件 且 的最小值为 7，则 （ ）A -5 B 3 C -5 或 3 D 5 或-3【答案】B【解析】【分析】对 进行讨论，当 时，由 ，解得交点坐标，根据 的最小值为 7，平移直线 ，即可得出 的值， 再当 时，同理可得出.【详解】如图所示，当 时， 由 ，解得 ，则 . 的最小值为 7当直线 经过点 时，取得最小值为 7，则 . 或 （舍）当 时，不符合条件.故选 B.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件
8、中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.12已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则实数 的取值范围是A B C D 【答案】C【解析】【分析】由题意可得 ， ；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可【详解】 ，当 时， 有两个零点，不成立；当 时， 在 上有零点，故不成立；当 时， 在 上有且只有一个零点；故 在 上没有零点；而当 时， 在 上取得最小值，故 .综上所述，实数 的取值范围是 .故选 C.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的
9、范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域( 最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.二、填空题13将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为_【答案】【解析】2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学 1，数学 2，语文） ， （数学 1，语文，数学 2） ， （数学 2，数学 1，语文） ， （数学2，语文，数学 1） ， （语文，数学 1，数学 2） ， （语文，数学 2，数学 1）共 6 个，其中2 本数学书相邻的有（数
10、学 1，数学 2，语文） ， （数学 2，数学 1，语文） ， （语文，数学 1，数学 2） ， （语文，数学 2，数学 1）共 4 个，故 2 本数学书相邻的概率 14甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 ， ， 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 城市；乙说：我没去过 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_.【答案】A【解析】【分析】可先由乙推出，可能去过 城市或 城市，再由甲推出只能是 ， 中的一个，再由丙即可推出结论【详解】由乙说：我没去过 城市，则乙可能去过 城市或 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 城市，则乙只能是去过 ， 中的任一个，再由丙
11、说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为 故答案为 【点睛】本题主要考查简单的合情推理，考查推理论证能力等基础知识，解答此题的关键是逐条进行分析，排除，是一道基础题15设函数Failed to download image : http:/192.168.0.10:8086/QBM/2014/8/19/1571839105417216/1571839111053312/STEM/853586f355b149b7af96cdf1a9284fec.png，则使得 成立的 的取值范围是 .【答案】 .【解析】试题分析：x1 时， ， ，x 1；x1 时，x8，1x8，综上，使得 f（ x
12、）2 成立的 x 的取值范围是 x8故答案为： 【考点】1其他不等式的解法； 2分段函数的解析式求法及其图象的作法16如图，为测量山高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观测点.从 点测得 点的仰角 ， 点的仰角 以及 ；从 点测得 .已知山高 ，则山高 _ .【答案】150【解析】【分析】中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得 ； 中，由条件利用正弦定理求得 ； 中，根据 ，计算求得结果【详解】在 中， ， ， .在 中， ， .由正弦定理可得 ，则 .在 中， .故答案为 150.【点睛】本题主要考查解三角形的实际应用，根据条件建立边角关系是解决本题的关键 .解三角形问题的技巧：作为三角形
13、问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦定理、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一” （即“统一角、统一函数、统一结构” ）是使问题获得解决的突破口.三、解答题17已知 是递增的等差数列， ， 是方程 的根。（1 ）求 的通项公式；（2 ）求数列 的前 项和.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出 a2，a4 的值，从而解出通项；（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和【详解】（1）方程 的两个根为 2，3，由题意得
14、因为 .设数列 的公差为 d，则 ，故 ，从而 .所以 的通项公式为 .（2）设 的前 项和为 ，由（1）知 ，则-得 .所以， .【点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.18从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组 75， 85) 85， 95) 95， 105) 10
15、5，115) 115，125)频数 6 26 38 22 8(1)作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定？【答案】 （1）见解析；（2）平均数的估计值为 100，方差的估计值为 104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定.【解析】试题分析：（1）根据频数算出频率，得纵坐标，即可可做直方图；（2 ）每组数据中间值乘以该组的频率求和即
16、可得这种产品质量指标值的平均数，再根据方差公式求其方差；（3）不低于 的各组频率求和与 进行比较即可。试题解析：（1）。（2 ）质量指标值的样本平均数为质量指标值的样本方差为：。所以这种产品质量指标值的样本平均数的估计值为 100，方差的估计值为 104。（3 ）质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 。由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“ 质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定。【考点】1.频率分布直方图的画法；2.样本的平均数及方差、互斥事件的概率。19如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点为 ，且 平面.证明：（1） ；（2
17、）若 ， ， ，求三棱柱 的高.【答案】 （1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接 ，则 为 与 的交点，证明 ，可得 ；（2）作，垂足为 D，连接 AD，作 ，垂足为 H，证明 为等边三角形，求出 到平面 的距离，即可求三棱柱 的高【详解】（1）证明：连接 ，则 为 与 的交点，因为侧面 为菱形，所以又 平面 ，所以 ，故由于 ，故 .（2）作 ，垂足为 D，连接 AD，作 ，垂足为 H.由于 ，故 ，所以又 ，所以因为 ，所以 为等边三角形，又 ，可得由于 ，所以由 ，且 ，得又 为 的中点，所以点 到平面 的距离为 ，故三棱柱 的高为 .【点睛】本题主要考查线线垂直，考查点到平面的距
18、离的计算 ，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化分析推理能力.求点到平面的距离常用的方法有几何法、等体积法和向量法.20已知点 ，圆 ： ，过点 的动直线 与圆 交于 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点.（1 ）求 的轨迹方程；（2 ）当 时，求 的方程及 的面积【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）由圆 的方程求出圆心坐标和半径，设出 坐标，由 与 数量积等于 0 列式得的轨迹方程；（2）设 的轨迹的圆心为 ，由 得到 求出 所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出到 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出 的长度，代入三角形
19、面积公式得答案【详解】（1）圆 的方程可化为 ，所以，圆心为 ，半径为 4，设 ，则 ，由题设知 ，故，即由于点 在圆 的内部，所以 的轨迹方程是 .（2）由（1）可知 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆由于 ，故 在线段 的垂直平分线上，又 在圆 上，从而因为 的斜率为 3，所以 的斜率为 ，所以 的方程为又 ， 到 的距离为 ，所以 的面积为 .【点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立 ， 之间的关系 ；（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；（4）代入(相关点)法：动
20、点 依赖于另一动点 的变化而运动，常利用代入法求动点 的轨迹方程21设函数 ，曲线 在点 处的切线斜率为 0（1 ）求 ;（2 ）若存在 ，使得 ，求 的取值范围。【答案】 （1）1（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）对 分类讨论：当 时，当 时，当时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【详解】（1）解：由题设知解得 .（2）解： 的定义域为 ，由（1）知， ，（）若 ，则 ，故当 时， 在 单调递增，所以，存在 ，使得 的充要条件为 ，即 ，解得 ；（）若 ，则 ，故当 时， ；当 时， ；所以 在 单调递减，在 单调递增，所以，存在 ，使得 的充要条件为
21、而 ，所以不合题意.（）若 ，则综上所述， 的取值范围是【点睛】本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的零点问题、其中分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等22已知曲线 ： ，直线 ： （ 为参数）（1 ）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；（2 ）过曲线 上任意一点 作与 夹角为 30的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值.【答案】 （1） ， （2）【解析】【分析】（1
22、）联想三角函数的平方关系可取 、 得曲线 的参数方程，直接消掉参数 得直线 的普通方程；（2）设曲线 C 上任意一点 由点到直线的距离公式得到 到直线 的距离，除以 sin30进一步得到 ，化积后由三角函数的范围求得的最大值与最小值【详解】（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的普通方程为 .（2）曲线 上任意一点 到 的距离为 ，则，其中 为锐角，且 .当 时， 取得最大值，最大值为 ；当 时， 取得最小值，最小值为 .【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化，考查了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力23若 ,且（1 ）求 的最小值；（2 ）是否存在 ，使得 ？并说明理由.【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：（）由已知 ，利用基本不等式的和积转化可求 ，利用基本不等式可将 转化为 ，由不等式的传递性，可求 的最小值；（）由基本不等式可求 的最小值为 ，而 ，故不存在试题解析：（I ）由 ，得 ，且当 时取等号故 ，且当 时取等号所以 的最小值为 （II）由（I）知， 由于 ，从而不存在 ，使得【考点定位】基本不等式
