1、1.3.3 函数的最大(小)值与导数明目标、知重点1理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系2会求某闭区间上函数的最值1函数 f(x)在闭区间a，b上的最值函数 f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得2求函数 yf( x)在 a，b上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数 yf(x )在(a，b)内的极值；(2)将函数 yf(x )的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个是 最大值，最小的一个是最小值3在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数 f(
2、x)在开区间 I 上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小) 值就是函数 f(x)在区间 I 上的最大(小) 值4极值与最值的意义：(1)最值是在区间a，b上的函数值相比较最大(小) 的值；(2)极值是在区间a，b上的某一个数值 x0 附近相比较最大(小) 的值情境导学极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题探究点一 求函数的最值思考 1 如图，观察区间a， b上函数 yf (x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？答 f(x 1)，f(x
3、 3)，f(x 5)是函数 yf (x)的极小值；f(x2)，f (x4)，f(x 6)是函数 yf(x)的极大值思考 2 观察思考 1 的函数 yf (x)，你能找出函数 f(x)在区间a，b 上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f( x)在(a，b) 上还有最值吗？由此你得到什么结论？答 函数 yf(x )在区间 a，b 上的最大值是 f(a)，最小值是 f(x3)若区间改为(a，b) ，则 f(x)有最小值 f(x3)，无最大值小结 一般地，如果在区间a，b 上函数 yf (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得思考 3 函数的
4、极值和最值有什么区别和联系？答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b) 上若存在最值，则必是极值小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤：1求导，确定函数在闭区间上的极值点2求出函数的各个极值和端点处的函数值3比较大小，确定结论例 1 求下列函数的最值：(1)f(x)2x 312x，x 2,3；(2)f(x) xsin x ，x0,212解
5、(1)f(x) 2x 312x，f(x )6x 2126( x )(x )，2 2令 f(x )0，解得 x 或 x .2 2当 x 变化时，f( x)与 f(x)的变化情况如下表：x ( ， )2 2 ( ， )2 2 2 ( ，)2f(x ) 0 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以函数 f(x)的单调递增区间为(， )，( ，)，单调递减区间为( ， )2 2 2 2因为 f(2) 8 ，f(3)18，f( )8 ，2 2f( ) 8 ；2 2所以当 x 时， f(x)取得最小值8 ；2 2当 x3 时，f(x)取得最大值 18.(2)f(x) cos x ，令
6、 f(x) 0，又 x0,2，12解得 x 或 x .23 43计算得 f(0)0，f(2) ，f( ) ，23 3 32f( ) .43 23 32当 x0 时，f( x)有最小值 f(0)0；当 x2 时，f(x) 有最大值 f(2).反思与感悟 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得求出导数为零的点比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值(2)若函数在闭区间a，b上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得跟踪训练 1 求下列函数的最值：(1)f(x) x34x4，x 0,3；13(2)f(x)e x(3x 2)，x 2,5解 (
7、1)f(x) x34x4，13f(x )x 24.令 f(x )0，得 x12，x 22.f(2) ，f(0) 4，f(3) 1，43函数 f(x)在0,3 上的最大值为 4，最小值为 .43(2)f(x) 3e xe xx2，f(x )3e x(e xx22e xx)e x(x22x3)e x(x3)(x 1) ，在区间2,5上，f ( x)e x(x3)(x1)0 恒成立，只要 f(x)的最小值大于 0 即可如 f(x)0；当 x(1,2) 时，f ( x)0.当 x1 时，f( x)取极大值 f(1)58c .又 f(3)98cf(1) ，x0,3时，f(x )的最大值为 f(3)98c
8、.对任意的 x0,3，有 f(x)9.c 的取值范围为( ，1) (9，)(2)由(1)知 f(x)1.故实数 m 的取值范围是(1，)1函数 yf(x)在 a，b上( )A极大值一定比极小值大B极大值一定是最大值C最大值一定是极大值D最大值一定大于极小值答案 D解析 由函数的最值与极值的概念可知，yf (x)在a，b上的最大值一定大于极小值2函数 f(x)x 33x (|x|0，则函数在区间 上为增函数，所以 y2， 2，的最大值为 ymaxsin ，故选 C.4函数 f(x)x 33x 29x k 在区间4,4 上的最大值为 10，则其最小值为_答案 71解析 f(x) 3x 26x 93
9、(x3)(x1)由 f(x )0 得 x3 或 x 1.又 f(4)k76，f(3)k 27 ，f(1)k5，f(4)k 20.由 f(x)maxk 510，得 k5，f(x) mink7671.呈重点、现规律1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值2求含参数的函数最值，可分类讨论求解3 “恒成立”问题可转化为函数最值问题一、基础过关1函数 f(x)x 24x 7，在 x3,5 上的最大值和最小值分别是( )Af(2)，f(3) Bf (3)，f(5)Cf(2) ，f (5) Df(5)，f(3)答案 B解析 f(x)2x4，
10、当 x3,5时，f(x )e 时，y0.y 极大值 f(e) ，在定义域内只有一个极值，1e所以 ymax .1e4函数 y 在定义域内( )4xx2 1A有最大值 2，无最小值B无最大值，有最小值2C有最大值 2，最小值2D无最值答案 C解析 令 y 0，4x2 1 4x2xx2 12 4x2 4x2 12得 x1.x (，1) 1 (1,1) 1 (1，)y 0 0 y 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减由上表可知 x1 时，y 取极小值也是最小值2；x 1 时，y 取极大值也是最大值 2.5已知函数 yx 22x 3 在区间 a,2上的最大值为 ，则 a 等于( )154A B
11、.32 12C D. 或12 12 32答案 C解析 当 a1 时，最大值为 4，不符合题意，当10)y2t 1t 2t2 1t .2t 22t 22t当 0 时，y0，可知 y 在此区间内单调递增22故当 t 时，| MN|有最小值229已知函数 f(x)e x2xa 有零点，则 a 的取值范围是_答案 (，2ln 22解析 函数 f(x)e x2xa 有零点，即方程 ex2xa0 有实根，即函数 g(x)2xe x，y a 有交点，而 g(x)2e x，易知函数 g(x)2xe x在(，ln 2)上单调递增，在(ln 2， ) 上单调递减，因而 g(x)2xe x的值域为( ，2ln 22
12、，所以要使函数 g(x)2xe x，y a 有交点，只需 a2ln 22 即可10已知函数 f(x)2x 36x 2a 在2,2上有最小值37，求 a 的值及 f(x)在2,2上的最大值解 f(x) 6x 212x 6x (x 2)，令 f(x )0，得 x0 或 x 2，当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x 2 ( 2,0) 0 (0,2) 2f(x) 0 0f(x) 40a 单调递增 极大值 a 单调递减 8a当 x2 时，f( x)min40a37，得 a3.当 x0 时，f(x)的最大值为 3.11已知函数 f(x)x 3ax 2 bxc(a，b，cR )(1)若函数 f(x)在 x1 和 x3 处取得极值，试求 a，b 的值；(2)在(1)的条件下，当 x 2,6时，f(x)2| c|恒成立，求 c 的取值范围解 (1)f(x) 3x22axb，函数 f(x)在 x1 和 x3 处取得极值，1,3 是方程 3x22ax b0 的两根Error! ，Error!.(2)由(1)知 f(x)x 33x 29xc，f(x)3x 26x 9.当 x 变化时，f( x)，f( x)随 x 的变化如下表：x( ，1)1 (1,3)3 (3，)f(x ) 0 0 f(x) 单调递增极大值 c5单调递减极小值c27单调递增
