1、2.4.2 抛物线的简单几何性质课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用1抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为 y22px(p0)(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标 x 的取值范围是_，抛物线在 y 轴的_侧，当 x 的值增大时，|y|也_，抛物线向右上方和右下方无限延伸(2)对称性：抛物线关于_对称，抛物线的对称轴叫做 _(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的_抛物线的顶点为_(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的_，用 e 表示，其值为_(5)抛物
2、线的焦点到其准线的距离为_，这就是 p 的几何意义，顶点到准线的距离为 ，焦点到顶点的距离为_p22直线与抛物线的位置关系直线 ykxb 与抛物线 y22px(p0) 的交点个数决定于关于 x 的方程_的解的个数当 k0 时，若 0，则直线与抛物线有_个不同的公共点；当 0 时，直线与抛物线有_个公共点；当 0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x0，y 0)，则有以下结论(1)以 AB 为直径的圆与准线 _(2)|AB|_(焦点弦长与中点坐标的关系)(3)|AB|x 1x 2_.(4)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1x2
3、_，y 1y2_.一、选择题1顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(2,3) ，它的方程是 ( )Ax 2 y 或 y2 x92 43By 2 x 或 x2 y92 43Cy 2 x92Dx 2 y432若抛物线 y22px (p0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点 F 的距离的关系是( )A成等差数列B既成等差数列又成等比数列C成等比数列D既不成等比数列也不成等差数列3已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B3 C. D.172 5 924设斜率为 2 的直线 l 过抛物
4、线 y2ax(a 0) 的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则抛物线方程为( )Ay 24x By 28xCy 24x Dy 28x5设直线 l1：y2x，直线 l2 经过点 P(2,1)，抛物线 C： y24x，已知 l1、l 2 与 C 共有三个交点，则满足条件的直线 l2 的条数为( )A1 B2 C3 D46过抛物线 y2ax (a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若 PF 与 FQ 的长分别为 p、q，则 等于( )1p 1qA2a B. C4a D.12a 4a题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7已知抛物线 C 的
5、顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上，直线 yx 与抛物线 C 交于A，B 两点，若 P(2，2)为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为_8已知 F 是抛物线 C：y 24x 的焦点，A、B 是抛物线 C 上的两个点，线段 AB 的中点为 M(2,2)，则 ABF 的面积等于_9过抛物线 x22py (p0)的焦点 F 作倾斜角为 30的直线，与抛物线分别交于 A、B两点(点 A 在 y 轴的左侧)，则 _.|AF|FB|三、解答题10设抛物线 ymx 2 (m0)的准线与直线 y1 的距离为 3，求抛物线的标准方程11过点 Q(4,1)作抛物线 y2 8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分，求 A
6、B 所在的直线方程能力提升12设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PA l，A 为垂足，如果直线 AF 的斜率为 ，那么|PF|等于( )3A4 B8 C8 D163 313.已知直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、B 两点(1)若|AF|4，求点 A 的坐标；(2)求线段 AB 的长的最小值1抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离2直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法” 2.4.2 抛物线的简单几何性质知识梳理1(1)x0 右 增大 (2) x
7、轴 抛物线的轴 (3)顶点 坐标原点 (4) 离心率 1 (5)p p22k 2x22(kb p)xb 20 两 一 没有 平行或重合 一3(1)相切 (2)2(x 0 ) (3)p (4) p 2p2 p24作业设计1B 由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程2A 设三点为 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，P 3(x3，y 3)，则 y 2px 1，y 2px 2，y 2px 3，21 2 23因为 2y y y ，所以 x1x 32x 2，2 21 23即|P 1F| | P3F| 2 ，p2 p2 (|P2F| p2)所以|P 1F| P3F|2|P
8、 2F|.3A 如图所示，由抛物线的定义知，点 P 到准线 x 的距离 d 等于点 P 到焦点的距离12|PF|.因此点 P 到点(0,2) 的距离与点 P 到准线的距离之和可转化为点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到点 F 的距离之和，其最小值为点 M(0,2)到点 F 的距离，则距离之和的最(12，0)小值为 .4 14 1724B y 2ax 的焦点坐标为 ，过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y2 ，令 x (a4，0) (x a4)0 得 y .a2 4，a 264， a8.12 |a|4 |a|25C 点 P(2,1)在抛物线内部，且直线 l1 与抛物线 C 相交于 A，B 两点
9、，过点 P的直线 l2 在过点 A 或点 B 或与 x 轴平行时符合题意满足条件的直线 l2 共有 3 条6D 可采用特殊值法，设 PQ 过焦点 F 且垂直于 x 轴，则|PF| px P (a4，0) a4 a4 ，a4 a2|QF|q ， .a2 1p 1q 2a 2a 4a7y 24x解析 设抛物线方程为 y2ax.将 yx 代入 y2ax，得 x0 或 xa， 2.a4.a2抛物线方程为 y24x .82解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y 4x 1，y 4x 2.21 2(y 1 y2)(y1y 2)4(x 1x 2)x 1x 2， 1.y1 y2x1 x2 4
10、y1 y2直线 AB 的方程为 y2x2，即 yx.将其代入 y24x ，得 A(0,0)、 B(4,4)|AB| 4 .又 F(1,0)到 yx 的距离为 ，222S ABF 4 2.12 22 29.13解析 抛物线 x22py (p0)的焦点为 F ，则直线 AB 的方程为 y x ，(0，p2) 33 p2由Error! 消去 x，得 12y220 py3p 20，解得 y1 ，y 2 .p6 3p2由题意可设 A(x1，y 1)，B(x 2， y2)，由抛物线的定义，可知 .|AF|FB|y1 p2y2 p2p6 p23p2 p2 1310解 由 ymx 2 (m0)可化为 x2 y
11、，1m其准线方程为 y .14m由题意知 2 或 4，14m 14m解得 m 或 m .18 116则所求抛物线的标准方程为 x28y 或 x216y.11解 方法一 设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为A(x1，y 1)、B (x2，y 2)，则有 y 8x 1，21y 8x 2，2Q(4,1)是 AB 的中点，x 1x 28，y 1y 22.，得(y 1y 2)(y1y 2)8(x 1x 2)将代入得 y1y 24(x 1 x2)，即 4 ，k4.y1 y2x1 x2所求弦 AB 所在的直线方程为 y14(x4)，即 4xy150.方法二 设弦 AB 所在直线方程为 yk (x4) 1.
12、由Error! 消去 x，得 ky28y32k 80，此方程的两根就是线段端点 A、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得 y1y 2 ，又 y1y 22，k4.8k所求弦 AB 所在的直线方程为 4xy 150.12.B 如图所示，直线 AF 的方程为 y (x2) ，与准线方程 x2 联立得3A( 2,4 )3设 P(x0,4 )，代入抛物线 y28x，得 8x048，x 06，3|PF| x028，选 B.13解 由 y24x ，得 p2，其准线方程为 x1，焦点 F(1,0)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)分别过 A、B 作准线的垂线，垂足为 A、B.(1)由
13、抛物线的定义可知，| AF|x 1 ，p2从而 x1413.代入 y24x，解得 y12 .3点 A 的坐标为(3,2 )或 (3， 2 )3 3(2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1) 与抛物线方程联立Error!，消去 y，整理得 k2x2(2 k24)xk 20，因为直线与抛物线相交于 A、B 两点，则 k0，并设其两根为 x1，x 2，则 x1x 22 .4k2由抛物线的定义可知，|AB|x 1x 2 p4 4.4k2当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，与抛物线相交于 A(1,2)，B(1，2) ，此时|AB|4，所以，|AB|4，即线段 AB 的长的最小值为 4.
