1、3.2.3 空间的角的计算课时目标 1.掌握异面直线所成角与二面角的概念，能正确运用向量的数量积求角.2.正确运用二面角的概念及两个平面的法向量的夹角与二面角大小的关系求二面角的大小.3.掌握平面的斜线所在方向向量与平面的法向量夹角与线面角的关系1两条异面直线所成的角(1)定义：设 a、b 是两条异面直线，过空间任一点 O 作直线 aa，bb，则 a与 b所夹的_叫做 a 与 b 所成的角(2)范围：两异面直线所成的角 的取值范围是_(3)向量求法：设直线 a、b 的方向向量为 a、b，其夹角为 ，则有 cos |cos |_.2直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在
2、这个平面内的_所成的角(2)范围：直线和平面所成的角 的取值范围是_(3)向量求法：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u，直线与平面所成的角为，a 与 u 的夹角为 ，则有 sin |cos | _或 cos _.3二面角(1)二面角的取值范围：_.(2)二面角的向量求法：利用向量求二面角的平面角有两种方法：若 AB，CD 分别是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角的大小 是向量 与 的夹角( 如图所示) 即 cos .AB CD AB CD |AB |CD |设 n1、n 2 是二面角 l 的两个面 、 的法向量，则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)就是
3、二面角的平面角的大小( 如图所示)即二面角 l 的大小 的余弦值为cos 或 cos .n1n2|n1|n2| n1n2|n1|n2|一、填空题1若直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角是 150，则 l1 与 l2 这两条异面直线所成的角为_2若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 150，则直线 l 与平面 所成的角为_3.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N，P 分别是棱 CC1，BC，A 1B1 上的点，若B 1MN90，则PMN 的大小是_4将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则二面角 ABCD 的平面角的余弦值是_5已知三棱柱
4、ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A 1 在底面 ABC 上的射影为 BC的中点，则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为_ 6若两个平面 ， 的法向量分别是 n(1,0,1)，(1 ，1,0) ，则这两个平面所成的锐二面角的度数是_7如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各条棱长都相等，M 是侧棱 CC1 的中点，则异面直线AB1 和 BM 所成的角的大小是_8已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA 12AB ，E 为 AA1 的中点，则异面直线 BE与 CD1 所成角的余弦值为_二、解答题9.如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M
5、、N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，求异面直线 AM 与 C1N 所成的角的余弦值10.如图所示，三棱柱 OABO1A1B1 中，平面 OBB1O1平面 OAB，O 1OB60，AOB90，且 OBOO 12，OA ，求异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值的大3小能力提升11已知三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，AB AC ，PAAC AB，N 为 AB 上一12点，且 AB4AN ，M ，S 分别为 PB，BC 的中点(1)证明：CMSN ；(2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小12.如图所示，底面 ABCD 是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SA ABB
6、C1，AD ，求平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值121两异面直线所成的角 等于两异面直线的方向向量 a， b 所成的角(或其补角)，所以求解时要加绝对值，cos |cosa，b|.2求直线与平面的夹角的方法与步骤思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值) 思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量3二面角的求法往往有两种思路一种是几何法，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两条线段，找出二面角的平面角，这是几何中的一大难点另一种是向量法，当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系 )时，用向量法求解二面
7、角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出可以根据所求二面角是锐角还是钝角确定二面角大小32.3 空间的角的计算知识梳理1(1)锐角或直角 (2)0 (3)2 |ab|a|b|2(1)射影 (2)0 (3) sin 2 |au|a|u|3(1)0 ，作业设计130260390解析 A 1B1平面 BCC1B1，故 A1B1MN. ( ) 0，MPMN，即PMN90.MP MN MB1 B1P MN MB1 MN B1P MN 4.33解析 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，设正方形 ABCD 的棱长为 1，则O(0,0,0)，A ，(0，0，22)B ， C .
8、(0， 22，0) ( 22，0，0) ， .AB (0， 22， 22) BC ( 22，22，0)设平面 ABC 的法向量为 n (x，y，z)，则Error! Error!可取 n(1 ， 1,1)由题意知，平面 BCD 的法向量为 ，OA (0，0，22)cosn， ，OA nOA |n|OA |2222 3 33即二面角 ABCD 的平面角的余弦值为 .335.34解析 如图建立空间直角坐标系，因为 A1D平面 ABC，ADBC，设三棱柱的棱长为1，则 AD ，AA 11，A 1D ，32 12故 A1 .(0，0，12)又 A ， B ，(32，0，0) (0， 12，0) AA1
9、 ( 32，0，12) ， ，CC1 AB ( 32， 12，0)cos ， .CC1 AB 34异面直线 AB 与 CC1 所成角的余弦值为 .34660解析 cosn ， . 12 2 12n，120.故两平面所成的锐二面角为 60.790解析 建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为 1，则B ， M ，(32， 12，0) ( 32，12，12)B1 ，(32， 12，1)因此 ， ，设异面直线 AB1 与 BM 所成的角为 ，AB1 ( 32， 12，1) BM (0，1，12)则 cos |cos ， | 0，AB1 BM |0 12 12|AB1 |BM |90.8.31010解
10、析 如图，连结 A1B，则 A1BC D1，故异面直线 BE 与 CD1 所成的角即为 BE 与 A1B 所成的角设 ABa，则 A1Ea，A 1B a，BE a.5 2在A 1BE 中，由余弦定理得，cosA 1BEBE2 A1B2 A1E22BEA1B .2a2 5a2 a222a5a 310109解 方法一 ，AM AA1 A1M ，C1N C1B1 B1N ( )( )AM C1N AA1 A1M C1B1 B1N .AA1 B1N 12而| |AM AA1 A1M AA1 A1M .|AA1 |2 |A1M |2 1 14 52同理| | .C1N 52设 为异面直线 AM 与 C1
11、N 所成的角，则 cos .|AM C1N |AM |C1N |1254 25方法二 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.DA DC DD1 则 A(1,0,0)，M ，(1，12，1)C1(0,1,1)，N ，于是有 (1,0,0) ，(1，1，12) AM (1，12，1) (0，12，1) (0,1,1) .C1N (1，1，12) (1，0， 12) 01 01 ，AM C1N 12 ( 12) 12又| | ，AM 02 (12)2 12 52| | ，C1N 12 02 ( 12)2 52cos .|AM C1N |AM |C1N |1254 251
12、0解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 O(0,0,0)，O 1(0,1， )，3A( ，0,0)，A 1( ，1， )，3 3 3B(0,2,0)， ( ，1， )，A1B OB OA1 3 3 ( ，1， )O1A OA OO1 3 3cos ， A1B O1A A1B O1A |A1B |O1A | . 3，1， 3 3， 1， 37 7 17异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值为 .1711.(1)证明 设 PA1，以 A 为原点，AB，AC ，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系如图所示，则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M (1
13、,0， )，12N( ，0,0)，S(1，0) 12 12所以 (1，1， )， ( ， ，0)CM 12 SN 12 12因为 00，CM SN 12 12所以 CMSN.(2)解 ( ，1,0)，NC 12设 a(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，则Error!即Error! 令 x2，得 a(2,1，2)因为|cosa， | SN |aSN |a|SN | ，| 1 12322| 22所以 SN 与平面 CMN 所成的角为 45.12解 如图所示以 A 为原点，AB，AD，AS 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 D ，C(1,1,0) ，(0，12，0)S(0,0,1)，A(0,0,0)所以 ， (1,1，1)， ，SD (0，12， 1) SC AD (0，12，0)设平面 SDC 的法向量为 n( x，y，z) ，则 n ，n ，SD SC 所以Error! 即Error!令 z1，则 x1，y 2.此时 n(1,2,1)而 是平面 SAB 的法向量，则 .AD |AD n|AD |n| 63观察图形可知平面 SCD 与平面 SAB 所成角的余弦值为 .63
