1、2.2.1 综合法和分析法明目标、知重点 1.了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题1综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式2一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法3分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等 )为止情境导学证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证
2、明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识探究点一 综合法思考 1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知 a，b0，求证：a(b 2c 2)b( c2a 2)4abc.证明 因为 b2c 22bc ，a0，所以 a(b2c 2)2abc .又因为 c2a 22ac ，b0，所以 b(c2a 2)2abc.因此 a(b2c 2)b(c 2a 2)4abc.总结：此证明过程运用了综合法综合法的定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论
3、证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法思考 2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答 因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理例 1 在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A，B，C 成等差数列，a，b，c 成等比数列，求证：ABC 为等边三角形证明 由 A，B，C 成等差数列，有 2BAC，由于 A，B ，C 为ABC 的三个内角，所以 ABC.由，得 B ，3由 a，b，c 成等比数列，有 b2ac，由余弦定理及，可得 b2a 2c 22a
4、c cos Ba 2c 2ac，再由，得 a2c 2ac ac ，即(ac) 20，从而 ac，所以 AC .由，得 ABC ，3所以ABC 为等边三角形反思与感悟 综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程跟踪训练 1 在ABC 中， ，证明：BC.ACAB cos Bcos C证明 在ABC 中，由正弦定理及已知得 .sin Bsin C cos Bcos C于是 sin Bcos Ccos Bsin C0，即 sin(BC)0，因为0，b0)是怎样证明的？a b2 a
5、b答 要证 ，a b2 ab只需证 ab2 ，ab只需证 ab2 0，ab只需证( )20，a b因为( )20 显然成立，所以原不等式成立a b思考 2 证明过程有何特点？答 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的条件，最终把要证明的结论变成一个显然成立的条件小结 分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理 )为止，这种证明方法叫做分析法思考 3 综合法和分析法的区别是什么？答 综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的
6、是充分条件例 2 求证： ，a a 1 a 2 a 3 x0，且 xy 1，那么( )Axx0，且 xy 1，设 y ，x ，34 14则 ，2xy ，xb0 时，才有 a2b2，只需证： b，则 ac2bc2B若 ，则 abacbcC若 a3b3 且 ab1a1bD若 a2b2 且 ab0，则 b3 且 ab ，故 C 对；对于 D：若Error!，则 D 不成立1a1b2A、B 为ABC 的内角，AB 是 sin Asin B 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 由正弦定理 2R，又 A、B 为三角形的内角，sin A0，sin B0，
7、sin asin A bsin BAsin B2R sin A2Rsin BabAB.3已知直线 l，m，平面 ，且 l，m，给出下列四个命题：若 ，则 lm；若 lm，则 ；若 ，则 lm；若 lm，则 .其中正确命题的个数是( )A1 B2C3 D4答案 B解析 若 l，m ，则 l ，所以 lm，正确；若 l，m， lm ， 与 可能相交，不正确；若 l，m， ，l 与 m 可能平行或异面，不正确；若 l，m， lm ，则 m ，所以 ，正确4设 a，bR ，且 ab，ab2，则必有( )A1ab Babab.a2 b22又因为 ab22 ，ab故 ab1，a2 b22 (a b)2 2
8、ab2即 1ab.a2 b225已知 a，b 为非零实数，则使不等式： 2 成立的一个充分不必要条件是( )ab baAab0 Bab0，b0，b0答案 C解析 与 同号，由 2，知 0，b0，求证：3a 32b 33a 2b2ab 2.证明 方法一 3a 32b 3(3a 2b2ab 2)3a 2(ab) 2b 2(ba)(3a 22b 2)(ab)因为 ab0，所以 ab0,3a 22b 20，从而(3a 22b 2)(ab)0，所以 3a32b 33a 2b2ab 2.方法二 要证 3a32b 33a 2b2ab 2，只需证 3a2(ab)2b 2(ab)0，只需证(3a 22b 2)(
9、ab)0，ab0，ab0,3a 22b 22a22b 20，上式成立二、能力提升8.已知 a、b、cR，且 abc0，abc 0，则 的值( )1a 1b 1cA一定是正数 B一定是负数C可能是 0 D正、负不能确定答案 B解析 (abc )2a 2b 2 c22(abbcca)0，又 abc0，a，b，c 均不为 0，a 2b 2c 20.abbccacb解析 a 2c 22(8 4 )4 6 0，a c. 1，cb.3 3 48 36cb 6 27 3 7 36 210.已知 pa (a2)，q2a 24a2(a2)，则 p、q 的大小关系为_1a 2答案 pq解析 pa2 22 24，a
10、 24 a22( a2) 20(*)因为10)，以过焦点的弦为直径的圆必与 x 相切p2证明 (如图)作 AA、BB垂直于准线，取 AB 的中点 M，作 MM垂直于准线只需证|MM| |AB|.12由抛物线的定义：|AA|AF| ，|BB|BF|，所以|AB|AA|BB|.因此只需证|MM| (|AA|BB |)，12根据梯形的中位线定理可知上式是成立的所以以过焦点的弦为直径的圆必与 x 相切p2三、探究与拓展14.已知 a、b、c 是不全相等的正数，且 0abc.a b2 b c2 a c2由公式 0， 0，a b2 ab b c2 bc 0.a c2 ac又a，b，c 是不全相等的正数， abc.a b2 b c2 a c2 a2b2c2即 abc 成立a b2 b c2 a c2log x log x log x logxalog xblog xc 成立a b2 b c2 a c2
