1、2.1.2 演绎推理明目标、知重点 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系1演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法，通常称为演绎推理演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等) 按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程三段论是演绎推理的主要形式2三段论(1)三段论的组成大前提提供了一个一般性的原理小前提指出了一个特殊对象结论揭示了一般原理与特殊对象的内在联系(2)三段论的常用格式为MP( M 是 P)SM(S 是 M)SP(S 是 P)情境导学小明是一名高二年级的学生，17 岁，迷恋
2、上网络，沉迷于虚拟的世界当中由于每月的零花钱不够用，便向亲戚邻人要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财但小明却说我是未成年人而且就抢了 50 元，这应该不会很严重吧？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？探究点一 演绎推理与三段论思考 1 分析下面几个推理，找出它们的共同点(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被 2 整除，(2 1001)是奇数，所以(2 1001) 不能被 2 整除；(3)三角函数都是周期函数，tan 是三角函数，因此 tan 是周期函数；(4)两条直线平行，同旁内角互补如果A 与B 是两条平行直线的
3、同旁内角，那么AB 180.答 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理思考 2 演绎推理有什么特点？答 演绎推理是从一般到特殊的推理演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实思考 3 演绎推理的结论一定正确吗？答 在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的思考 4 演绎推理一般是怎样的模式？答 “三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情况；(3)结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断例 1 将下列演绎推理写成三段论的形式
4、(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，A，B 是等腰三角形的底角，则 A B；(3)通项公式为 an2n3 的数列 an为等差数列解 (1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提A，B 是等腰三角形的底角，小前提AB .结论(3)数列a n中，如果当 n2 时，a na n1 为常数，则 an为等差数列，大前提通项公式为 an2n3 时，若 n2，则 ana n1 2n32(n1) 32(常数) ，小前提通项公式为 an2n3 的数列a n为等差
5、数列结论反思与感悟 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提跟踪训练 1 把下列推断写成三段论的形式：(1)因为ABC 三边的长依次为 3,4,5，所以ABC 是直角三角形；(2)函数 y2x5 的图象是一条直线；(3)ysin x (xR)是周期函数解 (1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提ABC 三边的长依次为 3,4,5，而 324
6、25 2，小前提ABC 是直角三角形结论(2)一次函数 ykxb(k0)的图象是一条直线，大前提函数 y2x5 是一次函数，小前提函数 y2x5 的图象是一条直线结论(3)三角函数是周期函数，大前提ysin x (xR)是三角函数，小前提ysin x (xR)是周期函数结论 探究点二 三段论推理中的易错点例 2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数，大前提3 是整数，小前提3 是自然数结论(2)常函数的导函数为 0，大前提函数 f(x)的导函数为 0，小前提f(x)为常函数结论(3)无限不循环小数是无理数，大前提(0.333 33)是无限不循环小数，小前提13是无理数
7、结论13解 (1)结论是错误的，原因是大前提错误自然数是非负整数(2)结论是错误的，原因是推理形式错误大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为 0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为 0”(3)结论是错误的，原因是小前提错误. (0.333 33)是循环小数而不是无限不循环小数13反思与感悟 演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确跟踪训练 2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以北京大学分布在中国各地结论(2
8、)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提所以菱形是正多边形结论解 (1)推理形式错误大前提中的 M 是“中国的大学” ，它表示中国的各所大学，而小前提中 M 虽然也是“中国的大学 ”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误(2)结论是错误的，原因是大前提错误因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形探究点三 三段论的应用例 3 如图，在锐角三角形 ABC 中，AD BC，BEAC ，D，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到点 D，E 的距离相等证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在ABD
9、中，AD BC，即ADB 90，小前提所以ABD 是直角三角形结论同理，AEB 也是直角三角形(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提因为 DM 是直角三角形 ABD 斜边上的中线，小前提所以 DM AB.结论12同理 EM AB.12所以 DMEM.反思与感悟 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提) ，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提) ，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论如果大前提是显然的，则可以省略跟踪训练 3 已知：在空间四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，如图所示，求证：EF平面 BCD.证
10、明 三角形的中位线平行于底边，大前提点 E、F 分别是 AB、AD 的中点，小前提所以 EFBD .结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提EF平面 BCD，BD 平面 BCD，EFBD，小前提EF平面 BCD.结论1下面几种推理过程是演绎推理的是_两条直线平行，内错角相等，如果A 与B 是两条平行直线的内错角，则AB；某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过 50 人；由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质；在数列a n中 a11，a n (n2)，由此归纳出 an的通项公式12(an 1 1an 1)答案 解
11、析 是演绎推理，是归纳推理，是类比推理2推理：“矩形是平行四边形，三角形不是平行四边形，所以三角形不是矩形 ”中的小前提是_答案 解析 三段论推理中小前提是指研究的特殊情况3把“函数 yx 2x 1 的图象是一条抛物线 ”恢复成三段论，则大前提： _；小前提：_；结论：_.答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数 yx 2x 1 是二次函数 函数 yx 2x1 的图象是一条抛物线4.如图，在ABC 中，ACBC，CD 是 AB 边上的高，求证：ACDBCD.证明：在ABC 中，因为 CDAB ，ACBC，所以 ADBD, 于是ACDBCD. 则在上面证明的过程中错误的是_(只填序号)答案 解析
12、由 ADBD，得到ACDBCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角” ，小前提是“ADBD” ，而 AD 与 BD 不在同一三角形中，故错误呈重点、现规律1演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确2在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.一、基础过关1下列表述正确的是_归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理答案 解析 根据归纳推理，演绎推理，类比
13、推理的概念特征可以知道正确2三段论：“小宏在 2013 年的高考中考入了重点本科院校；小宏在 2013 年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；小宏在 2013 年的高考中正常发挥”中， “小前提”是_(填序号)答案 解析 在这个推理中，是大前提，是小前提，是结论3正弦函数是奇函数，f(x )sin(x 21)是正弦函数，因此 f(x)sin (x21) 是奇函数以上推理错误的原因是_答案 小前提不正确解析 由于函数 f(x)sin (x 21)不是正弦函数故小前提不正确4 “四边形 ABCD 是矩形，四边形 ABCD 的对角线相等 ”以上推理的大前提是_答案 矩形都是对角线相等的四边形解
14、析 利用三段论分析：大前提：矩形都是对角线相等的四边形；小前提：四边形 ABCD 是矩形；结论：四边形 ABCD 的对角线相等5给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)已知直线 b平面 ，直线 a平面 ；(小前提)则直线 b直线 a.(结论)那么这个推理错误的原因是_答案 大前提错误6在求函数 y 的定义域时，第一步推理中大前提是当 有意义时，a0；小前log2x 2 a提是 有意义；结论是 _log2x 2答案 y 的定义域是4 ，)log2x 2解析 由大前提知 log2x20，解得 x4.7用三段论证明：直角三角形两锐角之和为 90.证明 因为任意三
15、角形内角之和为 180(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为 180(结论)设直角三角形两个锐角分别为A、B，则有AB90180 ，因为等量减等量差相等(大前提) ，( AB90)90180 90(小前提) ，所以AB90(结论)二、能力提升8由“(a 2a1)x 3，得 x ”的推理过程中，其大前提是 _3a2 a 1答案 a0，bcab ac解析 a 2a1(a )2 0.12 34(a 2a1) x3x .3a2 a 1其前提依据为不等式的乘法法则：a0，bcabac.9设 a，b 为两条直线， 是两个平面，则 ab 的一个充分条件是_(填序号)a，b， ；
16、 a ，b，；a，b， ； a ，b，.答案 (或)10已知函数 f(x)满足：f(1) ，4f (x)f(y)f (xy )f (x y)(x，yR) ，则 f(2 010)14_.答案 12解析 令 y1 得 4f(x)f(1)f(x1)f(x1)即 f(x)f(x1)f(x1) 令 x 取 x1 则 f(x1)f(x2) f (x)由得 f(x)f(x 2)f(x) f(x1)，即 f(x 1)f(x 2)f(x)f(x 3)，f(x 3)f(x 6)，f(x)f(x6)即 f(x)周期为 6，f(2 010)f(63350)f(0)，对 4f(x)f(y)f(xy )f(x y )，令
17、 x1，y0，得 4f(1)f(0)2f(1)，f(0) 即 f(2 010) .12 1211用演绎推理证明函数 f(x)|sin x|是周期函数证明 大前提：若函数 yf(x )对于定义域内的任意一个 x 值满足 f(xT)f(x)( T 为非零常数)，则它为周期函数，T 为它的一个周期小前提：f(x)|sin(x)| |sin x|f (x)结论：函数 f(x)|sin x|是周期函数12S 为ABC 所在平面外一点，SA平面 ABC，平面 SAB平面 SBC.求证：AB BC .证明 如图，作 AESB 于 E.平面 SAB平面 SBC，AE平面 SBC，AEBC.又SA平面 ABC，
18、SA BC .SAAEA ，SA平面 SAB，AE平面 SAB，BC平面 SAB.AB平面 SAB.ABBC.三、探究与拓展13.设 f(x) ，g(x ) (其中 a0 且 a1) ax a x2 ax a x2(1)523 请你推测 g(5)能否用 f(2)，f(3)，g(2)，g(3) 来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广解 (1)由 f(3)g(2)g(3) f(2) ，a3 a 32 a2 a 22 a3 a 32 a2 a 22 a5 a 52又 g(5) ，因此，a5 a 52g(5)f(3)g(2) g(3)f(2)(2)由 g(5)f(3) g(2)g(3)f(2)，即 g(23) f(3)g(2)g(3)f(2)，于是推测 g(xy)f( x)g(y)g(x)f(y) 证明：因为 f(x) ，g( x) ，(大前提)ax a x2 ax a x2所以 g(xy) ，ax y a x y2g(y) ，f(y ) ，(小前提及结论)ay a y2 ay a y2所以 f(x)g(y)g(x) f(y) ax a x2 ay a y2 ax a x2 ay a y2 g(x y ).ax y a x y2
