1、山西省大同市与阳泉市 2018 届高三第二次教学质量监测试题数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据一元二次不等式的解法化简集合 ，然后根据交集的定义求解即可.详解：根据一元二次不等式的解法可得，结合，故选 C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 A 或不属于集合 B 的元素的集合2. 设复数满足 ，
2、则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得：故选：D3. 已知 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 中， ，所以 .故选 A.4. 某班主任对全班 50 名学生进行了作业量的调查，数据如表：若推断“学生的性别与认为作业量大有关” ，则这种推断犯错误的概率不超过（ ）附：A. 0.01 B. 0.025 C. 0.10 D. 0.05【答案】B【解析】分析：根据表格中所给数据，代入公式 ，求出观测值，把所求的观测值同临界值进行比较，从而可得结果.详解： 根据表中数据得到 ，所以，若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过 ，故选
3、 B.点睛：本题主要考查独立性检验的应用，解题的关键是正确求出这组数据的观测值 ，计算过程一定要细心，避免出现计算错误，属于基础题.5. 把一枚质地均匀、半径为 1 的圆形硬币平放在一个边长为 8 的正方形托盘上，则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外)的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先求出硬币完全落在托盘上硬币圆心所在区域面积，再求出托盘面积，由几何概型概率公式可得结果.详解：如图，要使硬币充全落在托盘上 ，则硬币圆心在托盘内以 为边长的正方形内，硬币在托盘上且没有掉下去，则硬币圆心在托盘内，由几何概型概率公式可得，硬币完全落在托盘上的概率为 ，故选
4、C. 点睛：本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误6. 对任意非零实数 ，若 的运算原理如图所示，则 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】分析：由程序框图可知，该程序的作用是计算分段函数 函数值，由分段函数的解析
5、式计算即可得结论.详解：由程序框图可知，该程序的作用是计算分段函数 函数值，因为 ，故选 A.点睛：算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.7. 下列语句中正确的个数是（ ） ，函数 都不是偶函数；命题“若 ，则 ”的否命题是真命题；若 或 为真，则 ，非 均为真；已知向量 ，则“ ”的充分不必要条件是“与 夹角为锐角”.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案
6、】B【解析】分析：对于， 时可得其错误；对于， 令 ，可得其错误；对于， 假且 为真时，可得其错误；对于 ， 由平面向量数量积的几何意义可得其正确 .详解：对于，因为 时函数 是偶函数，故错误；对于， “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”，令 ，可得到错误；对于， 假且 为真时， 或 为真， 可得到 非 均为假，故 错误；对于，由平面向量数量积的几何意义可知若 “与 夹角为锐角”，则“ ”，若“ ”，则“与 夹角不一定为锐角”（同向时夹角为 ），故正确，故选 B.点睛：本题通过判断命题的真假综合考查四种命题及其关系以及充分条件与必要条件、全称命题与特称命题，判断命题的真假应注意以下几个方面：
7、(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的 “逆命题” “否命题” “逆否命题” ，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.8. 已知椭圆 的左焦点为 ，过点 作倾斜角为 的直线与圆 相交的弦长为 ，则椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由左焦点为 ，可得 ，即 ，求得直线的方程，利用圆心到直线的距离、 弦长公式，列方程求解 ，进而得到所求椭圆方程.详解：由左焦点为 ，可得
8、，即 ，过点 作倾斜角为 的直线的方程为 ，圆心 到直线的距离 ，由直线与圆 相交的弦长为 ，可得 ，解得 ，则椭圆方程为 ，故选 B.9. 已知 ，则 的大小顺序为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 为正实数，且 ，可得： 即 因为函数 单调递增， .故选 A.10. 九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.一块“堑堵”型石材表示的三视图如图所示.将该石材切削、打磨，加工成若干个相同的球，并使每个球的体积最大，则所剩余料体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：作三棱柱底面的内接圆，设内接圆的半径为，利用面积相等求出 ，三棱柱的高为 ，故共有 个
9、球，然后利用几何体的体积减去球的体积，可得结果.详解：如图所示，作三棱柱底面的内接圆，设内接圆的半径为，则 ，得 ，故 ，又 三棱柱的高为 ，故共有 个球，该三棱柱的体积等于 ，剩余材料的体积为 ，故选 C.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形
10、状.11. 已知双曲线 的左焦点为 ， 为虚轴的一端点.若以 为圆心的圆与 的一条渐近线相切于点 ，且 三点共线，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据 垂直于双曲线的渐近线 ，可求出 的关系，从而可求出该双曲线的离心率.详解：以 为圆心的圆与 的一条渐近线相切于点 ，且 三点共线，所以 垂直于双曲线的渐近线 ，故选 D.点睛：本题主要考查双曲线的简单性质及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出;构造 的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的
11、统一定义求解12. 已知函数 的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则的值为（ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】分析：由过原点的直线与函数 在区间 内的图象相切，利用导数知识可求得切线方程，由直线过原点，可求 ，代入 化简可得结果.详解： 函数 的图象与过原点的直线恰有四个交点，直线与函数 在区间 内的图象相切在区间 上， 的解析式为 ，因为切点坐标为 ，切线斜率 ，由点斜式得切线方程为 ，即 ，直线过原点， ，得 ，化简，故选 D. 点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点 求斜率,即求该点处的导数 ；(2
12、) 己知斜率 求切点 即解方程 ；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点 利用 求解. 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 设 ，向量 ，且 ，则 _【答案】【解析】分析：由向量垂直数量积为零，可求出 ，从而 ，根据平面向量的坐标运算以及向量模的公式可得结果.详解： ，向量 ，且 ，解得 ，故答案为 .点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量 的模（平方后需求 ）.14.
13、 设 满足约束条件 则 取得最大值时的最优解为_【答案】【解析】分析：作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用数形结合确定可取最大值时的点的坐标.详解：作出约束条件 表示的可行域，如图：（阴影部分 ），由 得 ，平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最小，此时最大，由 ，解得 ，即 ，所以 取得最大值时的最优解为，故答案为 .点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函
14、数求出最值.15. 甲、乙、丙、丁四人商量去不去看一部电影，他们之间有如下对话:甲说:乙去我才去；乙说:丙去我才去；丙说:甲不去我就不去；丁说:乙不去我就不去.最终这四人中有人去看了这部电影，有人没去看这部电影，没有去看这部电影的人一定是_【答案】丁【解析】如果甲不去，那么丙也不去，乙、丁都不去；如果乙不去，那么丁不去，甲、丙都不去；如果乙不去，那么丁不去，甲、丙也都不去；如果丁不去，那么甲、乙、丙都去了，才符合题意，故答案为丁.16. 已知函数 ，则函数 的最小值是_【答案】【解析】分析：设 ，则 化为 ，化简后利用配方法求解即可.详解：设 ，则 化为当 ， 有最小值 ，即 时，函数 的最小
15、值是 ，故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前 项和为 ，数列 满足 .（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）由 ，可得 ，所以 。（2）由（1）得，由错位相减求和可求得 。试题解析：（）当 时， ，当 时， ，又 符合上式， ， （） ， ， 得， ，【点睛】（1）由于知道 的表达式，所以应用公式 可求的通项 的表达式（2）当数列通项由等差与等比数列相乘时，一般用错位相减法求和。18. 如图，在菱形 中， ， 平面 ， ， 是线段
16、的中点， .（1）证明： 平面 ；（2）求多面体 的表面积.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】分析：（1）设 与 的交点为 ，连接 .可证明 平面 ,由三角形中位线定理可得 ，从而得 平面 ，进而由面面平行的判定定理可得平面 平面 ；又 平面 ， 平面；（2）利用勾股定理计算各棱长，判断各面的形状，利用面积公式计算各表面的面积，从而可得结果.详解：（1）设 与 的交点为 ，连接 . 平面 ， 平面 . 是线段 的中点， 是 的中位线， .又 平面 ， 平面 .又 ，平面 平面 ，又 平面 ， 平面 . （2）连接 ,则由菱形 可得 . 平面 , 平面 ,: ,又 , 平面 ,又 平面
17、 , . ,且 ,四边形 为正方形， ,在 和 中 , , .在 和 中 和 是直角三角形， .四边形 为菱形， , ,又 , .多面体 的表面积 . 点睛：证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.19. 为了保证食品的安全卫生，食品监督管理部门对某食品厂生产甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了 10 个批次的食
18、品，每个批次各随机地抽取了一件，下表是测量数据的茎叶图(单位:毫克).规定:当食品中的有害微量元素的含量在 时为一等品，在为二等品，20 以上为劣质品.（1）用分层抽样的方法在两组数据中各抽取 5 个数据，再分别从这 5 个数据中各选取 2 个，求抽到食品甲包含劣质品的概率和抽到食品乙全是一等品的概率；（2）在概率和统计学中，数学期望（或均值）是基本的统计概念，它反映随机变量取值的平均水平.变量的一切可能的取值 与对应的概率 乘积之和称为该变量的数学期望，记为 .参考公式：变量 的取值为 ， 对应取值的概率 ，可理解为数据出现的频率 ，.每生产一件一等品盈利 50 元，二等品盈利 20 元，劣
19、质品亏损 20 元，根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、 二等品、劣质品的概率，若分别从甲、乙食品中各抽取 1 件,求这两件食品各自能给该厂 带来的盈利期望 .若生产食品甲初期需要一次性投入 10 万元，生产食品乙初期需要一次性投人 16 万元，但是以目前企业的状况，甲乙两条生产线只能投资其中一条.如果你是该食品厂负责人，以一年为期限，盈利为参照，请给出合理的投资方案.【答案】(1) ；(2).答案见解析；.答案见解析.【解析】分析：（1）利用列举法从 个数据中各选取 个，共有 种选法，其中抽到食品甲包含劣质品有 种,抽到食品乙全是一等品的
20、有 种，由古典概型概率公式可得结果；（2）利用统计图能求出分别从甲、乙食品中各抽取 件，这两种食品各自能给该厂带来的盈利期望 ， ；假设一年都生产 件甲和乙，则甲的利润函数为 ，则乙的利润函数为 . 当 时，；当 时， ，由此能求出结果.详解：（1) 用分层抽样方法抽到食品甲是一等品、二等品、劣质品的样本个数分别为 ，抽到食品乙是一等品、二等品、劣质品的样本个数分别为 3，1，1，记为 ，食品甲 5 个样本抽取 2 个有 共 10 种，包含劣质品的有 共 4 种. .食品乙 5 个样本抽取 2 个有 共 10 种，全是一等品的有 共 3 种. .（2） 元元假设一年都生产 件甲和乙 ，则甲的利
21、润函数为 ，则乙的利润函数为 .当 时， ；当 时， ，即年产量小于 10000 件时投资甲生产线，等于 10000 件时投资两条生产线一样，大于 10000 件时投资乙生产线.点睛：利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 ， . ，再 ， 依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20. 设抛物线 ，直线 交抛物线 于 两点，且 .（1）求抛物线 的方程；（2）互相垂直的直线 分别切抛物线
22、于 两点，试求两切线交点的轨迹方程.【答案】(1) ；(2) .【解析】分析：（1）联立 消去 得 ，利用韦达定理，根据焦点弦公式可得 ，从而可得结果； （2）设 ，利用导数以及直线的点斜式方程求出 的方程，根据根与系数的关系以及直线垂直斜率之积为 ，可得出两切线交点的轨迹方程.详解：（1)联立 消去 得 ， ， ，抛物线 的方程为 .（2）设切点 ，不妨设 .当 时， ， ，. 在抛物线 上，. ， ，即 .当 时， ， ，. 在抛物线 上，. ， ，即 .由得， 是关于的方程 ，即 的两根， . ， ，即 ， . ，即 .两切线交点的轨迹方程为 .点睛：求轨迹方程的常见方法有:直接法，设出
23、动点的坐标 ，根据题意列出关于 的等式即可；定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；参数法，把 分别用第三个变量表示，消去参数即可；逆代法，将 代入 .21. 已知函数 .（1）求 在 上的最值；（2）若 ，若 恒成立，试求 的取值范围.【答案】(1) ， ；(2) .【解析】分析：（1）求出 ，在定义域内，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得的范围，可得函数 的减区间，根据单调性可得 在 上的最值；（2） 恒成立，等价于恒成立，分三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，求出函数最值，结合函数图象， 即可筛选出，使 恒成立 的取值范围.详解：（1）由 ， ，得 ， ，
24、在 上单调递增，当 时，当 时， （2）根据题意，得 ，即 .当 时， 恒成立， ；当 时， ，令 ， ， ， ，即 ，要使 恒成立， ；当 时， 恒成立，令 ， ，当 时， ，当 时， ，即当 时， . .综上所述， .点睛：求函数 极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么在 处取极大值，如果左负右正（左减右增） ，那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.请
25、考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 (为参数)，圆 与圆 外切于原点 ，且两圆圆心的距离 ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆 和圆 的极坐标方程；（2）过点 的直线 与圆 异于点 的交点分别为点 ，与圆 异于点 的交点分别为点 ，且 ，求四边形 面积的最大值.【答案】(1)圆 的极坐标方程为 ，圆 的极坐标方程 .(2)9.【解析】试题分析：（1）根据极坐标和普通方程的转化公式得到极坐标方程；（2），根据极径的定义得到 ，从而得到最值.解析：（1）由圆 的参数方程 （为参数） ，得 ，所以
26、 ，又因为圆 与圆 外切于原点 ，且两圆圆心的距离 ，可得 ， ，则圆 的方程为 所以由 得圆 的极坐标方程为 ，圆 的极坐标方程为 （2）由已知设 ，则由 可得 ， ，由（1）得 ，所以所以当 时，即 时， 有最大值 9 23. 设函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2） ，都有 恒成立，求 的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）对 x 分类讨论，得到三个不等式组，分别解之，最后求并集即可；（2）对于，都有 恒成立，转化为求函数的最值问题即可.试题解析：解： 当 m=-2 时， ,当 解得 当 恒成立当 解得此不等式的解集为 .当 时 ，当 时，不等式化为 .由当且仅当 即 时等号成立.， .当 时，不等式化为 .，令 ， .，在 上是增函数.当 时， 取到最大值为 .综上 .
