1、2017 届浙江省杭州市学军中学高三上学期第三次月考数学试题一、单选题1已知集合 ，集合 ，则 为（ ）A B C D 【答案】C【解析】由题意可得 , ,所以 = ,选 C.2命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A B C D 【答案】C【解析】试题分析： ，所以选 A.【考点】充要关系，不等式恒成立3设 表示三条不同的直线， 表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A 若 ， ，则 ； B 若 ，则 ；C 若 ，则 ； D 若 ， ， ，则 【答案】D【解析】【分析】根据线面关系分析，举反例说明 A,B,C 不成立，根据线面平行判断与性质定理说明 D成立.【详解】若 也可
2、满足 ， ，则 A 错；若 n ，则 不成立，B 错；若 也可满足 ，则 C 错；若 ， ， ，则 内一条直线 ， 内一条直线 ,则 ,因此 ,从而 ,即 选 D.【点睛】本题考查空间线面关系，考查空间想象能力以及基本推理能力.4函数 的图象是（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】先根据趋向于负无穷的函数值正负，舍去 C,D;再根据单调性确定选 A.【详解】因为趋向于负无穷是 0,所以舍去 C,D;因为 ，所以当 时 ，所以选 A.【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上
3、下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题5将函数 的图象经怎样平移后所得的图象关于点 中心对称（ ）A 向左平移 B 向右平移 C 向左平移 D 向右平移【答案】B【解析】【分析】先根据平移规律得解析式，再根据图象关于点 中心对称得平移量，最后比较对照进行选择.【详解】函数 的图象向左平移 得 ，因为图象关于点 中心对称，所以 ,当 k=0 时 ,选 B.【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“ 先伸缩，后平移 ”
4、也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言.6已知数列 的各项均为正整数，其前 项和为 ，若 且，则 ( )A 4740 B 4725 C 12095 D 12002【答案】B【解析】【分析】先寻求数列周期，再根据周期求和.【详解】因此 选 B.【点睛】由前几项归纳数列通项的常用方法：观察(观察规律) 、比较 (比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想( 联想常见的数列) 等方法.7若 三点不共线， ， ，则 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理以及向量数量积化简 ，再根据三角形三边不等关系确定范围.【详解
5、】,因为 ,因此 ，选 D.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线位置关系，是解决这类问题的一般方法.8如图，已知在四棱锥 PABCD中，底面 AB是菱形 , PA底面 BCD，1,AB,(0)2，则四棱锥 的体积 V的取值范围是（ ）A 21,)63 B 21(,6 C 21(,63 D 21,)6【答案】A【解析】试题分析：由已知，四边形 ABCD 的面积 S=sin，由余弦定理可求得 12cos2cosACPA1sin32coV，所以，当 cos=0
6、，即 = 时，四棱锥2sin161co6VV-ABCD 的体积 V 的最小值是 ，当 cos=0，即 =0 时，四棱锥 V-ABCD 的体积 V的最小值是 ，0132P-ABCD 的体积 V 的取值范围是 1,)63【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积二、填空题9一个正四棱锥的所有棱长均为 2，其俯视图如下图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为_，体积为_【答案】 【解析】【分析】先确定正四棱锥的正视图为一个等腰三角形，再求面积，最后根据锥体体积公式求体积.【详解】正四棱锥的正视图为一个等腰三角形，底为 2，高为 ，所以面积为正四棱锥的体积为【点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定
7、的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解10向量 ， ， 若 ，则 2(,m） (sin,co),(0)x /mntax；若 与 的夹角为 ，则 n3x【答案】 ， 152【解析】试题分析： ， ；：显然 ，/mn2cos(sin)0ta1xxx|1mn ，即 ， ，又1cos32n 2sincosxsin()42x，(0,)x 54612x【考点】1平面向量共线的坐标表示；2平面向量数量
8、积；3三角恒等变形11记公差 不为 0 的等差数列 的前 项和为 ， ， 成等比数列，则公差 =_；数列 的前 项和为 =_【答案】1【解析】【分析】根据条件列方程组解得首项与公差，再代入等差数列求和公式得结果.【详解】因为 ， 成等比数列，所以 ，【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质。12如图在三棱锥 中， ，且 ， 分别是和 的中点则异面直线 与 所成的角的余弦值为_，直线 与面 所成角大小为_.【答案】 【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标
9、系，利用向量求线线角与线面角.【详解】因为 ，所以以 S 为坐标原点，SA,SB,SC 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设 ，则因为 ，所以异面直线 与 所成的角的余弦值为 ，面 一个法向量为 则由 得 即直线与面 所成角大小为 .【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.13设函数 ，若 ， 则 _.【答案】【解析】【分析】根据自变量与 1 大小分类讨论，解方程组可得结果.【详解】因为 ，所以 ，所以 ，因此 ，解得 .【
10、点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.14设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为 5，则 的最小值为_【答案】【解析】【分析】先作可行域，确定目标函数 取最大值时所过的点，再根据基本不等式求最值.【详解】先作可行域，则直线 过点 A(1,1)取最大值,所以 ,当且仅当 时取等号，即 的最小值为 .【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意
11、“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”( 等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15若关于 的不等式 至少有一个正数解，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】分别作函数 图像，根据图像确定满足条件的实数 的取值范围.【详解】作函数 图像，则 过点（0，2）时 ； 与 相切时，由图知满足条件的实数 的取值范围为 .【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数 )问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数
12、的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等三、解答题16已知 中角 对边分别为 ,且满足 .（1 ）求 的值；（2 ）若 ,求 的面积【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，根据三角形内角关系以及两角和正弦公式、诱导公式、配角公式化简得 解得 的值；（2）根据正弦定理得b:a= ,联立 解得 a,b;最后根据三角形面积公式求结果.【详解】（1 ） ， 即 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 ，得 （2 ）设ABC 外接圆半径为 R，由正弦定理得：， .【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转
13、化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.17已知数列 是首项为 2 的等差数列，其前 项和 满足 数列 是以为首项的等比数列，且 （1 ）求数列 的通项公式；（2 ）设数列 的前 项和为 ，若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围【答案】 （1） ， ；（2）【解析】【分析】（1）由题意得 ，解得 ，由等比数列性质得 ，解得公比 ，最后根据等差数列以及等比数列通项公式求结果， （2）先根据等差数列以及等比数列
14、求和公式求 ， ，再利用裂项相消法求 ，代入化简得 ，最后根据数列单调性得 ，即得 的取值范围.【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由题意得， ，解得 ， 由 ，从而公比 ， （2）由（1）知 又 ，对任意 ， 等价于恒成立，即 对 递增， ， .即 的取值范围为【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例) ，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 .18在 中， ，以 的中线 为折痕，将 沿 折起，如图所示，构成二面
15、角 ,在面 内作 ，且 （1 ）求证： 平面 ；（2 ）如果二面角 的大小为 ，求二面角 的余弦值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据计算得 为等腰直角三角形，所以 从而 ，根据线面平行判定定理得结论， （2）根据二面角定义得面 面 ，再根据面面垂直性质定理得面 ，设 中点为 ，根据计算可得 ， ，即得 为二面角的平面角，最后根据解三角形得结果.【详解】（1）由 得 ，所以 为等腰直角三角形，由 为 的中点得 ，以 的中线 为折痕翻折后仍有因为 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 （2）因为二面角 的大小为 ，所以面 面 ，又面 面 , ，所以 面 ， 因此 ，又
16、， 所以 面 ，从而 由题意 ，所以 中， 设 中点为 ，因为 ，所以，且 ，设 中点为 ，则 ，由 得 ，所以 为二面角 的平面角， 连结 ，在 中，因为 ，所以 在 中 ，于是在 中， 在 中， ，所以在 中， 因此二面角 的余弦值为【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19已知函数 （1 ）当 ，且 是 上的增函数，求实数 的取值范围；（2 ）当 ，且对任意实数 ，关于 的方程 总有三个不相等的实数根，求实数 的取值范围【答案】 （1）
17、；（2） 【解析】试题分析：（1）分类讨论将 中的绝对值号去掉，再根据二次函数的性质得到关于 的不等式组，即可求解；（2） 是由两个二次函数构成的分段函数，对的取值讨论两个二次函数对称轴的位置，结合二次函数的性质，再利用函数图象，即可求解试题解析：（1） ，由于 在 上递增， ；（2） ， ，两对称轴分别是 ，当 时， ，此时 在 上递增，在 上递减，在上递增， ， ，由题得 ，对 恒成立，即 ，对 恒成立，而 时， ；当 时， ，此时 在 上递增，在 上递减，在上递增， ， ，由题得 ，对恒成立，即 ，对 恒成立，对 对 恒成立得， 或，或 ， ，同理对 ，对 恒成立，得 ， 当 时，；综上
18、，由可知，所求的范围是 【考点】1二次函数综合题； 2分类讨论的数学思想【思路点睛】解决含有参数的动函数的常见方法有：1参变分离，转化成固定函数在固定区间上的最值问题，2对参数的讨论，与恒成立问题，根的分布问题相结合；3零点的情况，与零点存在，唯一性相结合；3 掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练掌握等价转化和准确表述；3数形结合思想20 （本题满分 14 分）各项为正的数列 满足 , ，na122*1,naN（1 ）取 ，求证：数列 是等比数列，并求其公比；1na1n（2 ）取 时，令 ，记数列 的前 项和为 ，数列 的前 项2nbanbnSnb之积为 ，求证：对任意正整数 ，
19、 为定值nT1nTS【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：第一问根据题中所给的数列的递推公式，结合新数列的形式，对递推公式进行变形，从而求得相邻两项之间的比值为一个常数，从而确定出公比是多少，即为等比数列，第二问求得对应的项的和与项的积，从而求得为定值，所以求解的过程即为证明的过程试题解析：（1）222110nnnaa两边同除 可得： 2na2110nn（ ） 15n因为 ，所以 为常数，故数列 是等比数列，公比为0n1+5n 1na（2 ）由 211 122n nnnnaab 所以+12123111nnn nnaTb a 11+1=nnnnaaa 所以 ，故 为定值1211=2nnnnSaaa +1nnTS2【考点】等比数列的证明，定值问题的求解
