1、第 1 页，共 16 页2019 届福建省泉州市永春县高三年永春二中，永春五中数学科期中考联考试 数学（理）卷 学校:_姓名：_班级：_考号：_一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 若复数（1-i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. (,1) (,1) (1,+) (1,+)2. 设集合 M=x|x2-3x-40 ，N=x|0 x5，则 MN=（ ）A. B. C. D. (0,4 0,4) 1,0) (1,03. =（1，-1）， =（-1，2）则（2 + ） =（ ） A. B. 0 C. 1 D. 214. 已
2、知 a=21.2，b= ，c =2log52，则 a，b，c 的大小关系为（ ）2.A. B. C. D. 5. 已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4，则实数 a的值是（ ）A. B. C. D. 2 4 6 86. 某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ）A. 192 种 B. 216 种 C. 240 种 D. 288 种7. 将函数 的图象向平左移 个单位，得到函数 的图()=(24) 8 ()象，则下列说法不正确的是（ ）A. (6)=12B. 在区间 上是增函数()(58,7
3、8)第 2 页，共 16 页C. 是 图象的一条对称轴=2 ()D. 是 图象的一个对称中心(8,0)()8. 已知某几何体的三视图(单位： )，如图所示，则此几何体的外接球的体积为A. 923B. 363C. 6433D. 939. 已知 sin（ -）= ，则 cos（ +2）的值是（ ）6 13 23A. B. C. D. 79 13 13 7910. 已知 F1，F 2 是椭圆 的左右两个焦点，若椭圆上存)0(12bayx在点 P 使得 PF1PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. ),5),5,0(2,0(11. 函数 y=xln|x|的大致图象是（ ）A.
4、 B. C. D. 第 3 页，共 16 页12. 设函数 是奇函数 f（x）x R 的导函数，f（-1 ）=0，当 x0 时，)(xf则使得 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ）A. B. (,1)(0,1) (0,1)C. D. (1,0)(1,+) (,1)二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知向量| |=2，| |=1， ， 的夹角为 60，如果 （ + ），则 = _ 14. 已知 m、n 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，给出下列命题：若 ，m ，则 m；若 m，n ，且 mn，则 ；若 m，m，则 ；若 m，n，且 mn，则 其中真命题的序号是
5、_ 15. 甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是_16. 已知函数 ，其中 e 是自然对数的底数若 f(a-1)xexf12)(3+f(2a2)0，则实数 a 的取值范围是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17. 已知 an是等差数列， bn是等比数列，且b2=3， b3=9， a1=b1，a 14=b4（1）求 an的通项公式；（2）设 cn
6、=an+bn，求数列c n的前 n 项和第 4 页，共 16 页18. 在锐角ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且2asinB= b3（1）求角 A 的大小；（2）若 a=4， b+c=8，求 ABC 的面积19. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 是等边三角形， ,已知 . 2,BCA（I）求证：平面 平面 ； （II）求二面角 的余弦值.第 5 页，共 16 页20. 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行 4 轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 、 、 、 ，且各轮问题能否正确56 4
7、5 34 13回答互不影响（）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（）求该选手至多进入第三轮考核的概率；（）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为 X，求随机变量 X的分布列和期望21. 设 a 为实数，函数 f（x）= ex-2x+2a，x R（1）求 f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当 aln2-1 且 x0 时，e xx 2-2ax+122. 选做题（二选一） 选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),=2+= 3曲线 C 的极坐标方程为 12cos（1）求曲线 C 的直角坐标方程.第 6 页，共 16 页（2）求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.选
8、修 4-5 ：设函数 f（x ）=|2x -3|+|x-5|（1）求不等式 f（x）4 的解集；（2）若 f（x）a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围第 7 页，共 16 页答案和解析1.【答案】B【解析】解：复数（1-i）（a+i）=a+1+（1-a）i 在复平面内对应的点在第二象限， ，解得 a-1 则实数 a 的取 值范围是（-，-1）2.【答案】B【解析】解：由 x2-3x-40，得-1x4M=x|x2-3x-40=x|-1x4 ，又 N=x|0x5，MN=x|-1x4x|0x5=0， 4）3.【答案】C【解析】解：因为 =（1，-1）， =（-1，2）则（2 + ） =（1，0
9、）（1，-1）=1；4.【答案】C【解析】解：b=（ ）-0.2=20.22 1.2=a， ab1 c=2log52=log541， abc 5.【答案】B【解析】解：圆 x2+y2+2x-2y+a=0 即（x+1 ）2+（y-1）2=2-a，故弦心距 d= = 再由弦长公式可得 2-a=2+4，a=-4，第 8 页，共 16 页6.【答案】B【解析】解：最前排甲，共有 =120 种，最前只排乙，最后不能排甲，有 =96 种，根据加法原理可得，共有 120+96=216 种 7.【答案】D【解析】解：把函数 的图象向左平移 个单位，得到函数图象的解析式 g（x）=cos2（x+ ）- =cos
10、2x，g（ ）=cos = ，故 A 正确；当 x（ ）时，2x （ ），g（x）在区间 上是增函数，故 B正确；g（ ）=cos=-1， 是 g（x）图象的一条对称轴，故 C 正确；g（ ）=cos（- ）= ， 不是 g（x）图象的一个对称中心，故 D 错误8.【答案】A【解析】解：由三视图知原几何是四棱锥 S-ABCD，其中 SC 与底面 ABCD 垂直，AB=BC=2， SC=1，如图，则四棱锥 S-ABCD 的外接球的球心在 SA 的中点，SA= ，所以球的半径为 ，此几何体的外接球的体积为 .第 9 页，共 16 页故选 A.9.【答案】A【解析】解：cos （ +2）=-cos（
11、 -2）=-cos2（ ）=-1-2 =-（1- ）=-10.【答案】B【解答】解：F 1，F2 是椭圆 (ab0)的左右两个焦点，离心率 0e1，F 1（-c，0），F2（c，0），c2=a2-b2， 设点 P（x，y），由 PF1PF2，得（x-c，y）（x+c ，y）=0，化简得 x2+y2=c2， 联立方程组 ，整理，得 x2= (2c2a2) 0， 解得 e ，又 0e1， 故选 B11.【答案】C【解析】第 10 页，共 16 页解：令 f（x）=xln|x|，易知 f（-x）=-xln|-x|=-xln|x|=-f（x），所以该函数是奇函数，排除选项 B； 又 x0 时，f （x
12、）=xlnx，容易判断，当 x+时， xlnx+，排除 D 选项； 令 f（x）=0，得 xlnx=0，所以 x=1，即 x0 时，函数图象与 x 轴只有一个交点，所以 C 选项满足题意 12.【答案】A【解析】解：设 g（x）= ，则 g（x）的导数为：g（x）= ，当 x 0 时总有 xf（x）f（x）成立，即当 x0 时，g（x）恒小于 0，当 x 0 时，函数 g（x）= 为减函数，又g（-x）= = = =g（x），函数 g（x）为定义域上的偶函数，又g（-1）= =0，函数 g（x）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式 f（x）0 等价于 xg（x）0，即 或 ，解得 0x1
13、或 x-1f（x）0 成立的 x 的取值范围是（-， -1）（0，1）13.【答案】-4【解析】解：向量| |=2，| |=1， ， 的夹角为 60， （ + ）， （ + ）=0， 2+ =0， 第 11 页，共 16 页即 4+21 =0， 解得 =-4， 14.【答案】【解析】解：若 ，m，则 m 或 m，故不正确； 若 m，n，且 mn， 则由平面与平面垂直的判定定理知 ，故正确； 若 m，m， 则由平面与平面垂直的判定定理知 ，故正确； 若 m，n，且 mn，则 与 相交或平行，故不正确 故答案为： 15.【答案】乙【解析】解：先假设甲说的对，即甲或乙申请了但申 请人只有一个，（1）
14、如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申 请” 就是错的，丁说“乙申请 了” 也是错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请（ 2）如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申 请” 可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“ 乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意16.【答案】-1， 12【解析】【分析】函数 f（x）=x3-2x+ex- 的导数为：f（x）=3x2-2+ex+ -2+2 =0，可得 f（x）在 R 上递增；又 f（-x）+f（x）=（-x）3+2x+e-x-ex+x3-2x+ex- =0，可得 f（
15、x）为奇函数，第 12 页，共 16 页则 f（a-1）+f（2a2）0，即有 f（2a2）-f（a-1）由 f（-（a-1）=-f（a-1），f（2a2）f（1-a），即有 2a21-a，解得-1a ，故答案为：-1， 17.【答案】解：（1）设a n是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列，由 b2=3，b 3=9，可得 q= =3，32bn=b2qn-2=33n-2=3n-1；即有 a1=b1=1，a 14=b4=27，则 d= =2，14113则 an=a1+（n-1）d=1+2 （n-1）=2n-1 ；（2）c n=an+bn=2n-1+3n-1，则数列c n的前 n
16、项和为（1+3+ +（2n-1）+（1+3+9+3 n-1）= n2n+12 1313=n2+ 31218.【答案】解：（1）ABC 中， ，2=3根据正弦定理，得 ，2=3锐角 ABC 中，sinB0，等式两边约去 sinB，得 sinA= 32A 是锐角ABC 的内角，A= ；3（2）a=4，A= ，3由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA，得 16=b2+c2-2bccos ，3化简得 b2+c2-bc=16，b+c=8，平方得 b2+c2+2bc=64，两式相减，得 3bc=48，可得 bc=16第 13 页，共 16 页因此，ABC 的面积 S= bcsinA= 16sin =
17、4 12 12 3 319.【答案】证明：（I）在 中， ,=2,=22 ,2+2=2 ,又 ,面 面 ,面 ,面 又 ，面 平面 平面 ; 解：（II）如图建立 空间直角坐标系， ,(0,0,0),(2,0,0),(1,0,3),(0,2,0) ,=(1,2,3),=(2,2,0),=(0,2,0)设平面 的法向量 ,=(1,1,1)由 ,=0=0 , 21+21=0121+31=0令 ,1=1 ,1=1,1=33 ,=(1,1,33)第 14 页，共 16 页设平面 的法向量 ,=(2,2,2)由 ,=0=0 ,22=0222+32=0令 ，2=3 ,=( 3,0,1) ,二面角 的余弦值
18、为 .7720.【答案】解：设事件 Ai（ i=1，2，3，4）表示“该选手能正确回答第 i 轮问题”，由已知 ， ， ， ，(1)=56 (2)=45 (3)=34 (4)=13（）设事件 B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则 = ()=(12.3)=(1)(2)(.3) 5645(134)=16（）设事件 C 表示“该选手至多进入第三轮考核 ”，则 =()=(.1+1.2+12.3)(.1)+(1.2)+(12.3)=16+5615+5645(134)=12（）X 的可能取值为 1，2，3，4. ，(=1)=(.1)=16，(=2)=(1.2)=56(145)=16P（X=3）=P （
19、）= = ，12.3 56451416P（X=4）=P （ ）+P（A 1A2A3A4）= = ，123.4 564534112所以，X 的分布列为第 15 页，共 16 页()=116+216+316+412=321.【答案】（1）解：f（x）= ex-2x+2a，x R，f（x）=e x-2，xR令 f（x）=0，得 x=ln2于是当 x 变化时，f（x），f（x ）的变化情况如下表： x （-，ln2 ） ln2 （ln2，+ ）f（x） - 0 +f（x） 单调递减 2（1-ln2+a） 单调递增故 f（x）的单调递减区间是（- ，ln2 ），单调递增区间是（ln2，+），f（x）在
20、x=ln2 处取得极小值，极小值为 f（ln2）=e ln2-2ln2+2a=2（1-ln2+a），无极大值（2）证明：设 g（x）=e x-x2+2ax-1，x R，于是 g（x）=e x-2x+2a，xR由（1）知当 aln2-1 时，g（x）最小值为 g（ln2）=2（1-ln2+ a）0于是对任意 xR，都有 g（x）0，所以 g（x）在 R 内单调递增于是当 aln2-1 时，对任意 x（0，+），都有 g（x） g（0）而 g（0）=0，从而对任意 x（0，+ ），g（x ）0即 ex-x2+2ax-10，故 exx 2-2ax+122.【答案】解:（1）由 2cos2=1,得 2
21、(cos2sin2)=1，将 cos=x,sin=y 代入上式中,得曲线 C 的普通方程为 x2y2=1.（2）由直线 l 的参数方程 ，消去 t,得普通方程为 y= (x2).，=2+=3 3将式代入式中,整理得 2x212x+13=0，设直线 l 与曲线 C 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)，由韦达定理得 ，1+2=122=6,12=132又由式得直线 l 的斜率 k= ，3所以直线 l 被曲线 C 截得的弦长为.|=1+2 (1+2)2412=( 3)2+1 624132=21023.【答案】解：（1）x 时，f（x ）=-2x+3-x+5=-3x+84，x ，32 43x 5 时，f（x ）=2x -3-x+5=x+24，解得：2 x5，32x5 时，f（x）=2x-3+x-5=3x -84，解得：x5，第 16 页，共 16 页综上，不等式的解集是x| x2 或 x ；43（2）f（x）= ，3+8， 32+2， 32 538， 5f（x） min= ，72若 f（x）a 的解集不是空集，只需 a 即可72
