1、12014 届高三数学总复习 2.9 指数函数、对数函数及幂函数教案（3） 新人教 A 版考情分析 考点新知 对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主；考查形式主要是填空题，同时也有综合性较强的解答题出现，目的是结合其他章节的知识，综合进行考查. 幂函数的考查较为基础，以常见的 5 种幂函数为载体，考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性；掌握对数函数图象通过的特殊点. 知道对数函数是一类重要的函数模型. 了解指数函数 ya x与对数函数ylog ax 的相互关系(a0，a1). 了解幂函
2、数的概念，结合函数yx，yx 2，yx 3，yx 1 ，yx 2 的图象，了解它们的变化情况.1. (必修 1P112测试 8 改编)已知函数 f(x)log ax(a0，a1)，若 f(2)f(3)，则实数 a 的取值范围是_答案：(0，1)解析：因为 f(2)f(3)，所以 f(x)log ax 单调递减，则 a(0，1)2. (必修 1P89练习 3 改编)若幂函数 yf(x)的图象经过点 ，则 f(25)(9，13)_答案：15解析：设 f(x)x ，则 9 ， ，即 f(x)x ，f(25) .13 12 12 153. (必修 1P111习题 15 改编)函数 f(x)ln 是_(
3、填“奇”或“偶”)函1 x1 x数答案：奇解析：因为 f(x)ln ln ln f(x)，所以 f(x)是奇函1 x1 x (1 x1 x) 1 1 x1 x数4. (必修 1P87习题 13 改编)不等式 lg(x1)0，a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，)2. 对数函数的图象与性质a1 00；当0 x1 时， f(x)0性质(5) 是(0，)上的增函数 (5) 是(0，)上的减函数3. 幂函数的定义形如 yx (R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数4. 幂函数的图象35. 幂函数的性质函数特征性质 yx yx2 yx 3yx12yx 1定义域 R R
4、 R x|x0 x|xR 且x0值域 R y|y0 R y|y0 y|yR 且y0奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增(，0减，0，)增增 增 (，0)减，(0，)减定点 (1，1)备课札记题型 1 对数函数的概念与性质例 1 (1) 设 a1，函数 f(x)log ax 在区间a，2a上的最大值与最小值之差是 ，12则 a_；(2) 若 alog 0.40.3，blog 54，clog 20.8，用小于号“1， 函数 f(x)log ax 在区间a，2a上是增函数， loga2alog aa ， a4.12(2) 由于 a1，00，1 x1 x1，且 mn1，所以 f(m2)|log
5、2m2|2，解得 m ，12所以 n2.变 式 训 练(1) 设 loga 1，则实数 a 的取值范围是_；23(2) 已知函数 f(x)lg(x 2t)的值域为 R，则实数 t 的取值范围是_；(3) 若函数 f(x)log a|x1|在(1，0)上有 f(x)0，则函数 f(x)的单调减区间是_；(4) 若函数 f(x)log (x22ax3)在(，1内为增函数，则实数 a 的取值范围12是_答案：(1) 0a 或 a1 (2) a0 (3) (1，) (4) 1，2)23解析：(1) 分 a1 与 a1 两种情形进行讨论(2) 值域为 R 等价于 x2a 可以取一切正实数(3) 函数 f
6、(x)的图象是由 ylog a|x|的图象向左平移 1 个单位得到， 00， )题型 2 幂函数的概念与性质例 2 已知幂函数 yx 3m9 (mN *)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函数(1) 求 m 的值；(2) 求满足不等式(a1) 32a0 或 0a132a 或 a10，则方程(a1)t 2 at10 有且只有一个正根43a1t ，不合题意；a1 时，0a 或3.若 a t 2，不合34 34 34题意，若 a3t ；a1 时，0，一个正根与一个负根，即 1.12 1a 1综上，实数 a 的取值范围是3(1，)备 选 变 式 （ 教 师 专 享 ）已知函数 f(x)lg(a
7、 xb x)(a1b0)(1) 求函数 yf(x)的定义域；(2) 在函数 yf(x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于 x 轴；(3) 当 a、b 满足什么关系时，f(x)在区间 上恒取正值(1， )解：(1) 由 axb x0，得 x1，因为 a1b0，所以 1，所以 x0，即函数 f(x)的(ab) ab定义域为(0，)(2) 设 x1x20，因为 a1b0，所以 ax1ax2，bx 1bx 2，所以ax1bx 1ax2bx 20，于是 lg(ax1bx 1)lg(ax2bx 2)，即 f(x1)f(x2)，因此函数 f(x)在区间(0，)上是增函数假设函数 yf(x)的
8、图象上存在不同的两点 A(x1，y 1)、6B(x2，y 2)，使得直线 AB 平行于 x 轴，即 x1x 2，y 1y 2，这与 f(x)是增函数矛盾故函数yf(x)的图象上不存在不同的两点，使过此两点的直线平行于 x 轴(3) 由(2)知，f(x)在区间(1，)上是增函数，所以当 x(1，)时，f(x)f(1)，故只需 f(1)0，即 lg(ab)0，即 ab1，所以当 ab1 时，f(x)在区间(1，)上恒取正值1. (2013南师大模拟)已知函数 f(x)log 2x2log 2(xc)，其中 c0，若对任意x(0，)，都有 f(x)1，则 c 的取值范围是_答案：c18解析：由题意，
9、 在 x(0，)上恒成立，所以 c .c0，x（ x c） 2 2) 182. (2013辽宁)已知函数 f(x)ln 1，则 f(lg2)(1 9x2 3x)f _(lg12)答案：2解析：f(x)f(x)ln( 3x)ln( 3x)2ln(19x 29x 2)1 9x2 1 9x222，所以 f(lg2)f f(lg2)f(lg2)2.(lg12)3. (2013江西检测)已知 x (log 0.5)y 0，由 af2(x)f(x)1，得 a f（ x） 1f2（ x） 1f（ x）7 (当且仅当 f(x)2 时等号成立)，所以实数 a 的最小值为 .1f2（ x） 14 1f（ x） 1
10、22 14 141. 若函数 f(x)log 2|ax1|(a0)，当 x 时，有 f(x)f(1x)，则12a_答案：2解析：由 f(x)f(1x)，知函数 f(x)的图象关于 x 对称，12而 f(x)log 2 log 2|a|，从而 ，所以 a2.|x1a| 1a 122. 已知函数 f(x)x ，x1，8，函数 g(x)ax2，x1，8，若存在23x1，8，使 f(x)g(x)成立，则实数 a 的取值范围是_答案： 1，)( ，14解析：分别作出函数 f(x)x ，x1，8与函数 g(x)ax2，x1，8的图23象当直线经过点(1，1)时，a1；当直线经过点(8，4)时，a .结合图
11、象有 a 或14 14a1.3. 已知函数 f(x)|lgx|，若 0f(1) 123，即 a2b 的取值范围是(3，)4. 已知两条直线 l1：ym 和 l2：y ，l 1与函数 y|log 2x|的图象从左82m 1(m0)至右相交于点 A、B，l 2与函数 y|log 2x|的图象从左至右相交于点 C、D.记线段 AC 和 BD在 x 轴上的投影长度分别为 a、b.当 m 变化时，求 的最小值ba解：由题意得 xA m，x B2 m，x C ，x D2 ，所以 a|x Ax C|(12) (12) 82m 1 82m 1 8，b|x Bx D| ，即 2 2m2|(12)m (12) 8
12、2m 1| |2m 282m 1| ba |2m 2 82m 1 2 m 2 82m 1| 82m 1 m.82m 1因为 m (2m1) 2 ，当且仅当82m 1 12 82m 1 12 12（ 2m 1） 82m 1 12 72(2m1)12，即 m 时取等号所以， 的最小值为 2 8 .82m 1 32 ba 72 21. 指数函数的底数、对数函数的底数、真数应满足的条件，是求解有关指数、对数问题时必须予以重视的，如果底数含有参数，一般需分类讨论2. 与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤(1) 确定定义域；(2) 把复合函数分解为几个初等函数；(3) 确定各个基本初等函数的单调区间；(4) 根据“同增异减”判断复合函数的单调性请 使 用 课 时 训 练 （ B） 第 9课 时 （ 见 活 页 ） .
