1、第 1 页 共 18 页2019 届福建省厦门外国语学校高三 11 月月考数学（理）试题一、单选题1已知集合 ， ，则 （ ）2|430Ax|21,0xByABA B C D 0,1,A【答案】C【解析】试题分析：由题意得，集合 = ，集合 = ，那么= = ,故选 C.【考点】1.集合的交并集运算；2.一元二次不等式；3.指数函数的性质 .2已知 ，则不等式 ， ， 中不成立的个数为A 0 B 1C 2 D 3【答案】D【解析】取 ，则 ，但是此时 ，取 ，则 ，但是此时 ，即题中所给的三个不等式均错误.本题选择 D 选项.3若 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列说法中正确的是A
2、B C D 【答案】C【解析】利用线面平行与垂直的判定与性质定理即可判断出正误【详解】第 2 页 共 18 页对于 A. ，错误， 与 又饿可能异面；对于 B. ，错误， 与 有可能相交；对于 C. ，利用直线与平面垂直的判定定理可得结论正确；对于 D. ，错误， 与 有可能相交 .故选 C.【点睛】本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与空间想象能力，属于基础题4将函数 ysin(x )的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 倍，再向右平移 个单位，所得到的图象解析式是（）A B C D 【答案】A【解析】利用三角函数的伸缩变换将 y=sin（x+ ）图象上各点的横坐
3、标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数 y=sin（2x+ ）图象，再利用平移变换可得答案【详解】函数 y=sin（x+ ）图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数y=sin（2x+ ）图象，再将函数 y=sin（2x+ ）图象向右平移 个单位，所得图象的函数解析式为 y=sin2（x）+ ）=sin（2x ），故选：D【点睛】本题考查函数 y=Asin（x+）的图象变换，掌握其平移变换与伸缩变换的规律是关第 3 页 共 18 页键，属于中档题5已知向量 ， 满足 ， ，且 在 方向上的投影与 在 方向上的投影相等，则 等于( )A 1 B C D 3【答案】C【解析
4、】根据投影相等可得 =0，计算（ ）2 即可得出| |【详解】 在 方向上的投影与 在 方向上的投影相等， = ， =0，（ ）2= =5，| |= ，故选：C【点睛】本题考查了平面向量投影公式，模长计算，属于中档题6古代数学著作九章算术 有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“ 一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？ ”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于 30 尺，则至少需要（ ）A 6 天 B 7 天 C 8 天 D 9 天【答案】C【解析】这是一个等比数列问题：已知等比数列 的公比
5、求 最小正整数 .,选 C.7定义域为 的函数 满足 ， ，若 ，且第 4 页 共 18 页，则（）.A B C D 与 的大小不确定【答案】A【解析】由题设中条件 f（4x）=f（x）可得出函数关于 x=2 对称，由（x2）f（x）0可得出 x2 时，导数为负，x 2 时导数为正，由此可必出函数的单调性利用单调性比较大小即可选出正确答案【详解】由题意 f（4x）=f（x） ，可得出函数关于 x=2 对称又（x2）f（x）0，得 x2 时，导数为负，x2 时导数为正，即函数在（，2）上是增函数，在（2，+）上是减函数又 x1x 2，且 x1+x24，下进行讨论若 2x 1x 2，显然有 f（x
6、 1）f（x 2）若 x12x 2，有 x1+x24 可得 x14x 2，故有 f（x 1）f（4x 2）=f（x2）综上讨论知，在所给的题设条件下总有 f（x 1）f（x 2）故选：A【点睛】本题考查函数单调性与导数的关系以及利用单调性比较大小，求解本题的关键是根据导数的符号判断出函数的单调性，在比较大小时根据所给的条件灵活变形，将两数的大小比较转化到一个单调区间上比较也很重要，本题考查了转化化归的能力8数列 满足 ，且 ，若 ，则 的最小值为 ( )A 3 B 4 C 5 D 6【答案】C【解析】依题意，得 ，可判断出数列2 nan为公差是 1 的等差数列，进一步可求得 21a1=2，即其
7、首项为 2，从而可得 an= ，继而可得答案【详解】第 5 页 共 18 页 ，即 ，数列 2nan为公差是 1 的等差数列，又 a1=1，21a1=2，即其首项为 2，2nan=2+（n1）1=n+1，an= a1=1，a2= ，a3= ，a4= ，a5= = = ，若 ，则 n 的最小值为 5，故选：C【点睛】本题考查数列递推式，判断出数列2 nan为公差是 1 的等差数列，并求得 an= 是关键，考查分析应用能力属于中档题9已知 ， ，且 为 与 的等比中项，则 的最大值为（ ）0ab3ab49bA B C D12451267【答案】B【解析】试题分析：依题意有 ，3,1ab所以 .11
8、149493253ababba 【考点】基本不等式.10一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为 ( )第 6 页 共 18 页A B C D 【答案】D【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以 2 为高的正三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积【详解】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以 4 为高的正三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面边长为 4，可得底面外接圆的半径为： 由棱柱高为 4，可得球心距为 2，故外接球半径为 ，故选：C故外接球的表面积 S=4r
9、 2=4 =故选：D【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P， A， B， C 构成的三条线段 PA， PB， PC 两两互相垂直，且PA a， PB b， PC c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2 a2 b2 c2求解第 7 页 共 18 页11向量 ， ， 满足： ， ， ，则 最大值为（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：先利用平面向量的数量积公式得到 的夹角和 的夹角，再利用圆的
10、性质进行求解详解：因为 ， ，所以 的夹角为 ，因为 ，所以 的夹角为 ；作 （如图 1、图 2 所示） ，则 ，由图象，得 的最大值为 4图 1 图 2点睛：解决本题的关键是利用平面向量的数量积定义判定 的夹角和 的夹角互补且为二倍关系，所以借助圆周角和圆心角的关系、圆内接四边形的性质进行判定，再利用圆的直径是最长的弦进行求解12设函数 ，其中 ，若仅存在两个正整数 使得 ，则的取值范围是A B 第 8 页 共 18 页C D 【答案】A【解析】根据题意，分析出所求 a 的范围需满足仅有两个整数使得 。对函数 求导，并求得最小值，分析取得最小值时满足题意；再根据有两个整数解，得到关于 a 的
11、不等式组，解不等式组即可得到 a 的取值范围。【详解】令 因为仅存在两个正整数 使得 ，即仅有两个整数使得 ，令 ，解得 且当 ， ；当 ，所以 且 ， 所以当 时， ，另一个满足条件的整数为 2所以 ，代入解得 综上， 的取值范围为所以选 A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质，根据题意求得参数的取值范围，关键是分析出两个整数解之间的关系，属于难题。二、填空题13设变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为_【答案】3【解析】画出可行域，判断出可行域为ABC( 如图)，第 9 页 共 18 页其中 A(1,1)，B(2,0) ，C(3,3) ，平移直线 2xy0 ，易知，当平移到点
12、 A(1,1)时，目标函数 z2xy 取得最小值 3.14已知数列 的前 项和为 ， ， ，,则 _【答案】【解析】由题意， ，所以 ， ，所以 。15已知正方体 的体积为 1，点 在线段 上（点 异于点1ABCDMBC） ，点 为线段 的中点，若平面 截正方体 所得B， NAN1DA的截面为四边形，则线段 长的取值范围为_ M【答案】 102，【解析】依题意，正方体 的棱长为 ，如图所示，当点 线段 的中点时，由题意可ABCD1MBC知，截面为四边形 ，从而当 时，截面为四边形，当 时，MN102B12平面 与平面 也有交线，故截面为五边形，平面 截正方体1 AN所得的截面为四边形，线段 的
13、取值范围为 ，故答案为1ABCD 10,2.0,2第 10 页 共 18 页16设数列 是首项为 0 的递增数列， na，满足：对于任意的*11si,nnnfxxaN总有两个不同的根，则 的通项公式为_0,nbfbna【答案】 12na【解析】试题分析： ，当 n=1 时，f 1（x ）=|sin（x-a 1）|=|sinx|，x0 ，a 2，10又 对任意的 b0，1） ，f 1（x）=b 总有两个不同的根， a2=f1（x）=sinx ，x 0， ，a 2=又 f2（x）=|sin （x-a 2）|=|sin （x-）|=|cos |，x ，a 3对任意的 b0，1） ，f 1（x）=b
14、总有两个不同的根， （5 分）又 f3（x）=|sin （x-a 3）|=|sin （x-3）|=|sin |，x3，a 413对任意的 b0，1） ，f 1（x）=b 总有两个不同的根，a 4=6（6 分）由此可得 ，na 1211 102n n na na【考点】数列与三角函数的综合三、解答题17如图，菱形 与正三角形 的边长均为 2，它们所在平面互相垂直， 平面 ，且 （）求证： 平面 ；（）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值第 11 页 共 18 页【答案】 （I）详见解析；（II） .【解析】（）作 BC，交 BC 于 H，推导出四边形 是平行四边形，由此能证明 EF平面ABCD；
15、（）以 H 为原点， 为 轴建立建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 与平面 所成角的正弦值【详解】解：（）如图，过点 作 于 ，连接.平面 平面 ， 平面平面 平面 于平面又 平面 ，,四边形 为平行四边形.,平面 ， 平面平面 （）连接 由（） ，得 为 中点，又 ， 为等边三角形，分别以 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 .则， ，设平面 的法向量为 .由 得令 ，得 .第 12 页 共 18 页,【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向
16、量；第四，破“应用公式关”.18在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（）若曲线 上一点 的极坐标为 ，且 过点 ，求 的普通方程和 的直角坐标方程；（）设点 ， 与 的交点为 ，求 的最大值.【答案】 （1） , ；（2） .【解析】试题分析：（1）把 代入曲线 ，再化为直角坐标，结合直线 的参数方程得直线 过点 ，得直线 的普通方程，然后根据 即可得到曲线 的直角坐标方程；（2）把直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，结合韦达定理及三角函数的图像与性质，即可求得 的最大值.试题解析：（1）把 代入曲
17、线 可得 化为直角坐标为 ，又 过点 ，得直线 的普通方程为 ；可化为 . 第 13 页 共 18 页由 可得 ，即曲线 的直角坐标方程为 .（2）把直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得， ，化简得 ， 可得 ，故 与 同号. ， 时， 有最大值 .此时方程的 ，故 有最大值 .19已知函数 （I）若函数 在区间 上不是单调函数，求实数 的取值范围；（II）是否存在实数 ，使得函数 图像与直线 有两个交点？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由【答案】 （I） ;（II）存在， 或 .【解析】（I）先求出函数 在区间 上是单调函数的实数 的取值范围，然后取补集即可；（II）函数 图
18、像与直线 有两个交点等价于 有两个实根，令 ，研究函数的图象与 x 轴的位置关系即可.【详解】解：（I）由题意得 .第 14 页 共 18 页要使函数 在区间 上单调递增,即要使 在区间 上恒成立.即 ， ；要使函数 在区间 上单调递减,即要使 在区间 上恒成立.即 ， ；函数 在区间 上不是单调函数，实数 的取值范围 .（II）由 得 有两个实根令 则 ，当 时， 函数 在 是增函数，不合题意；当 时，函数 在 上是增函数;在 上是减函数要使函数 有两个零点则只需 解得 不合题意；当 时，函数 在 上是增函数;在 上是减函数要使函数 有两个零点则只需 或 解得 或综上所述， 或 .【点睛】已
19、知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解20已知 中，内角 的对边分别为 ，且 成等差数列， .（I）求 ；（II）设 （ ） ，求 的面积的最小值.第 15 页 共 18 页【答案】 （1） ;（2） .【解析】（1）根据题意，分析易得 B=1803A，结合正弦定理分析可得sinA+2sinAcosA=2sin3A，对其变形可得 8cos2A2cosA3=0，解
20、可得答案；（2）对于 ，由基本不等式的性质分析可得 a 的最小值，可得 a 的值，由正弦定理可得 SABC 关于 a 的表达式，由 a 的最小值，即可得答案【详解】（1）C=2A,B= 因为 成等差数列所以 得,= 整理得：解之得： 或 (舍去) .（2） 又 ， , , -， -所以 =即所求的ABC 面积的最小值为 15【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角” ，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.21若数列 是公差为 2
21、 的等差数列，数列 满足 ， ，且（1 ）求数列 ， 的通项公式；第 16 页 共 18 页（2 ）设数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） ， ；（2）【解析】试题分析：（1）数列 满足 ， ，且 ，可得，解得 ，利用等差数列的通项公式可得 ，可得 ，化为，利用等比数列的通项公式可得 ；（2）设数列 满足，利用“错位相减法”可得数列 的前 项和为 ，再利用数列的单调性与分类讨论即可得出试题解析：（1）数列 满足 ， ，且 ， ，解得 ，又数列 是公差为 2 的等差数列， ， ，化为 ，数列 是等比数列，公比为 2， （2）设数列 满足
22、 ，数列 的前 项和为， ， ，不等式，化为： ， 时， ，； 时， ， ，综上可得：实数 的取值范围是22已知 ，函数第 17 页 共 18 页（I）若 在 上为单调增函数，求实数 的取值范围（II）证明：【答案】 （1） ；（2）详见解析；【解析】（I）求导函数，y=f（x）g（x）在1，+）上为单调增函数，转化为在1 ，+）上恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值，即可求实数 m 的取值范围；（）由（I）整理得， 再利用放缩法证明即可得到【详解】解：（I）函数 的定义域为 ， .当 ， ，当 ， ， 为极小值点，极小值 . . 在 上恒成立，即 在 上恒成立.又 ，所以 ，所以，所求实数 的取值范围为 .（II）由（I） ，取 ，设 ，则 ，即 ，于是 .,第 18 页 共 18 页,.所以 .【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
