1、- 1 -蕉岭中学 20182019 学年度高三第一次质检考试数学（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。1已知集合 3|Uxy， 9|logAxy， |2xBy，则 =UAB（ ）A |0 B R C D 02.若纯虚数 z满足 (1)izai，则实数 等于（ ）A B 或 1 C 1 D 13已知公差不为 0 的等差数列 na满足 423a ， nS为数列 na的前 项和，则 325S的值为（ ）A. 2 B. C. 3 D. 2 4已知向量 a 与 b 的夹角是 ，且| a|1，| b|4，若(3 a b) a， 则实数 的值为( ) 3A. B C. D3
2、2 32 23 235函数 210xfx，若矩形 ABCD 的顶点 A、D 在 x轴上，B、C 在函数 yfx 的图象上，且 0,A，则点 D 的坐标为（ ）A 2 B (12,0) C (1,0) D 1(,0)26.在 BC中，“ tanC”是“ A为锐角三角形”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D.充要条件7如图，在长方体 1DBA中，点 P是棱 上一点，则 三棱锥P1的左视图可能为A B C D8已知函数 ()2sin()0)fx，将 ()fx的图像向左平移- 2 -3个单位长度后所得的函数图像过点 (0,1)，则函数 ()cos2)gx
3、（ ）A在区间(,)63上单调递减 B在区间,63上有最大值C在区间,上单调递增 D在区间(,)上有最小值9已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=f(1-x),且在1, +)上是增函数,不等式 f(ax+2) f(x-1)对任意 x ,1恒成立,则实数 a 的取值范围是（ ）A.-3,-1 B.-2,0 C.-5,-1 D.-2,110记不等式组4326 xy表示的区域为 ，点 P的坐标为 ,xy有下面四个命题：1:pP， 0y； 2:p，12xy；3:，65； 4:， 5其中的真命题是（ ）A 1， 2 B 1， 3 C 2p， 4 D 3p， 411过点 )(，P作抛物线
4、yx2的两条切线，切点分别为 A，B，PA，PB 分别交 x 轴于E，F 两点，O 为坐标原点，则PEF 与OAB 的面积之比为( C )A 23B 43C 21D 4112设函数 )(xf在 R上存在导数 )(xf， R，有 2)(xff，在 ),0(上 xf(，若2( 0fmm，则实数 的取值范围为（ ）A 1, B 1,+） C 2,) D (,2,)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知已知 32)sin(，则 sin 9114.若nx)3(的展开式中各项系数的和为 64,则该展开式中的常数项为 54015 九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：
5、将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）在如 图所示的堑- 3 -堵 1CBA中， 4,3,51BCA，则阳马 的外接球的表面积是_。16已知椭圆与双曲线有公共焦点 F1、 F2 ， F1 为 左焦 点， F2 为 右焦 点， P 点 为它 们在 第一 象限 的一 个交 点 ， 且 F1PF2= 4,设 e分 别为 椭 圆 和 双曲 线离 心率 ， 则 12e的最 大值 为 。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（一）必考题：共 6
6、0 分。17（12 分）已知数列 na的前 项和为 nS，且 2na.（1）求数列 的通项公式； （2）若 b，求数列 nb的前 项和 nT18（12 分）为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分） ，从甲、乙两 个班级中分别随机抽取 5 名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图规定： 成绩不低于 120 分时为优秀成绩(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一 个优秀成绩的概率；(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取 2 名同学的成绩，记获优 秀成绩的人数为 ，求 的分布列和数学期望 E。19（12 分）四棱锥 PABCD中，底面 AB是平行四边形， 2,60BCA
7、， PAB，点 M为的中点。（）在棱 上作点 N，使得 平面 PM（）若 PBA，且直线 与平面 AB所成的角是 45，求二面角 MC的余弦值20（12 分）M DPCAB- 4 -如图,已知椭圆 E 的标准方程为21(0)xyab,直线 AB 恰好交椭圆 E 于上顶 A(0,1),左顶点 B,平行于 AB 的直线1:()2lym与椭圆 E 交于 C,D 两点.(1)求椭圆 E 的标准方程;(2)当梯形 ABCD 的面积 S 最大时,求 m 的值。21（12 分）已知函数xexf2)1(, xkgln1)(,且 )(f在 0x处取得极小值（1）若曲线 y在点（ ）处切线恰好经过点 )(,fP，
8、求实数 k的值；（2）若函数 )(,min)(xfxF（ qp,i表示 中最小值）在 ）（ ,上函数恰有三个零点，求实数 k的取值范围（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点 为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系， l的极坐标方程为 (cos2in)10， C的参数方程为 3cos2iny（ 为参数， R）.（1）写出 l和 的普通方程；（2）在 上求点 M，使点 到 l的距离最小，并求出最小值。23.选修 4-5：不等式选讲已知 ()2fxax.（1）在
9、时，解不等式 ()1f；（2）若关于 x的不等式 4x对 R恒成立，求实数 a的取值范围。 - 5 -蕉岭中学 20182019 学年度高三第一次质检考试数学（理科）参考答案一、选择题1A 2C 3D 4B 5B 6D 7D 8B 9B 10A 11C 12B二、填空题13 214-84 15 50S 16. 2三、解答题17（1） nnSa 112nnSa2 1 2- 得 112nnn，则 1， 3分 1 2在 式中，令 ，得 a. 数列 a是首项为 2，公比为 的等比数列， 2na.5分 1（2）nb. 所以123nT.12nn， 3则 23.1n， 4- 得， 23n1.2n， 3 41
10、212n1n12nnT.12分18解：(1)设事件A表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，其中只有一个优秀成绩” 1235pAC3分（2） 的所有可能取值为0，1，2，3 4分45890Cp，21234458105123245 12Cp8分 的分布列为0 1 2 3p9015的数学期望为961235E12分19 （）点 N为 PD中点 N DQPM CAB- 6 -下证：取 PD中点 N， C中点 Q，连结 AN， ， MQ，在 C中， ,分别是所在边 PD， 的中点，则 Q 且1=2因为点 为 AB中点， CD，所以 NAM 且 所以四边形 MQN是平行四边形，所以 ANMQ 又因为
11、 平面 PC， 平面 P，所以 平面 P-4 分（）在 B中， 2AB， 60，设 Aa，则 a，由余弦定理有： 22cos603CABBCa，则 22C，由勾股定理的逆定理可得： -5 分又因为 PB， AB， ,P平面 ，所以 平 面 PA因为 M平 面 ，所以 CM因为 A，点 为线段 的中点，所以 AB，因此 ,MC两两垂直-6 分以 为原点，分别以 ,BA所在直线为 ,xy轴，建立空间直角坐标系因为直线 PC与平面 的所成角是 45，所以 45A，所以 RtCAP是等腰直角三角形，所以 3a则 0,，,02aM，1,2P， ,30a，1,02aMP，,302aC设平面 C的一个法向量
12、为 1xyzn，-9 分则10,n即,230,zx得 123,0，同理可得，平面 PAC的一个法向量为2,， 则 12124cos,n 由图可得所求二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为43zyxQNPM DCAB- 7 -20.(1)由题意,点 A (0,1)在椭圆 E 上,故 b=1,又 l AB,且 l:y= x+m(m0,可得 - m1,且 x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2. -6 分|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2m)2-4(2m2-2)=4(2-m2), 故 |CD|= |x1-x2|= ,而 |AB|= ,AB 与 CD 两平行线间的距离 d=
13、,-8 分故 S= (|AB|+|CD|)d=(1+ )(1-m)(- m1).令 m= cos ( ),则 sin ,S=(1+ )(1-m)=(1+ sin )(1- cos )=1+ (sin - cos )-2sin cos .令 =sin - cos = sin(- )(0, ,则 2sin cos =1- 2,故 S=1+ - (1- 2)= 2+ ( (0, ),可知 S 在 (0, 上为单调递增函数,故当 = 时, Smax=4,由 = 可得 =,此时 m= cos =-1.所以当梯形 ABCD 的面积 S 最大时, m=-1.-12 分21. 解：（1）f（x）=（x 21）
14、e x，令 f（x）0，解得：x1 或 x1，令 f（x）0，解得：1x1，故 f（x）在（，1）单调递增，在（1，1）单调递减，在（1，+）单调递增，f（x）在 x=1 处取极小值，f（1）=0，故 P（1，0），由 g（x）=k ，故 g（e）=k ，且 g（e）=ke，则 y=g（x）在点（e，g（e）处切线 yke=（k ）（xe），由 P（1，0）在切线方程，代入切线方程解得：k= 1， 故实数 k 的值 1；-5 分（2）g（x）=1+kxlnx（x0），g（x）=k ，当 k0 时，g（x）0，则 g（x）在（0，+）上单调递减，故 g（x）无极值，-6 分当 k0 时，由 g（
15、x）=0，解得：x= ，当 x（0， ）时，g（x）0，当 x（ ，+）时，g（x）0，则 g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+）单调递增，此时 g（x）存在极小值 g（ ）=2+lnk，无极大值，可知：k0 时，g（x）在（0，+）单调递减，- 8 -g（x）在（0，+）上至多有一个零点，故 k0，不符合题意，-8 分k0 时，g（x）极小值=g（ ）=2+lnk，即为 g（x）的最小值，（i）当 g（ ）=0 时，则 k=e2 ，g（x）只有一个零点，不满足题意，（ii）当 ke 2 ，g（ ）0 时，g（x）在（0，+）上无零点，不满足题意；（iii）当 0ke 2 时，g（ ）0
16、，又 g（1）=1+k0，故 g（ ）g（1）0，g（x）在（1， ）上有一个零点，设为 x1，即 g（x 1）=0，由 e 2，取 x= ，则 g（ ）=1+k ，-10 分下面证明 g（ ）=1+k 0， 令 h（x）=xlnx 2，x2，h（x）=1 0，故 h（x）在（2，+）上单调递增，h（x）h（2）=2（1ln2）0，即 xlnx 2， e xx 2，令 x= ，则 ，g（ ）=1+k 1+k =10， g（ ）g（ ）0，g（x）在（ ， ）上有一个零点，设为 x2，则 g（x 2）=0g（1）=k+1，f（x 1）0， f（x 2）0， 故 F（x）=minf（x），g（x）
17、中，有：F（1）=f（1）=0g（1）=1+k，F（x 1）=g（x 1）=0f（x 1），F（x 2）=g（x 2）=0f（x 2），即函数F（x）有三个零点；综上，满足题意的 k 的取值范围是（0，e 2 ）-12 分22.解：（1）由 l： cosin，及 cos， siny. l的方程为 210xy. 由 3cosx， 2iny，消去 得2194xy.（2）在 C上取点 (3cos,in)M，则 4si105d05cos().其中 0cos54in，当 0时， 取最小值 . 此时 093ss0082incos5， 9(,)M.23.解：（1）在 a时， 1x. 在 x时， 2(2)1x， 5x；在 2x时， ()(， 3， 无解；- 9 -在 21x时， (2)(21x， 3x， 1x.综上可知：不等式 f的解集为 |5.（2） 4xa恒成立，而 2(1)xaax，或 2(1)x，故只需 ()x恒成立，或 ()4恒成立， 或 . a的取值为 1或 .
