1、页 1 第2019 届江苏省苏州市第五中学高三 10 月月考数学试题高三数学（ 数学理 ）2018.10一、填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1已知集合 ， ，则 = 1,36A1,2BAB2函数 的最小正周期为 sinyx3设幂函数 的图象经过点 ，则 ()f(2,)(9)f4在 中，角 的对边分别为 ，若 ， ， ，则 = ABC, cba23bBA5若命题“ ， ”是假命题，则实数 的取值范围是 xR210axa6在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 的焦点坐标为 28yx7函数 的值域为 2431()xf8函数 的图像经过第二
2、、三、四象限，则 的取值范围为 01)yaba且 ba9在等差数列 中，若 ，则数列 的前 6 项的和 n253na6S10若函数 在区间 上存在唯一的极值点，则实数 的取值范围为 2()()lnfxax(1,2) a11已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且在(，0上为单调增函数若 f(1)2，则满足f(2x3)2 的 x 的取值范围是 12设 f（ x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1)上，,10,()25xaf其中 .a 若 59()2ff ，则 (5)fa的值是 .13已知函数 ， 若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为 -xfxR(2)()6fx
3、mf m 14设函数 ，若当 (0,)时，不等式 f (x)4 恒成立，则 的取值范围是 9()|()fxax a 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、页 2 第证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）已知函数 .22()sinco3sincofxxx(1)求 的值；3(2)求 的最小正周期及单调递增区间.()fx16 （本小题满分14分）记函数 的定义域、值域分别为集合 .2()lg1)fxa,AB（1）当 时，求 ；AB（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.xx a页 3 第17 （本小题满分 1
4、4 分）如图，在三棱柱 中， 为棱 的中点， ，1ABCDBC1,ABC.11,2AB求证：(1) 平面 ； (2) 平面 .11ACD18 （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，且过点x2a2 y2b2 32(1， )过椭圆 C 的左顶点 A 作直线交椭圆 C 于另一点 P，交直线 l： x m(m a)于点 M已知点32B(1，0)，直线 PB 交 l 于点 N（1）求椭圆 C 的方程； yxBAMNOP(第 18 题）l页 4 第（2）若 MB 是线段 PN 的垂直平分线，求实数 m 的值19 （本题满分 16 分）某市举办
5、“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量 p 万件与广告费用 x 万元满足 (其中 ， a 为正231px0x 常数)已知生产该批产品 p 万件还需投入成本( )万元(不含广告费用)，产品的销售价格定为102p元件，假定厂商生产的产品恰好能够售完20(4p（1）将该产品的利润 y 万元表示为广告费用 x 万元的函数；（2）问广告费投入多少万元时，厂商的利润最大？20 （本题满分 16 分）已知 ，函数 .aR21()log()fxa（1）当 时，解不等式 ；50f（2）若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求 的取
6、值范围；x2()log(4)50fxaxa（3）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过 1，求 的取0a1,t(f,1t a值范围.页 5 第苏州五中 20182019 学年第一学期阶段性测试高三数学（数学） （附加题）2018.1021已知二阶矩阵 M 有特征值 及对应的一个特征向量 ，并且矩阵 M 对应的变换将点 变31e (1,2)换成. .，求矩阵 M.22已知曲线 的极坐标方程是 ，直线的参数方程是 （为参数） 设直线与 轴的C2sin32,54xtyx交点是 , 是曲线 上一动点,求 的最大值.MNMN页 6 第23如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD
7、 是菱形， AC 与 BD 交于点 O， OP 底面 ABCD，点 M 为 PC 中点，AC4， BD2， OP4（1）求异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值；（2）求平面 ABM 与平面 PAC 所成锐二面角的余弦值24甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分.已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各423轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I） “星队”至少猜对 3 个成
8、语的概率；（） “星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 E(X).MA BCDOP（第 23 题）页 7 第苏州五中 2018-2019 学年第一学期阶段性测试高三数学（ 数学 I ）2018.10一、填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1已知集合 ， ，则 = 1,36A1,2BABU1,2362函数 的最小正周期为 2sinyx3设幂函数 的图象经过点 ，则 3()f(,)(9)f4在 中，角 的对边分别为 ，若 ， ， ，则 = ABC, cba,2bBA25若命题“ ， ”是假命题，xR210ax则实数 的取值范围是 a
9、,页 8 第6在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 的焦点坐标为 28yx132（ 0， ）7函数 的值域为_.2431()xf1,)8函数 的图像经过第二、三、四象限，则 的取值范围为 （0， a）0)xyaba且 ba9在等差数列 中，若 ，则数列 的前 6 项的和 2n253na6S10若函数 在区间 上存在唯一的极值点，则实数 的取值范围为 xaxfln)()(1,2) a 15(,6)211已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且在(，0上为单调增函数若 f(1)2，则满足f(2x3)2 的 x 的取值范围是 (，2 12设 f（ x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区
10、间 1,1)上，,10,()25xaf其中 .aR 若 59()2ff ，则 (5)fa的值是 .【答案】考点：分段函数，周期性质13已知函数 ， 若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为 -()2xfxR(2)()6fxmf m 4 14设函数 ，若当 (0,)x时，不等式 恒成立，则 a的取值范围是 9()|()fxax ()4fx页 9 第 (,2二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16 （本小题满分 14 分）已知函数 .22()sinco3sincofxxx(1)求 的值；3(2)求 的最小正周
11、期及单调递增区间.()fx解答：（1）2；（2）T= ， 2,()63kkZ16 （本小题满分14分）记函数 的定义域、值域分别为集合 .2()lg1)fxa,AB（1）当 时，求 ；aABI（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.xxa解：（1）当 时， ，由 ，得 . 2分2()lg1)f20x(1,)A又 ，所以 . 4分201x,0B故 . 6分(,AI（2） “ ”是“ ”的必要不充分条件 . 8分xxBA当 时， ， ，适合题意； 9分0aR0B当 时， ， ，适合题意； 11分A,)当 时， ， ，不适合题意. 13分0a1(,a(,0综上所述，实数 的取值范
12、围是 . 14分,17 （本小题满分 14 分）如图，在三棱柱 中， 为棱 的中点， ，1ABCDBC1,ABC页 10 第.11,2AB求证：(1) 平面 ； ABC(2) 平面 .11D证明：（1）因为 ， 1111,ABCBABAB、 平 面所以 ，所以 ； 3 分1C平 面 ,又 平 面 C又因为 ，得 ，所以 .1,2221116 分又 ，所以 平面 ； 8 分 ABCABCB、 平 面 ， 1ABC（2）连接 交 与点 ，连接 ，在 中， 分别为 的中点，所以11EDDE、 1AC、，又 ，所以 平面 1/DE1,平 面 平 面 1114 分18 （本小题满分 16 分）如图，在平
13、面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，且过点(1， )过椭x2a2 y2b2 2 2圆 C 的左顶点 A 作直线交椭圆 C 于另一点 P，交直线 l： x m(m a)于点 M已知点 B(1，0)，直线 PB 交l 于点 N（1）求椭圆 C 的方程； （2）若 MB 是线段 PN 的垂直平分线，求实数 m 的值y xBA MNOP(第 18 题） l页 11 第解 ： （ 1） 因 为 椭 圆 C的 离 心 率 为 32， 所 以 a2 4b 2分又 因 为 椭 圆 过 点 (1， 32)， 所 以 1a2 34b ， 3分解 得 a2 4， b2 所 以 椭 圆
14、 C的 方 程 为 x24 y 1 5分（ 2） 解 法 1设 P(x0， y)， 2 x0 ， x0 1， 则 x024 y 1因 为 MB是 N的 垂 直 平 分 线 ， 所 以 P关 于 B的 对 称 点 N(2 x0， y0)，所 以 2 x0 m 7分由 A( ， )， P(x0， y)， 可 得 直 线 A的 方 程 为 y 0x 2( )，令 x ， 得 y 0 2x ， 即 M(m， y0( 2)x 因 为 PB M， 所 以 kPB 1，所 以 kPB y0x 1( 2)x0m ， 10分即 y02（ ）(x 1)( )( ) 1因 为 024 y 所 以 (x0 2)( )
15、4 1m 1 12分因 为 x0 m， 所 以 化 简 得 32 0 4 0，解 得 513 15分因 为 2， 所 以 5 13 6分解 法 当 AP的 斜 率 不 存 在 或 为 0时 ， 不 满 足 条 件 6分 设 斜 率 为 k， 则 AP： y k(x 2)，联 立 x24 y 1， k( )， 消 去 y得 (4k2 1)x2 6k2x 1k2 4 0因 为 xA 2， 所 以 xP 824k 1， 所 以 yP 4k2 1，所 以 P( 8k42 1， k2 ) 8分因 为 N的 中 点 为 B， 所 以 m 2 8k24 1 6k24 1 (*) 10分因 为 AP交 直 线
16、 l于 点 M， 所 以 (， (m )，因 为 直 线 B与 x轴 不 垂 直 ， 所 以 8k24 1 ， 即 k2 1，20 （本题满分 16 分）页 12 第某市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量 p 万件与广告费用 x 万元满足 (其中 ， a231px0x 为正常数)已知生产该批产品 p 万件还需投入成本( )万元(不含广告费用)，产品的销售价格定为102元件，假定厂商生产的产品恰好能够售完20(4p（1）将该产品的利润 y 万元表示为广告费用 x 万元的函数；（2）问广告费投入多少万元时，厂商
17、的利润最大？解析（1）由题意知， ， 将 代入化简得：20(4)(12)pp231px（ ）. xy460a （2） 222 2143111xxx当 时， 时 ， 所以函数 在 上单调递增； 时 ，a 0,xy46yx0, 1,xa0y所以函数 在 上单调递减促销费用投入 1 万元时，厂家的利润最大 416y1,a当 时，因为函数 在 上单调递增， 在 上单调递增，所a46yx0,1461yx0,a以 时,函数有最大值即促销费用投入 万元时，厂家的利润最大综上所述，当 时，促销费x a 用投入 1 万元，厂家的利润最大；当 时, 促销费用投入 万元，厂家的利润最大a（注：当 时，也可以： ，当
18、且仅当a 4417(1)72(1)3yxx时，上式取等号） 1,14xx即20 （本题满分 16 分）已知 ，函数 .aR21()log()fxa（1）当 时，解不等式 ；50f（2）若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求 的取值范围；x2()log(4)50axa页 13 第（3）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过 1，求 的0a1,2t()fx,1ta取值范围.【答案】 （1） （2） （3） 1,0,4x1,42,【解析】试题分析：（1）由 ，利用得 求解21log50x51x（2）转化得到 ，讨论当 、 时，以及 且 时的情况4a4a33a4（3）讨论 在
19、 上单调递减fx0,确定函数 在区间 上的最大值与最小值之差.得到 ，对任意1t 210tt成立1,2t试题解析：（1）由 ，得 ，21log50x15x解得 ,4x（2） ， ，125axax24510xa当 时， ，经检验，满足题意4当 时， ，经检验，满足题意312当 且 时， ， ， a414xa21x2x是原方程的解当且仅当 ，即 ；1x10a是原方程的解当且仅当 ，即 2 2x1于是满足题意的 1,a综上， 的取值范围为 3,4页 14 第（3）当 时， ， ，120x12ax2211loglogaaxx所以 在 上单调递减f,函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， xt ft
20、1ft即 ，对任意2211loglogft aatt20tat成立1,2t因为 ，所以函数 在区间 上单调递增， 时，0a21yatt1,212ty有最小值 ，由 ，得 31403故 的取值范围为 a2,数学（附加题）21已知二阶矩阵 M 有特征值 及对应的一个特征向量 ，并且矩阵 M 对应的变换将点 变31e (1,2)换成 ，求矩阵 M。(3,0)解析：设矩阵 ，则由条件得 ，从而 ，dcba13dcba3dcba又 ，从而 ，联立，解之得 ,0321dcba0221故 M页 15 第22已知曲线 的极坐标方程是 ，直线的参数方程是 （为参数） 设直线与 轴的C2sin32,54xtyx交
21、点是 , 是曲线 上一动点,求 的最大值.MNMN解析：曲线 的直角坐标方程为 ，故圆 的圆心坐标为(0,1)，半径20xyC1r直线 l 的直角坐标方程 , 令 ,得 ,即 点的坐标为(2,0). 4()3y2xM从而 ,所以 .即 的最大值为 。5C51NCr N5123如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是菱形， AC 与 BD 交于点 O， OP 底面 ABCD，点 M 为 PC 中点，AC4， BD2， OP4（1）求异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值；（2）求平面 ABM 与平面 PAC 所成锐二面角的余弦值解：（1）因为 ABCD 是菱形，所以 AC BD因为 O
22、P 底面 ABCD，所以以 O 为原点，直线 OA， OB， OP 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 A(2，0，0)， B(0，1，0)， P(0，0，4)， C(2，0，0)， M(1，0，2)，所以 (2，0，4)， (1，1，2)， 10， AP BM AP BM 2 ， AP 5 BM 6 MA B CD OP（第 22 题）x yzMA B CD OP（第 23 题）页 16 第则 cos ， AP BM AP BM AP BM 102 5 6 306故异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为 5 分306（2） (2，1，0)， (1，1，2)
23、 AB BM设平面 ABM 的一个法向量为 n( x， y， z)，则 得 令 x2，得 y4， z3n AB 0，n BM 0， ) 2x y 0， x y 2z 0， )所以平面 ABM 的一个法向量为 n(2，4，3)又平面 PAC 的一个法向量为 (0，1，0)，所以 n 4， n ， 1 OB OB 29 OB则 cos n， OBn OB n OB 4 2929故平面 ABM 与平面 PAC 所成锐二面角的余弦值为 . 10 分4 292924甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，
24、则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分.已知甲每轮猜对的概率是 4，乙每轮猜对的概率是 3；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I） “星队”至少猜对 3 个成语的概率；学.科网（） “星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX.【答案】 （） 2（）分布列见解析， 236E()由题意，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得 110434PX,3257,1123125434344314PX,2,页 17 第3216054=PX , 3214.可得随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4 6P 45741521所以数学期望 123036114EX.考点 ：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望
