1、- 1 -江苏省如皋中学 2018-2019 学年度高三（上）期中数学模拟练习二 201811一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.把答案填在题中横线上。1. 已知集合 1,23A， 1,2B，则 AB= 1,2352. 已知 i是虚数单位，则 i的虚部为 3下列命题的否定中真命题的个数是 p：当 0 时，方程 ax2bxc0(a0，a，b，cR )无实根；q：存在一个整数 b，使函数 f(x)x 2bx1 在0，)上是单调函数；r：存在 xR ，使 x2x10 不成立答案 14. 执行右面的框图,若输出结果为 ,则输入的实数 x的值是 25. 直线 :tan105l
2、xy的倾斜角 = 456. 甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩如茎叶图所示, 若教练员选派两人之一参加比赛，则 的可能性较大. 甲7. 已知函数 2fx，函数 ygx为一次函数，若 243gfxx，则 g_. 58. 函数 1()lfx的图象关于点 对称.原点9. 直线 20ya与 30xy交于第一象限，当点 (,)Pxy在不等式组 203xya表示的区域上运动时， 4m的最大值为 8，此时 3ynx的最大值是 _ 4 10. .若实数 xy、 满足 0，则 2xy的最大值为_ 211. 若直线 1()aaR与圆 24交于 A、 B两点（其中 O为坐标原点） ，则 AOB的最小值为 4
3、12. 若数列 na满足 12()nna，则称数列 na为凹数列已知等差数列 nb的公差为 d，12b，且数列 b是凹数列，则 d的取值范围为_ _ 2d13. 已知椭圆21(0)xyab上一点 A关于原点 O的对称点为 ,BF为其右焦点，若 ,AFB设,ABF且 ,24则椭圆离心率的取值 范围是_ 26,3- 2 -14.已知函数1,0f(x)=k，恰 有 四 个 不 同 的若 xffxg22零点，则实数 k的取值范围是_ 3(,)4二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分 14 分)设向量 ),cos,(inxa),sin3
4、,(ixbR，函数 2(bxf.来源 :（1）求函数 的单调递增区间；（2）求使不等式 )f成立的 的取值集合解答.(1) ()af222sincos(in3sico)xxx 11cos23ix(incs2)2si()666xx. 由 2kxk，得 3kk()Z， ()f的单调递增区间为 ,3(). (2) 由 sin()6xx，得 ()4cos26fx. 由 ()2f，得 1co，则 33kxk，即 24kxk()Z. 使不等式 ()f成立的 x的取值集合为 ,124xk.16 (本小题满分 14 分)如图，在棱长均为 4 的三棱柱1ABC中， D、 1分别是 BC 和 1BC的中点（1 ）
5、求证： 1平面 1A；（2 ）若平面 ABC平面 ， 160O，求三棱锥 1BAC的体积解答（1）证明：连结 1D，在三棱锥 1ABC中，1,分别是 1,B的中点，/，四边形 1D为平行四边形，- 3 -11/,BDAB11/,四边形 D为平行四边形， 1/AD，1A面 1B， 面 B， 1/面 1AB。17. (本小题满分 14 分)已知某公司生产品牌服装的年固定成本为 10 万元，每生产 1 千件，须另投入 2.7 万元，设该公司年内共生产品牌服装 x千件并全部销售完，每 1 千件的销售收入为 xR万元，且2210.8,03,xRx（1 ）写出年利润 W（万元）关于年产量 x（千件）的函数
6、解析式； （2 ）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？解答（1）由题意得2210.8.710,3.,xx， 即318.0,1092.7,xWx（2 ） 当 1时， 38.10Wx则 2298.0x 1x 当 9时， ，则 递增；当 9时， 0W，则 递减；当 时， 取最大值 138.65万元当 10x时， 082.7Wx102.738x当且仅当 2.73x，即 19取最大值 38综上，当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大18. (本小题满分 16 分)如图，已知椭圆- 4 -2:1(0)xyCab的离心率为 12，且经过点 3(1,)
7、2， F为椭圆的右焦点， 1A、 2为椭圆的左、右顶点， B为上顶点 P为椭圆上异于 A、 的任一点，点 Q满足 0P （）求椭圆 C的方程；（）若 Q，求 F1的面积；（）若 为直线 与椭圆唯一的公共点，求证： 点恒在一条定直线上解答（）椭圆2xyab的离心率为 12，且经过点 3(1,)2，22194ab，即234091ab，解得 342b，椭圆 C 的方程为 43xy（）由 BQP知 B 为 PQ 的中点，故 BFP，设 ),(1yxP， ),0(B，则2122143()xy，联立得 0961，解得 631y（舍负） ，故 361y，893(6)2PAFSy（）设 ),(0x，则有200
8、()4xy当 PQ的斜率不存在时，显然不符题意；故设直线 Q方程为 ()yk，与椭圆2143联立，得 2 2200038()481xkxkykx，由直线 P与椭圆有唯一公共点，得 2 206416(3)3)y y，化简得，22000()xkxy，22200004(4)3y 20034()xyy2003xy，故有 0xk 故直线 PQ方程为 03()4y ，直线 F方程为 01x ，联立消去 y，得 200()34yx，0164x，即 点恒在直线 x上19. (本小题满分 16 分) 设 a，两个函数 ()axfe， g()lnbx的图像关于直线 yx对称.（1）求实数 b,满足的关系式；（2）
9、当 a取何值时，函数 ()hxfg有且只有一个零点；（3）当 时，在 1,2上解不等式 2)(1(x解答（1）设 P()axe， 是函数 ()axfe图像上任一点，则它关于直线 y对称的点 P， ， 在函数 lnb的图像上，- 5 -lnaxbe， 1b.（2）当 0时，函数 ()()hxfgx有且只有一个 零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线 y对称，两个函数图像的交点就是函数 ()axfe，的图像与直线 yx的切点.设切点为 0A()axe， ， 0=ax， ，0=1axe， ， ,当 0时，函数 ()()hfgx有且只有一个零点 xe；（3）当 a=1 时，设 21+r
10、x1xe2ln，则 ()rx， 12xe ，当 ,2时， 1,x ， ()0r， ，当 ,+时， 1,0xe ， ()r， ()rx在 1,2上是减函数.又 ()r0，不等式 2)gfx解集是 ,20 (本小题满分 16 分)设各项均为正实数的数列 na的前 项和为 nS，且满足21(4naS（ *N） （）求数列 na的通项公式；（）设数列 b的通项公式为nbt，是否存在正整数 t，使 1b， 2， m（ N,3）成等差数列？若存在，求出 t和 m的值；若不存在，请说明理由；（）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列 na中的三项 1n，2na， 3解答. （）由
11、题意， 24(1)nSa，当 时，有 1，-，得 11()(2)0nnaa，n各项为正， 0，从而 ，故 a成公差 2 的等差数列又 时， 214，解得 1故 n（） nbt，要使 1b， 2， m成等差数列，须 mb12，即 3221tmt，整理得 431t，因为 ， 为正整数， 只能取 2，3 ，5故 7， 35t， 4t（）作如下构造： )(1kan， )2(2kan， 2)5(3kan，其中 *Nk，它们依次为数列 中第 62项，第 8项，第 1302，显然它们成等比数列，且 321nn，所以它们能组成三角形由 *Nk的任意性，知这样的三角形有无穷多个下面用反证法证明其中任意两个 1CBA和 2不相似：若 1CBA 2，且 21k，则2112()(3)3k，整理得 12253)k，所以 ，这与 2矛盾，- 1 -因此，任意两个三角形不相似故原命题正确
