1、第页 12019 届江苏省高邮市高三上学期期初考试数学（理科）一、填空题：本大题共 14 小题；每小题 5 分，共 70 分.1.若点 的极坐标为 ，则将它化为直角坐标是_【答案】【解析】【分析】利用极坐标与直角坐标的转化公式，求得坐标即可。【详解】根据极坐标与直角坐标转化公式得所以直角坐标为【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的转化，属于基础题。2.求值： _【答案】【解析】由题意可得： .3.二阶矩阵 的逆矩阵为 _.【答案】【解析】【分析】根据逆矩阵的求法公式，代入求解即可。【详解】根据逆矩阵的求法【点睛】本题考查了矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的 求法，属于基础题。第页 24.已知角 的终边
2、经过点 ，则 的值等于_【答案】【解析】，所以 ， ，故 ，填 5.已知点 在椭圆 上，则 的最大值为_【答案】4【解析】【分析】利用椭圆的参数方程，结合三角函数值的有界性可求得最大值。【详解】设动点 P 的参数坐标为 （是参数）则 所以最大值为 4【点睛】本题考查了椭圆参数方程的简单应用，属于基础题。6.已知曲线 C 的参数方程为 （为参数） ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为_ .【答案】【解析】【分析】先将参数方程化为直角坐标方程，再将极坐标公式代入直角坐标方程化简即可。【详解】曲线 C 的直角坐标方程为 因为 ，代入展开化简得【点睛】本题
3、考查了参数方程、直角坐标方程与极坐标方程间的转化，熟练掌握这些转化公式，属于基础题。第页 37.直线 在矩阵 对应的变换作用下得到直线的方程为_.【答案】【解析】【分析】根据矩阵变换，设出点的坐标，进而代入即可求得对应的直线方程。【详解】设点（x，y）是直线 l 上的任一点，其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为（x，y）则即 代入直线方程，可化简得 所以直线方程为【点睛】本题考查了矩阵变换，关键记住几种变换的公式，属于基础题。8.将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)，再将图象上所有点向右平移 个单位，所得函数图象对应的解析式为 _【答案】【解析】由题设可得 ，应填答案 。
4、9.函数 在 上的零点个数为_【答案】3【解析】【分析】根据零点概念，求得零点的取值，再由定义域可确定零点个数。【详解】令 =0所以 （ ），又因为定义域为所以 第页 4所以零点个数为 3 个【点睛】本题考查了三角函数零点的求法，注意定义域的特殊要求，属于基础题。10.已知矩阵 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转 ，则矩阵 _【答案】【解析】【分析】利用待定系数法，结合矩阵变换特征，可求得矩阵 A。【详解】矩阵 A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，可得绕原点按照顺时针方向旋转 9
5、0可得【点睛】本题考查了矩阵的旋转变换，属于基础题。11.设函数 的最小正周期为 ，且满足 ，则函数 的单调增区间为_【答案】【解析】【分析】根据辅助角公式，将三角函数式化简，由最小正周期及偶函数性质，求得三角函数解析式，进而求得单调递增区间。【详解】因为最小正周期为 ，所以 因为 ，所以 （ ）解得 所以因为 的单调增第页 5所以 2k-2x2k，kZ解得 ，即单调递增区间为 （ ）【点睛】本题考查了三角函数解析式及单调区间的求法，属于基础题。12.已知函数 ， ，对一切 ，恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】通过分离参数，得到关于 x 的不等式；再构造函数，通过导数求得函
6、数的最值，进而求得 a 的取值范围。【详解】因为 ，代入解析式可得 分离参数 a 可得令 （ ）则 ，令 解得 所以当 0x1， ，所以 h（x）在（0，1）上单调递减当 1x， ，所以 h（x）在（1，+）上单调递增，所以 h（x）在 x=1 时取得极小值，也即最小值所以 h（x）h（1）=4因为对一切 x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，所以 ah（x）min=4所以 a 的取值范围为【点睛】本题综合考查了函数与导数的应用，分离参数法，利用导数求函数的最值，属于中档题。13.已知 ， ，则 _【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数关系，求得 tan 的值；再根据二倍角公式求得 tan
7、2 的值，结合正切的和角公式求解。第页 6【详解】因为 ，两边同时平方得，即等式左边上下同时除以 得，解方程可得 当 时，由二倍角公式得 当 时，由二倍角公式得所以【点睛】本题综合考查了三角函数同角三角函数式、二倍角公式、正切和角公式的综合应用，属于难题。14.已知 ，函数 若关于 的方程 恰有 2 个互异的实数解，则的取值范围是_.【答案】【解析】分析：由题意分类讨论 和 两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当 时，方程 即 ，整理可得： ，很明显 不是方程的实数解，则 ，当 时，方程 即 ，整理可得： ，很明显 不是方程的实数解，则 ，第页 7令 ，其中
8、，原问题等价于函数 与函数 有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 的图象，同时绘制函数 的图象如图所示，考查临界条件，结合 观察可得，实数的取值范围是 .点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性 )才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，
9、就有几个不同的零点第页 8二、解答题：本大题共 6 小题；共 90 分15.在极坐标系中，点 坐标是 ，曲线 的方程为 ，以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线经过点 和极点（1）写出直线的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；（2）直线和曲线 相交于两点 、 ，求线段 的长【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】（1）写出直线的极坐标方程，结合曲线的极坐标方程，联立即可求得曲线的直角坐标方程。（2）写出点 M 的直角坐标，进而得到直线的方程，根据直线与圆的关系，结合垂径定理即可求得弦长。【详解】(1)直线过点 和极点，直线的极坐标方程是 .即 ，两边同乘以 得 ，曲线 的
10、直角坐标方程为 . (2)点 的直角坐标为 ，直线过点 和原点，直线的直角坐标方程为 .曲线 的圆心坐标为 ，半径 ，圆心到直线的距离为 ， .【点睛】本题考查了极坐标、直角坐标的相互转化，直线与圆的位置关系及弦长的求法，属于基础题。16.已知矩阵 ，其中 ，若点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 。（1）求实数的值；（2）求矩阵 的特征值及特征向量.【答案】(1) ；(2) 特征值 11， 23 的特征向量分别为 ，【解析】【分析】（1）根据矩阵变换，代入可求得 a 的值。（2）根据特征值计算公式，得到关于特征值的方程，即可求得特征值及特征向量。【详解】(1) ， ，. 第页 9(2) ， .
11、令 ，得 ， ，对于特征值 ，解相应的线性方程组 得一个非零解 ，因此 是矩阵 的属于特征值 的一个特征向量. 对于特征值 ，解相应的线性方程组 得一个非零解 ，因此 是矩阵 的属于特征值 的一个特征向量.矩阵 的特征值为 ， ，属于特征值 1 1， 23 的特征向量分别为 ，【点睛】本题考查了矩阵的变换及特征值和特征向量的求法，熟练掌握矩阵的对应变换和求值，属于中档题。17.已知 ， ， ， （1）求 的值；（2）求 的值【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）根据角的取值范围，结合同角三角函数式，可求得 ，进而求得 ，再结合正切的二倍角公式即可求值。（2）根据同角三角函数关系式，及
12、角的关系即可求得 的值，再利用角的取值范围即可求得 的值。【详解】 （1） ， ，得 ， 则 第页 10（2）由 ， ， 又 ， = 由 得：= = .【点睛】本题考查了同角三角函数式的应用，角的变化及应用，属于基础题。18.已知一块半径为的残缺的半圆形材料 ，O 为半圆的圆心， ，残缺部分位于过点 的竖直线的右侧现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以 为斜边；如图乙，直角顶点 在线段 上，且另一个顶点 在 上要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值【答案】选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为【解析】
13、【分析】设 ，根据三角函数面积公式可得 ，可求得图甲的最大面积；设 ，可根据三角形面积公式得 ，可求导并根据函数的单调性求得最值。比较两个式子即可判断面积大小。【详解】如图甲，设 ，则 ， ， 所以 ，当且仅当 时取等号， 第页 11此时点 到 的距离为 ，可以保证点 在半圆形材料 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为 如图乙，设 ，则 ， ，所以 ， 设 ，则 ，当 时， ，所以 时，即点 与点 重合时，的面积最大值为 因为 ，所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为【点睛】本题考查了三角函数及面积表达式的简单应用，属于基础题。19.设函数 （1）当 时，求函数 在
14、点 处的切线方程；（2）讨论函数 的单调性；（3）当 时，求证：对任意 ，都有 【答案】 （1） ；（2）当 时， 在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增（3）见解析【解析】试题分析：（1）当 时，求出导数易得 ，即 ，利用点斜式可得其切线方程；（2）求得可得，分为 和 两种情形判断其单调性；（3）当 时，根据（2）可得函数 在上单调递减，故 ，即 ，化简可得所证结论.试题解析：（1）当 时， ， ， ， ，所以函数在点 处的切线方程为 ，即 第页 12（2） ，定义域为 ， 当 时， ，故函数 在 上单调递减； 当 时，令 ，得x 极小值 综上所述，当 时， 在 上单调
15、递减；当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增（3）当 时，由（2）可知，函数 在 上单调递减，显然， ，故 ，所以函数在 上单调递减，对任意 ，都有 ，所以 所以 ，即，所以 ，即 ，所以 ，即 ，所以 20.已知函数 ， .（1）若 有两个不同的解，求的值；（2）若当 时，不等式 恒成立，求的取值范围；（3）求 在 上的最大值.【答案】(1) 或 .(2) ；(3) 当 a0 时，h(x )在 2,2 上的最大值为 3a3；当3a0 时，h(x)在2,2上的最大值为 a3；当 a3 时，h(x)在2,2上的最大值为 0.【解析】【分析】（1）根据 有两个不同的解， 画出函数图像即可求出
16、 a 的值。（2）因为不等式 对 恒成立，分离得参数 a，分类讨论当 x 取不同范围值时，不等式的解集即第页 13可。（3）对 a 进行讨论，结合函数图像， 讨论在 上的最大值情况。【详解】(1) 方程 ，即 ，变形得 ，显然， 已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程“有且仅有一个不等于 的解”或“ 有两解，一解为 ，另一解不等于 ”， 结合图形，得 或 . (2) 不等式 对 恒成立，即 (*)对 恒成立， 当 时，(*) 显然成立，此时 ； 当 时，(*)可变形为 ，令 ，因为当 时， ；而当 时， .所以 ，故此时 . 综合，得所求的取值范围是 . (3) 因为 h(x)
17、|f(x)|g(x )| x21|a|x 1| 当 1，即 a2 时，结合图形可知 h(x)在2,1上递减，在1,2 上递增，且 h(2) 3a3，h(2)a3，经比较，此时 h(x)在2,2上的最大值为 3a3. 当 0 1，即 0a2 时，结合图形可知 h(x)在 2，1， ，1上递减，在1， ，1,2上递增，且 h(2) 3a3，h(2)a3，h( ) a1，经比较，知此时 h(x)在2,2上的最大值为 3a3. 当1 0，即2a0 时，结合图形可知 h(x)在 2，1， ，1上递减，在1， ，1,2上递增，且 h(2) 3a3，h(2)a3，h( ) a1，经比较，知此时 h(x)在2,2上的最大值为 a3. 当 1，即3a2 时，结合图形可知 h(x)在2， ，1 ， 上递减，在 ，1， ，2上递增，且 h(2)3a30，h(2) a30，经比较，知此时 h(x)在2,2上的最大值为 a3. 第页 14 当 时，即 a3 时，结合图形可知 h(x)在2,1上递减，在1,2 上递增，故此时 h(x)在2,2上的最大值为 h(1)0. 综上所述，当 a0 时，h(x)在 2,2上的最大值为 3a3；当3a0 时，h(x)在2,2上的最大值为 a3；当 a3 时，h(x)在2,2上的最大值为 0.-【点睛】本题考查了绝对值的解法，不等式解法的综合应用，属于难题。
